Процесс В-С

Теплоемкость
идеального газа
Изопроцессы
Закон сохранения энергии для систем, в которых
существенную роль играют тепловые процессы,
называется первым началом термодинамики:
Q  U  A
Q  dU  A
Внешняя работа системы
Первый закон термодинамики связывает между собой: 1) изменение
внутренней энергии системы, 2) количество поступающей в систему
или отводимой от нее теплоты и 3) совершаемую внешнюю работу.
Δli= рi · ΔVi
для разреженных газов
выражение для внутренней
энергии для 1 моля:
i
i
i
U  N kT  N A kT  RT
2
2
R 2
работа в месте расположения
площадки ΔSi
работа расширения системы
p=const
ΔAi= рi·ΔSi ·Δli
ΔA = Σpi·ΔVi
dA = F dl = p S dl = p dV
V2
A = p(V2— V1)
A   pi Vi
V1
или
ΔVi = Δli ·ΔSi
Sdl = dV
изменение объема системы
V2
A
 pdV
V1
Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
Средняя энергия одной молекулы
Т.к. молекулы идеального газа на
расстоянии не взаимодействую,
внутренняя энергия газа равна сумме
внутренних энергий всех молекул
i
U  kT
2
Для 1 моля, где N=NA
i
i
U  N AU  N A kT  RT
2
2
Внутренняя энергия произвольной массы m
m
mi
U  Um 
RT

2
Внутренняя энергия
идеального газа зависит
только от температуры
Теплоемкость
Теплоёмкость тела величина, равная количеству
теплоты, которую надо сообщить телу, чтобы
повысить его температуру на 1 градус:
dQ  cmdT
если m=1кг
dQ
C
dT
 Дж 


 К 
Удельная
теплоёмкость
(с)
–
количество теплоты, необходимое для
нагревания единицы массы вещества на один
Дж 

градус.
[с] =


 К  кг 
Для газов удобно пользоваться молярной
теплоемкостью Сμ  количество теплоты,
необходимое для нагревания 1 моля газа на 1
градус:
 Дж 
Сμ = с· μ


 К  моль 
Молярные теплоемкости всех газов с одинаковым числом степеней
свободы i равны, а удельные – различны (т.к. разные молярные
массы μ)
Теплоёмкость термодинамической системы
зависит от того, как изменяется состояние
системы при нагревании.
Наибольший
интерес
представляет
теплоемкость для случаев, когда нагревание
происходит при условии
V=Const (cV)
p=Const (cp) .
V=Const (CV)
Если газ нагревать при постоянном объёме,
то всё подводимое тепло идёт на нагревание
газа, то есть изменение его внутренней энергии.
Работы над другими телами не совершается.
A = p(V2— V1)=0
dQV = dU
Т.к. для 1 моля
(dА = 0)
i
U   RT
2
dQ dU 
CV 

dT
dT
i
CV  R
2
Т.о. CV не зависит от температуры, а зависит только от числа
степеней свободы i, т.е. от числа атомов в молекуле газа.
p=Const (cp)
Если нагревать газ при
постоянном давлении (СР) в сосуде с
поршнем, то подводимое тепло
затрачивается и на нагревание газа, и
на совершение работы.
Поэтому, для повышения Т на 1 К
понадобится больше тепла, чем в
случае V=Const
Следовательно, СР > СV
Запишем I начало ТД для 1 моля газа
разделим на dT
Cp 
dQ p
dT

dU
dQ p  dU   pdV
CV

dT
 p(
dV
dT
) p  CV  R
Из уравнения Клапейрона-Менделеева имеем:
pVμ=RT
Vμ=RT/p
Т.о. работа, которую совершает 1 моль идеального газа при повышении
температуры на 1К равна газовой постоянной R.
отношение Cp/Cv есть постоянная для каждого газа величина
i
Cp 2 R  R
2 i2

 1 

i
CV
i
i
R
2
Число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости зависит от
температуры.
На рисунке показана качественная зависимость молярной
теплоемкости СV от температуры для одноатомного газа аргона (Ar) и
двухатомного газа водорода (H2)
Поступательное + вращательное + колебательное
Поступательное +
вращательное
Поступательное
Формулы для CV и Cp верны для определенных температурных
интервалов, причем каждому интервалу соответствует свое число
степеней свободы.
Применение первого начала
термодинамики к изопроцессам
Изопроцесс – процесс, проходящий при постоянном значении
одного из основных термодинамических параметров – P, V или Т.
1) изохорический процесс, при котором объем системы
остается постоянным (V = const).
2) изобарический процесс, при котором давление,
оказываемое со стороны системы на окружающие тела,
остается постоянным (р = const).
3) изотермический процесс, при котором температура
системы остается постоянной (Т = const).
4) адиабатический процесс, при котором на протяжении
всего процесса теплообмен с окружающей средой
отсутствует (dQ = 0; Q = 0)
► Изотермический процесс – процесс,
происходящий в физической системе при постоянной
температуре (T = const).
В
идеальном газе при изотермическом
процессе произведение давления на объем постоянно
И зотер ма
– закон Бойля  Мариотта:
PV  const при T  const . P
T3 > T2 > T1
T3
T2
T1
Найдем работу газа при
изотермическом процессе :
V
V2
A=

V1
V2
0
RT
V2
p1
pdV =  
dV =  RTln   RTln
V
V1
p2
V1
V1
V2
Используя формулу U = сVT ,
получаем
dU = сV dT = 0
Следовательно,
внутренняя
энергия
изотермическом процессе не меняется .
Поэтому
газа
при
Q  A
Значит, при изотермическом процессе вся теплота,
сообщаемая газу, идет на совершение им работы над внешними
телами.
Поэтому
m
p1
Q = A = RTln
M
p2
Чтобы при расширении газа его температура не понижалась, к
газу необходимо подводить количество теплоты, равное его
работе над внешними телами.
► Изохорический процесс – процесс,
происходящий в физической системе при постоянном
объеме (V = const).
P
T
 const при V  const
- закон Шарля
При изохорическом процессе механическая
работа газом не совершается.
Q  U
Изохорический процесс: V = const
Из уравнения состояния идеального
газа для двух температур T1 и T2
следует
m
p1V = RT1
M
откуда
T2
p2 = p1
T1
В процессе 1
В процессе 1
Изохор а
.
.
.
P
m
p2V = RT2
M
0
 2 происходит нагревание газа
 3 происходит охлаждение газа
2
1
3
V
Пусть начальное состояние газа отвечает состоянию при
нормальных условиях Т0 = 0°С = 273.15 °К, р0 = 1 атм, тогда для
произвольной температуры Т давление в изохорическом
процессе находится из уравнения
T
p = p0
T0
Давление газа пропорционально его температуре - Закон Шарля
Поскольку
dA = pdV = 0
, то при изохорическом
процессе газ не совершает работу над внешними телами.
При этом переданная газу теплота равна
dQ = dА + dU = dU
То есть при изохорическом процессе вся теплота,
передаваемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии.
m
d'Q = dU = cV dT
M
► Изобарический процесс – процесс,
происходящий в физической системе при
постоянном давлении (P = const).
V
T
 const при P  const
Q  U  А
- закон ГейЛюссака
2) Изобарический процесс: p = const
В изобарическом процессе газ
совершает работу
Изобар а
P
V2
A=
 pdV = p(V
2
.
-V1 )
1
V1
Работа равна площади под прямой
изобары. Из уравнения состояния
идеального газа получаем
m
pV1 = RT1
M
.
2
V
0
m
pV2 = RT2
M
m
A = p(V2 -V1 ) = R(T2  T1 )
M
V1
V2
Перепишем последнее соотношение в виде
A
R=
ν(T2 - T1 )
Это равенство раскрывает физический смысл газовой
постоянной R - она равна работе 1 моля идеального газа,
совершаемой им при нагревании на 1 К в условиях
изобарного расширения.
Возьмем в качестве начального состояния - состояние
идеального газа при нормальных условиях (Т0, V0), тогда объем
газа V при произвольной температуре Т в изобарическом
процессе равен
T
V = V0
T0
Объем газа при постоянном давлении пропорционален его
температуре - закон Гей-Люссака.
► Адиабатный процесс – процесс, происходящий в
физической системе без теплообмена с окружающей
средой (Q = 0).

PV  const
уравнение Пуассона.
CP i  2


CV
i
γ – показатель адиабаты.
А  U
4) Адиабатический процесс : dQ = 0
При адиабатическом процессе теплообмен между газом и
окружающей средой отсутствует. Из первого начала
термодинамики получаем
dA = - dU
Поэтому в адиабатическом процессе работа газа над
внешними телами совершается за счет убыли его внутренней
энергии.
Используя
dU = сVdT ; dA = рdV
находим
рdV = -сV dT
С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа
следует
d(рV) = pdV + Vdp = RdT
Исключая
dT , получаем
рdV = - сV (pdV + vdp)/R
Откуда
dp
R dV
dV
= -( 1 + )
= -γ
p
cV V
V
Интегрируя, находим
p2
V2
dp
dV
=
-γ
p p V V
1
1
p2
V2
ln( ) = -γln( )
p1
V1
Последнюю формулу можно переписать в виде
p2  V1 
= 
p1  V2 
γ

γ
1 1
γ
2 2
pV = pV
Следовательно
Адиабата
P
γ
pV = const
И зотер ма
это уравнение адиабатического процесса
- уравнение Пуассона
γ
pV = const
0
V1
V
V2
Так как  > 1 , то у адиабаты давление
меняется от объема быстрее, чем у изотермы.
pV=const
Используя уравнение состояния
преобразуем уравнение Пуассона к виду
pV = νRT 
Значит
или
TV
p
νRTV
(γ -1)
(1-γ)
(γ -1)
идеального
газа,
= const
= const
γ
T = const
При адиабатическом расширении идеальный газ
охлаждается, а при сжатии – нагревается.
Политропический процесс
Политропический
процесс
–
процесс,
протекающий при постоянной теплоёмкости,
cm = const.
где cm – молярная теплоемкость.
pV  const , n 
n
c  cp
c  cV
где n - показатель политропы.
,
Найдем уравнение политропы для идеального газа.
Из первого начала термодинамики следует
d'Q = dU + pdV = νcm dT
dU = νdU m = νcV dT
откуда получаем
ν(cm - cV )dT = pdV
С другой стороны, из уравнения состояния идеального
газа
d(pV) = d(νRT)  pdV +Vdp = νRdT
Поэтому можно записать
(cm - cV )(pdV + VdP) = pRdV
(cm - cV - R)pdV + (cm - cV )Vdp = 0
Поскольку
cP = cV + R то
dV
dp
(cm - cP )
+ (cm - cV ) = 0
V
p
cm - c P
Обозначим n =
cm - cV
Интегрируем
Следовательно
, получим
dV dp
n
+ =0
V
p
 V2 
 p1 
nln   = ln   
 V1 
 p2 
p2V2n = p1V1n
n
pV = const
- уравнение политропы,
n - показатель политропы.
Все изопроцессы являются частным случаем
политропического процесса:
pV  const , n    адиабата.

pV  const , n  1  изотерма .
p  const , n  0  изобара .
1
n
pV  const , p V  const ,
n
n    V  const  изохора.
Энтропия
Адиабатические процессы в термодинамических системах могут
быть равновесными и неравновесными. Для характеристики
равновесного адиабатического процесса можно ввести некоторую
физическую величину, которая оставалась бы постоянной в
течение всего процесса; ее назвали энтропией S.
Энтропия есть такая функция состояния системы, элементарное
изменение которой при равновесном переходе системы из одного
состояния в другое равно полученному или отданному количеству
теплоты, деленному на температуру, при которой произошел этот
процесс
для бесконечно малого изменения состояния системы
dQ cmdT
dS 

T
T
Изменение энтропии в изопроцессах
Если система совершает равновесный переход из
состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии:
dQ
dU  A
 S 2  S1  

,
T
T
1
1
2
ΔS12
2
Найдем изменения энтропии в процессах идеального газа.
Так как
m
dU  CV dT ,
μ
а
то
m RT
dA  pdV 
dV ,
 V
2
2
m dT
mR
ΔS  S 2  S1   CV

dV
μ
T 1 μV
1
Или
T2 m
V2
m
ΔS  Cv ln  R ln
μ
T1 μ
V1
Изменение энтропии S12 идеального газа при
переходе его из состояния 1 в состояние 2 не
зависит от пути перехода 1  2.
изохорического
процесса:
изобарического
процесса:
T2
m
ΔS  CV ln ,
μ
T1
V1  V2
T2 p1 = p2
m 2 dT2 m
ΔS   C p
 C p ln ,
μ T1
T1
μ
T1
T
изотермического
процесса:
V2
ΔS  mR ln ,
V1
адиабатного
процесса:
dQ  0,
ΔS  0,
Т1 = Т2
Следовательно, S = const, адиабатный процесс по другому
называют – изоэнтропийным процессом.
Во всех случаях, когда система получает извне теплоту, то Q —
положительно, следовательно, S2 > S1 и энтропия системы
увеличивается.
Если же система отдаст теплоту, то Q имеет отрицательный знак
и, следовательно, S2 < S1; энтропия системы уменьшается.
Энтропия системы пропорциональна массе (или числу частиц) этой
системы
Q=c m ΔT
Масса системы представляется в виде суммы масс ее составных
частей, поэтому энтропия всей системы будет равна сумме
энтропии ее составных частей, т. е. энтропия есть аддитивная
величина.
Изопроцессы могут быть изображены графически в координатных
системах, по осям которых отложены параметры состояния.
давление p - объем V
температура Т– объем V
температура Т – давление p
p1V1 p2V2

 const
T1
T2
V1
V2
T1 T2
p1  p2  const (  )
V1 V2
При адиабатическом расширении внешняя работа совершается только
за счет внутренней энергии газа, вследствие чего внутренняя энергия, а вместе
с ней и температура газа уменьшаются (Т2 < T1)
При изотермическом процессе Т2 = T1
Удобство координатной системы р, V
В масштабе чертежа внешняя работа изображается
площадью, ограниченной кривой процесса 1—2 и
ординатами начального и конечного состояний
Круговые (замкнутые) процессы
Совокупность термодинамических процессов, в
результате которых система возвращается в исходное
состояние, называется круговым процессом (циклом).
Прямой цикл – работа за
цикл
A   pdV  0
Обратный цикл – работа
за цикл
A   pdV  0
Тепловая машина
Циклически действующее устройство, превращающее
теплоту в работу, называется тепловой машиной или
тепловым двигателем.
Q
Н агреватель
1
Рабочее
тело
Q
2
Х олодильни к
(Р Т )
А
Q1 – тепло, получаемое РТ от нагревателя,
Q2 – тепло, передаваемое РТ холодильнику,
А – полезная работа (работа, совершаемая РТ при
передаче тепла).
2
2
1
1
Q
p
a
1
b
-Q
Q
1
2
1
-Q
2
0
2
V
В цилиндре находится газ – рабочее тело (РТ).
Начальное состояние РТ на диаграмме p(V) изображено
точкой 1.
Цилиндр подключают к нагревателю, РТ нагревается и
расширяется.
Следовательно
совершается
положительная работа А1, цилиндр переходит в
положение 2 (состояние 2).
Процесс 1–2: –
Q
p
2
1
Q1  U 2  U 1  A1
a
1
-Q
0
первое начало термодинамики.
b
2
V
Работа А1 равна площади под кривой 1a2.
Чтобы поршень цилиндра вернуть в исходное
состояние 1, необходимо сжать рабочее тело,
затратив при этом работу – А2.
Q
p
2
1
a
1
b
-Q
0
Процесс 2–1:
2
V
Для того чтобы поршень
совершил полезную работу,
необходимо выполнить условие:
А2 < А1. С этой целью сжатие
следует
производить
при
охлаждении цилиндра, т.е. от
цилиндра необходимо отводить к
холодильнику тепло –Q2.
 Q2  U 1  U 2  A2
– первое начало термодинамики.
Работа А2 равна площади под кривой 2b1.
Q
p
2
1
a
Сложим два уравнения и
получим:
Q1  Q2  A1  A2  Aпол езная .
b
1
-Q
0
2
V
Рабочее тело совершает круговой процесс 1a2b1 – цикл.
К.п.д.
Аполезная Q1  Q2
Q2


1 .
Q1
Q1
Q1
Q
p
2
1
a
m
M
pV 
RT  T  pV
;
M
Rm
1
b
-Q
0
2
V
при V  const , pнагревателя  p холодильника  Т н  Т х .
Процесс возвращения рабочего тела в исходное
состояние происходит при более низкой температуре.
Следовательно, для работы тепловой машины
холодильник принципиально необходим.
Цикл Карно
Никола Леонард Сади Карно –
французский офицер инженерных
войск, в 1824 г. опубликовал
сочинение «Размышления о
движущей силе огня и о машинах
способных развить эту силу».
Ввел понятие кругового и обратимого
процессов, идеального цикла тепловых машин,
заложил тем самым основы их теории. Пришел к
понятию механического эквивалента теплоты.
Карно вывел теорему, носящую теперь его
имя:
из всех периодически действующих
тепловых машин, имеющих одинаковые
температуры нагревателей и холодильников,
наибольшим КПД обладают обратимые
машины. Причем КПД обратимых машин,
работающих при одинаковых температурах
нагревателей и холодильников, равны друг другу
и не зависят от конструкции машины. При
этом КПД меньше единицы.
Цикл Карно.
Цикл Карно
Процесс А-В –
изотермическое расширение
V1
A1  RT1ln  Q1 ,
V0
Процесс В-С –
γ 1
T1  V2 
   ,
T2  V1 
адиабатическое расширение
 – коэффициент Пуассона.
p1V1 (T1  T2 )
A2 
(  1)T1
RT1  T2 

 1
Цикл Карно
Процесс С-D –
изотермическое сжатие
V3
A3   RT2ln  Q2
V2
Процесс D-A –
адиабатическое сжатие
 V3 
 
 V0 
γ 1
T1

T2
R
A4  
(T1  T2 )
 1
V1 R (T1  T2 )
A  RT1 ln 

V0
 1
V3 R(T1  T2 )
 RT2 ln 
V2
 1
A Q1  Q2
Q2
T2
 
 1  1
Q1
Q1
Q1
T1
T2
  1
T1
Если Т2 = 0, то η = 1, что невозможно, т.к.
абсолютный нуль температуры не существует.
Если Т1 = ∞, то η = 1, что невозможно, т.к.
бесконечная температура не достижима.
КПД цикла Карно η < 1 и зависит от
разности температур между нагревателем и
холодильником (и не зависит от конструкции
машины и рода рабочего тела).
Q
Цикл Карно
в координатах S-T
Изотермы:
Q
А-Б система получает извне
теплоту, Q — положительно,
следовательно, S2 > S1 и энтропия
системы увеличивается.
В-Г система отдает теплоту, Q
имеет отрицательный знак и,
следовательно, S2 < S1; энтропия
системы уменьшается.
Адиабаты: Б-В и Г-А
dQ = 0, следовательно, S=0
Теоремы Карно.
1. К.п.д. η обратимой идеальной тепловой
машины Карно не зависит от рабочего
вещества.
2. К.п.д. необратимой машины Карно не может
быть больше к.п.д. обратимой машины Карно.