Векторная алгебра. Основные понятия.

Векторная алгебра.
Основные понятия.
Декартовые прямоугольные
координаты на плоскости.
Координатами точки на плоскости
называются числа, определяющие положение
этой точки на плоскости.
Прямоугольные декартовые координаты
вводятся следующим образом: на плоскости
выбирается точка О и проходящие через нее
две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и
ОУ (оси абсцисс и ординат ). Для удобства ОХ
горизонтальна и направлена слева направо, ОУ
вертикальна и направлена снизу вверх.
Две координаты на плоскости.
Абсциссой х называется число,
выражающее в некотором масштабе
расстояние точки от оси координат,
взятое со знаком “+”, если точка М
лежит вправо от оси ординат, и со
знаком “-“, если точка лежит влево от
оси ординат.
Ординатой у называется число,
выражающее в некотором масштабе
(обычно, как и для х) расстояние точки
от оси абсцисс, взятое со знаком “+“,
если точка лежит выше оси абсцисс, и
со знаком “-“, если точка лежит ниже
оси абсцисс.
Обозначение: М(х ; у).
Эти два числа х и у принимаются за
координаты точки М, т.к. они полностью
определяют положение точки на плоскости, а
именно: каждой паре х и у соответствует
единственная точка, координатами которой
являются эти числа, и, обратно, каждая точка
плоскости имеет определенные координаты х и
у.
Преобразование прямоугольной
системы координат.
Существует три случая
преобразования прямоугольной
системы координат.
1 случай.
Параллельный перенос.
2 случай.
Поворот системы координат.
3 случай. Общий случай.
Новое начало координат есть точка
О’(a;b) и ось О’Х’ образует с ОХ угол α.
Соединяя 2 предыдущих случая,
имеем:
х=а+х’cosα-y’sinα
у=b+х’sinα+y’cosα
Полярная система координат.
Наиболее важной после
декартовой прямоугольной системы
координат является полярная
система координат, которая
вводится следующим образом:
На плоскости выбираем точку О,
которую назовем полюсом,
проведем из полюса О
направленную полупрямую ОХ,
называемую полярной осью.
Полярные координаты точки М.
Полярный радиус ρ и полярный угол φ.
Запись: М(ρ,φ), 0≤ρ<+∞, 0≤φ<2π ,
φ – против хода часовой стрелки.
Элементы векторной
алгебры.
Основные определения.
Величина, характеризующая одним
числом в выбранной системе единиц,
называется скалярной или скаляром.
Величина, кроме числового значения
характеризуется еще направлением,
называется векторной или вектором.
Вектор О, модуль которого равен 0,
называется нулевым (направление
произвольно).
Два вектора и считаются равными,
если они расположены на параллельных
или совпадающих прямых и имеют
одинаковую длину и одинаково
направлены.
Линейные операции над
векторами.
О: Суммой нескольких векторов называется
вектор, по величине и направлению равный
замыкающей пространственной ломаной
линии, построенной на данных векторах
О: Под разностью векторов
такой, что
b d  a
d  a b
О: Произведением вектора
понимается вектор
имеющий длину
a
на скаляр k
b  k a  ak ,
b  k  a,
направление которого совпадает
с направлением вектора a , если k>0,
противоположно ему, если k<0,
и произвольно, если k=0.
Свойства векторного сложения:
1.
2.
a b  b  a












a  b  c  a b c  a b c
3.для каждого вектора a существует
противоположный вектор  a ,имеющий
туже длину, но противоположное
направление.
4.
a 0  a
Свойства операции умножения
на число:
а)




k  a  k a a
б) k









a b = k a  kb





k a  k a
г) 1 a a
в)
















О: Если ненулевой вектор a разделить
на его длину , то мы
получаем единичный вектор a , так
называемый орт того же направления.

Коллинеарные и компланарные
векторы.
О: Два вектора a и b называются
коллинеарными, если они параллельны в
широком смысле (т.е. расположены или на
параллельных прямых, или на одной и той
же прямой).
О: Три вектора a,b,c называются
компланарными, если
они параллельны некоторой
плоскости в широком смысле.
Теоремы:
Теорема 1. Два ненулевых вектора a и b
коллинеарны тогда и только тогда,
когда они пропорциональны, т.е. b =k a .
Теорема 2. Три ненулевых вектора a,b,c
компланарны тогда и только тогда,
когда один из векторов выражается
через два других. c  k a b , k, скаляры
Проекция вектора на ось.
О: Осью называется направленная
прямая.
О: Проекцией точки А на ось 
называется основание A
перпендикуляра, опущенного из точки А
на эту ось.
О: Под компонентой или составляющей вектора
a AB
относительно оси
понимается вектор
A,B


a  AB

, где
проекции точек А и В.
О: Под проекцией вектора
на ось
a   AB

a

a
понимается скаляр
, равный длине его компоненты
, взятой со знаком +, если направление
компоненты и оси совпадают
и со знаком «-», если направление
компоненты и оси
противоположны.
Теоремы:
Теорема 1: Проекция вектора a
на ось равна произведению длины
вектора на косинус угла между направлением
вектора и направлением оси

a  a cos

Теорема 2: Проекция суммы
нескольких векторов на данную ось =
сумме их проекций на эту ось.
Теорема 3: При умножении вектора
на скаляр его проекция на данную ось
умножается на этот скаляр.
Векторная алгебра.
Векторы в координатной
форме.
Прямоугольные декартовые
координаты в пространстве.
О: Под декартовыми прямоугольными
координатами (х, y, z) точки М понимаются
проекции ее радиус-вектор
на
соответствующие оси координат.
xr , y r ,z r ;
r
x
длина -
y
z
r  x2  y2  z2
О:
cos ,cos  ,cos
называется направление
косинусами вектора r .
Теорема:
cos2 cos2  cos2 1
Векторы в пространстве. Действия над
векторами в координатной форме.
О: ax  прОХ а , a y  прОY а ,
az  пр а
ОZ
- называется координатами вектора .

Запись: a   xa, ya, za  .

MM 
1 2





2
2
x x  y  y  z z
2 1
2 1
2 1




















- расстояние между двумя
точками пространства на
плоскости.





2
Скалярное произведение векторов.
О: Скалярным произведением двух
векторов a и b называется число,
равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними:
ab  a,b  a b cos










Свойства:
1)
2)






ab ba
;
a b c  ac bc
;






3)
2 - скалярный квадрат;
2
a a
2
2
a  a  a cos a,̂ a  a




a




a,a








4)
 ab  ab    ab










;
5) из определения cos  ab ;
a b
6)
a b ab  0
Векторное произведение
векторов.
О: Векторным произведение
векторов, обозначаемый
символом ab и
удовлетворяющий условиям:
1) ab  a b sin ;
2)
3)
ab  a
,
  a,̂ b












;
c  a,c b
a,b,c - образуют правую
тройку (правило правого винта)
Свойства:
ab  ba
т.к. пр. и лев.
1)
тройки;
2)




 a b  a b   ab
























;
3)





a b c  ac bc





aa  0 
4)
коллинеарны
;
векторы
5) геом. смысл:
векторах
ab  S
, построенного на
a и b.
6) Для ортов
i, g,k
таблица умножения:
справедлива следующая
ii 0, g g 0,k k 0
Векторное произведение в
координатной форме.
i
ab xa
x ,
b
g
ya
y ,
b
k
za
z
b
Смешанное произведение трех
векторов.
О: Смешанным произведением
векторов a,b,c
называется
число abc , определяемое
формулой abc  ab c










Свойства:
1) Vпараллелепипеда  аbc
2)
3)
abc  bca  cab
a,b,c  abc  0
4) при перестановке двух соседних …
смешанное произведение меняет знак
abc  bca  acb
Смешанное произведение в
координатной форме.
xa
abc  x
b
xc
ya
y
b
yc
za
z
b
zc