Работа. Консервативные силы Понятие о механической работе и энергии Энергия – количественная мера движения материи в различных формах этого движения. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии. Механическая энергия – мера механического движения, перемещения и взаимодействия сил. Механическая работа – мера перехода механической энергии от одного тела к другому. Прямолинейное движение A F S cos , (1) dr dS.(2) F α F S S С течением времени вектор F может меняться по модулю и по направлению. Поэтому рассматривается элементарное перемещение dr , на котором F = const, а движение точки (тела) прямолинейное. Следовательно, элементарная работа: dA F dr FdS cos FS dS скалярная величина. Движение по участку траектории 2 A12 Fdr FS dS. r2 F F dr r1 S 1 v 1 2 FS – проекция вектора F на вектор перемещения dr v dt. v F N ц .с v F dr A 0 F S dA 0 dS S При графическом изображении FS(S) работа равна площади под кривой. Система СИ: [А] = джоуль, Дж. 1 Дж равен работе, совершаемой силой в 1 Н на пути 1 м, 1 Дж = 1 Н·1 м. Мощность Мощность (механизма или машины) – работа, совершаемая за единицу времени. Характеризует скорость совершения работы. Скалярная величина. dA d F r dr N F F v t – мгновенная dt dt dt мощность. A N ср t – средняя мощность. Система СИ: [N] = ватт, Вт; 1 Вт = 1 Дж / 1 с. Кинетическая энергия Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы. Сила вызывает движение тел и совершает работу dA Fdr .(1) dv Второй з.Ньютона : F m .(2) dt dv dr dA m dr m dv .(3) dA mv dv .(5) dt dt 2 v dr v dv d v dv.(6) v .(4) dt 2 dA mvdv.(7) n 1 v x n A12 mvdv x dx n 1 v 2 1 v2 2 v2 1 v1 mv m vdv 2 v mv22 mv12 .(8) 2 2 Работа А силы F пошла на увеличение скорости тела от v1 до v2, увеличение 2 mv его кинетической энергии Е . к 2 A12 Ек 2 Ек1 Ек .(9) dA dЕк – справедливо как для одного тела, так и для системы тел. 2 i mi v Ек . 2 i 1 n • Использовался второй закон Ньютона, т.е. движение в ИСО. В разных ИСО, движущихся относительно друг друга, скорость тела различная, следовательно, различна и кинетическая энергия Ек. Консервативные силы Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы пути (траектории), а только от начального и конечного положения точек траектории. а 1 2 b Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. А1а 2 A2b1 0 А1а 2 A2b1 . Примеры консервативных сил (силовых полей): 1. Fтяжести mg 2. Fупругости kx 3. q1 q2 FКулона k 2 r 1 Сила тяжести m g H H 2 A12 FS cos mgH cos0 0 mgH , A21 mgH cos180 mgH A A12 A21 0. 0 Сила упругости В одномерном случае F(x) F kx; dA Fdx dA kxdx x2 2 x1 1 x2 kx A12 kxdx 2 x kx x 2 1 2 2 2 Работа зависит от начального и конечного положения (x1;x2). Если x1 = x2, то А = 0. Диссипативные силы – силы, работа которых зависит от траектории перемещения тел. Пример: сила трения. Потенциальная энергия Потенциальная энергия – энергия системы тел, зависящая от взаимного расположения или их составных частей. Взаимодействие тел в системе осуществляется посредством силовых полей. Поля консервативных сил называются потенциальными. Тело, находящееся в потенциальном поле другого тела, обладает потенциальной энергией. E p mgh – потенциальная энергия в поле kx Ep 2 2 тяготения. – потенциальная энергия упруго деформированного тела. Рассмотрим поле консервативных сил. A00' Fdr . 0' E 0 p 1 2 r 0 0' x Так как работа консервативных сил не зависит от формы пути, то при перемещении тела из 0 в 0' можно ввести понятие потенциальной энергии: A00' E p ; E p 0 0. Пусть перемещаем материальную точку из точки 1 в точку 2. При перемещении работа будет равна: A12 A10 A02 , (1) A02 A20 .(2) A12 A10 A20 .(3) A12 A10 A20 .(3) A10 E p1 , (4) A20 E p 2 .(5) A12 E p1 E p 2 , (6) E p E p 2 E p1.(7) A12 E p , (8) dA dEp (9) для бесконечно малых. Работа консервативны сил равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. Выражения (8), (9) справедливы как для одного тела, находящегося в поле консервативных сил, так и для системы тел. Связь потенциальной энергии и силы E Материальная точка движется вдоль оси х в потенциальном поле Ep(x). p dA dE p , (1) Fdx dE p .(2) F 0 x0 x dE p dx Сила есть первая производная от потенциальной энергии по координате, взятая с обратным знаком. . В общем случае трехмерного пространства: Fx E p x ; Fy E p y ; Fz В векторном виде: E p z F gradEp E p , grad i j k, x y z – набла (оператор Гамильтона). . Уравнение (2) в общем виде: Fdr dEp . Fdr dEp E p Fdr C , C константа интегрирования. Т.е. Ep определяется с точностью до С, но это не влияет на результат, так в первую очередь интересует Δ Ep. Потенциальную энергию системы в каком-то состоянии считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета). Энергию системы в других состояниях отсчитывают от этого нулевого уровня. dEp F dx Знак “–” отражает то, что сила F направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии. В точке х0: E E p dE p p dx 0 x0 а) устойч ив ое рав н овесие x 0 x0 б) неустойч ив ое рав н овесие x 0 F 0 тело в равновесии. Тело находится в положении устойчивого равновесия, если потенциальная энергия тела минимальная. Этот вывод распространяется и на систему тел.