ОТЦ М 2 Тема 8 Операт-й метод 19.04.2008 34

Операторный метод. Слайд 1. Всего 34.
Операторный метод
анализа переходных
процессов
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 2. Всего 34.
В основе метода лежит преобразование Лапласа,
которое позволяет перенести решение из области
функций действительного переменного в область
комплексного переменного p
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 3. Всего 34
Преобразование Лапласа и его применение к решению
дифференциальных уравнений
p    j
Прямое преобразование

F ( p)  L[ f (t )]   e  pt f (t )dt
0
Обратное преобразование
С 
1
pt
f (t )  L1[ F ( p)] 
e
F ( p)dp

2j С 
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 4. Всего 34.
Преобразования Лапласа могут записываться,
как показано ниже.
f(t) ≓ F(р)
f(t) ⇆ F(р)
F(p) = L[f(t)]
f(t) = L-1[F(р)]
L – оператор Лапласа.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 5. Всего 34.
Функция F(p) называется операторным
изображением функции f(t) или изображением
функции f(t) по Лапласу. Исходная функция
времени f(t) по отношению к своему
операторному
изображению
является
оригиналом.
Комплексное число р называют оператором
преобразования Лапласа или комплексной
частотой.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 6. Всего 34.
Из курса высшей математики известно, что для
функций f(t), равных нулю при t < 0, интегрируемых
при t > 0 и удовлетворяющих неравенству
f (t )  Ke 0t ,
где К и 0 – некоторые постоянные числа, интеграл
прямого преобразования Лапласа

F ( p)  L[ f (t )]   e  pt f (t )dt
0
абсолютно сходится при Re (p) > 0. Изображение
F(p)
в
полуплоскости
Re(p)>0 является
аналитической функцией р, которая стремится к
нулю при Re (p)  .
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 7. Всего 34.
На практике к интегрированию по формулам
прямого и обратного преобразования приходится
прибегать сравнительно редко, так как для
большинства часто употребляемых функций
разработаны таблицы прямого и обратного
преобразований Лапласа.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 8. Всего 34.
Преобразование Фурье является частным случаем
преобразования Лапласа для случая  = 0 (p =  + j
= 0 + j = j).
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 9. Всего 34.
Некоторые свойства преобразования Лапласа
Изображение по Лапласу постоянной величины
К равно этой величине, делённой на р.
К
К≓
р
Умножение функции времени f(t) на постоянное
число К соответствует умножению на это же число
её изображения F(p)
К  f (t ) ≓ К  F ( р)
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 10. Всего 34.
Изображение суммы функции времени равно
сумме изображений этих функций
N
N
 f (t ) ≓  F ( p)
i 1
i
i 1
i
где f i (t ) ≓ Fi ( p)
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 11. Всего 34.
Теорема дифференцирования. Если начальное
значение функции f(t) равно нулю f(0+) = 0, то
дифференцированию функции f(t) соответствует
умножение изображения этой функции на р
df (t )
≓p  F ( p)
dt
При f(0+) ≠ 0
df (t )
≓ p  F ( p )  f (0  )
dt
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 12. Всего 34.
Повторным
применением
дифференцирования,
можно
выражения
для
производных
порядков:
теоремы
получить
высших
d 2 f (t )
df (t )
df (t )
2


p

F
(
p
)

f
(
0
)


p
F
(
p
)

pf
(
0
)

≓


2
dt t 0
dt t 0
dt
k 1
N
d n f (t )
f (t )
n
nk d
≓ p F ( p)   p
n
k 1
dt
dt
k 1
t 0
Автор Останин Б.П.

Конец слайда
Операторный метод. Слайд 13. Всего 34.
Теорема интегрирования. Интегрированию функции
времени f(t) в пределах от 0 до t соответствует деление
изображения этой функции на р
t

0
f (t )dt ≓
F ( p)
p
Теорема
запаздывания. Смещению функции
времени на t0 соответствует умножение изображения
на е  pt0
f (t  t 0 ) ≓ F ( p)e  pt0
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 14. Всего 34.
Теорема смещения. Смещению изображения F(р) в
комплексной плоскости на комплексное число 
соответствует умножение оригинала е-t
е  t f (t ) ≓ F ( p   )
Значения функции времени при t = 0 и t =  могут
быть найдены с помощью предельных соотношений
f (t  0)  lim pF ( p)
p  Re p 0
f (t  )  lim pF ( p)
p 0
Предполагается, что указанные пределы существуют.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 15. Всего 34.
Для
определения
оригиналов
можно
воспользоваться либо таблицами оригиналов и
изображений, либо применить теорему разложения.
Теорема разложения позволяет при нахождении
оригинала операцию интегрирования заменить
операцией суммирования.
Если изображение F(р) может быть представлено
в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих
общих корней:
F1 ( p) a n p n  a n 1 p n 1  ...  a1 p  a0
F ( p) 

F2 ( p) bm p m  a m1 p m1  ...  b1 p  b0
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 16. Всего 34.
F1 ( p) a n p n  a n 1 p n 1  ...  a1 p  a0
F ( p) 

F2 ( p) bm p m  a m1 p m1  ...  b1 p  b0
причём степень полинома F2(p) выше, чем степень
полинома F1(p), а уравнение F2(p)=0 не имеет кратных
корней, то для перехода от изображения к оригиналу
можно воспользоваться теоремой разложения.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 17. Всего 34.
Для случая вещественных и различных корней
n
F1 ( p k ) pk t
f (t )  
e
k 1 dF2
dp p  pk
pk – корни характеристического уравнения F(p) = 0,
n - число корней
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 18. Всего 34.
При наличии нулевого корня р = 0
F1 ( p)
F ( p) 
pF3 ( p)
и формула принимает вид
F1 (0) n F1 ( p k ) pk t
f (t ) 

e
F2 (0) k 1 dF3
dp p  pk
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 19. Всего 34.
В случае комплексно сопряжённых корней


n

F1 ( p k ) pk t 

f (t )  2 Re 
e 
k 1 dF2


dp p  pk


Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 20. Всего 34.
Преобразование Фурье является частным случаем
преобразования Лапласа для случая  = 0 (p =  + j
= 0 + j = j).
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 21. Всего 34.
Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
I
K
( p)  0
K
( p)  0
K
U
K
 U ( p)   E
i
i
j
( p)
j
U ( p)
Z ( p) 
I ( p)
1
I ( p)
Y ( p) 

Z ( p) U ( p)
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 22. Всего 34.
Операторные схемы замещения
идеализированных двухполюсных пассивных
элементов
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 23. Всего 34
Резистивный элемент
IR(p)
UR(p)
ZR(p) = R
U R ( p)  R  I R ( p)
U R ( p)
I R ( p) 
R
Автор Останин Б.П.
I R ( p)  G  U R ( p )
Z R ( p)  R 
1
G
YR ( p )  G 
1
R
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 24. Всего34.
Ёмкостный элемент
duC
iC  C
dt
uC 
1
iC dt  u C (0)

C
Используя теоремы дифференцирования и
интегрирования, получим:
I C ( p)  CpU C ( p)  CuC (0)
u C ( 0)
1
U C ( p) 
I C ( p) 
рC
p
При нулевых начальных условиях uC(0)=0 имеем:
I C ( p)  CpU C ( p)
1
U C ( p) 
I C ( p)
рC
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 25. Всего 34.
Последовательная операторная схема замещения
конденсатора с ненулевыми начальными условиями
IС(p)
iС
uС
+ C
_
UС(p)
uС(0) / p
ZС(p) = 1/pC
Входное ёмкостное операторное сопротивление
1
Z C ( p) 
pC
Входная ёмкостная операторная проводимость
YC ( p)  pC
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 26. Всего 34.
Параллельная операторная схема замещения
конденсатора с ненулевыми начальными условиями
IС(p)
CuС(0)
YС(p) = pC
UС(p)
Операторная схема замещения конденсатора с
нулевыми начальными условиями
IС(p)
UС(p)
Автор Останин Б.П.
ZC(р)= 1/pC
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 27. Всего 34.
Индуктивный элемент
diL
uL  L
dt
iL 
1
u L dt  i L (0)
L
U L ( p)  LpI L ( p)  LiL (0)
i L (0)
1
I L ( p) 
U L ( p) 
pL
p
При нулевых начальных условиях
U L ( p)  LpI L ( p)
1
I L ( p) 
U L ( p)
pL
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 28. Всего 34.
Последовательная операторная схема замещения
индуктивности с ненулевыми начальными условиями
IL(p)
iL
L
uL
UL(p)
LiL(0)
ZL(p) = pL
Входное индуктивное операторное сопротивление
Z L ( p)  pL
Входная индуктивная операторная проводимость
1
YL ( p) 
pL
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 29. Всего 34.
Параллельная операторная схема замещения
конденсатора с ненулевыми начальными условиями
IL(p)
iL(0)/p
UL(p)
YL(p) = 1/pL
Операторная схема замещения индуктивности с
нулевыми начальными условиями
IL(p)
UL(p)
Автор Останин Б.П.
ZL(р)= pL
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 30. Всего 34.
Расчёт переходных процессов операторным методом
Покажем расчёт на примере
SA
i
R1
u
L
R
uR
uL
C
uC
Последовательный контур RLC с ненулевыми
начальными условиями
I(p)
U(p)
R
UR(p)
L
UL(p)
Li(0)
uC(0)/p
C
UC(p)
Операторная схема замещения последовательного
контура RLC с ненулевыми начальными условиями
U ( p)  RI ( p)  pLI ( p)  Li (0  ) 
Автор Останин Б.П.
u C (0  )
1

I ( p)
p
pC
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 31. Всего 34.
u C (0  )
U ( p )  Li (0  ) 
U ( p)
p
I ( p) 
 0
1
Z ( p)
R  pL 
pC
где
I(p)
– операторный ток,
U0(p) – операторное напряжение,
Z(p) - операторное сопротивление.
1
Z ( p)  R  pL 
pC
Li(0 )
Автор Останин Б.П.
1
Z  Z ( j )  R  jL 
jC
uC (0  )
и
- расчётные напряжения
p
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 32. Всего 34.
Пример
Найти закон изменения тока в последовательном
RLC контуре при включении его на постоянное
напряжение U. Начальные условия нулевые.
Поскольку U ( p) 
I ( p) 
U ( p)

Z ( p)
U
p
U
p
R  pL 
1
pC

F1 ( p)
CU

LCp 2  RCp  1 F2 ( p)
F2 ( p)  LCp 2  RCp  1  0
p1, 2  
Автор Останин Б.П.
R
R
1
 ( )2 
2L
2L
LC
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 33. Всего 34.
При R > 2 корни вещественны и различны
Подставим в формулу разложения
F1 ( p1 )  F2 ( p2 )  CU
F2' ( p1 )  2LCp1  RC
F2' ( p2 )  2LCp2  RC
и получим оригинал тока
CU
CU
p1t
i (t ) 
e 
e p2t 
2 LCp1  RC
2 LCp2  RC
U

(e p2t  e p1t )
L( p1  p 2 )
Это совпадает с результатом, полученным
классическим методом.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Операторный метод. Слайд 34. Всего 34
Преимущества операторного метода –
простота, отсутствие громоздких операций
по определению постоянных интегрирования.
Можно
использовать
любые
из
рассмотренных методов: контурных токов,
узловых потенциалов и т. д.
Добавка
2Lp1  R  (2Lp2  R)
R 2
1
L( p1  p2 )  2 L ( ) 
2L
LC
Автор Останин Б.П.
Конец слайда