Математические модели в заземлении и ЭМС

4 Российская конференция
по молниезащите
при поддержке
СПб 28 мая 2014 г
Математические модели и методы
в задачах заземления и ЭМС
Шишигин С.Л. д.т.н., зав. кафедрой электротехники
Мещеряков В.Е, Шишигин Д.С. аспиранты
Вологодский государственный университет
ЦЕПНО-ПОЛЕВАЯ МОДЕЛЬ ЗАЗЕМЛЯЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Расчет ЗУ - нахождение z, U, I, J (цепная задача); φ, E, H (полевая задача)
МЕТОДИКА
G, C, M, r, L
GУ
=B·G·BT,
CУ
=B·C·BT
I, J
1. Дробление на элементы
2. Расчет интегральных параметров:
проводимости растекания G,
индуктивности M, емкости C, внутреннего
сопротивления r и индуктивности
стержней L
3. Перенос матриц G,C в узлы схемы
замещения GУ=B·G·BT, CУ=B·C·BT, где bi,j
= 0.5|ai,j |, А – матрица соединений
продольных ветвей
4. Расчет продольных токов I, стекающих
токов J токов, напряжений ветвей и
входного сопротивления
5. Расчет потенциала φ, напряженности E, H
Вывод: Простая и адекватная математическая модель
2
ДВУХСЛОЙНАЯ 1D-МОДЕЛЬ ЗЕМЛИ
Метод зеркальных отображений стержня от двух плоских границ
Рис.1. Источник в
верхнем слое (а),
расчетная точка в
верхнем (б) и
нижнем (в) слое
земли
Рис.2. Источник
в нижнем слое
(а), расчетная
точка в верхнем
(б) и нижнем (в)
слое земли



R
(
p
,
q
,
l
)

k n ( R( p, q  2nh, l )  R( p, q  2nh, l )), Рис .1б


n 1



(1  k ) k n ( R( p, q  2nh, l )  R( p, q  2nh, l ) ) , Рис .1в

n 0
Rij  


(1  k ) k n  R( p, q  2nh, l ), Рис . 2б

n 0


2
n


 R( p, q, l )  k  R( p, q  2h, l )  (1  k ) k  R( p, q  2nh, l ), Рис . 2в
n 0

• Векторная форма записи
• Ускорение сходимости
бесконечных рядов методом
выделения на основе мажоранты
рядов

S   k n n   ln(1  k ), k  1
n 1
Вывод: Эффективная расчетная модель, но только 2 слоя
3
МНОГОСЛОЙНАЯ 1D-МОДЕЛЬ ЗЕМЛИ
Метод оптической аналогии. Модель разработана В.В. Бургсдорфом,
улучшена С.В. Нестеровым.
•
•
•
Рекуррентные формулы для
зеркальных изображений
Огромное число отражений при
резком различии удельных
сопротивлений слоев
Отсутствие средств ускорения
сходимости
Вывод: Трудоемкая модель. Задача повышения ее
производительности ждет решения
4
3D-МОДЕЛЬ ЗЕМЛИ
ИДЕЯ 1. Метод интегральных уравнений.
Влияние границ раздела сред выражается в виде матрицы
вносимого сопротивления заземлителя ΔR, определяемой
J ( P)
dG( P, Q)
 k  J (Q)
dS Q  0
2
dn
S
1
I 2  D 22 D12 I 1
M
dR pi
i 1
dn

M N
dR pj
j  M 1
dn

Ii 
Ij 
Ip
2kS p
0
D12I1  D22I 2  0
1  R11I1  R12 I 2  (R11  R12 D 221 D12 )I1  (R11  R)I1
1
R  R 12 D 22 D12
Алгоритм исследован аналитически: быстрое
затухание влияния соседних ячеек (1/r4)
R 
N
N
 
i  N j  N
R12 (i, j ) 
R12 (i, j ) D21 (i, j ) 1k m N


D22 (i, j )
4a 2 i  N
N
1
j  N
(i  j  m 2 ) 2

2
2
1
1
1
m
, D21 (i, j ) 
, D22 (i, j )  1 / 2ka2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
4a i  j  m
4a (i  j  m )
ИДЕЯ 2. Метод интегральных уравнений совместно с методом
зеркальных изображений. Вторичные токи на криволинейных границах
отображаются от прямолинейных, что обеспечивает эффективность расчета.
Вывод: Перспективная модель
5
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЗУ ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. Частотный метод. Трудоемкий, неточный. Применение нецелесообразно.
2. МЕТОД ДИСКРЕТНЫЙ СХЕМ. Шаговые алгоритмы
Схемы индуктивности (а) и емкости (б) на n- шаге
Тестовая задача. Найти входное напряжение при
входном токе J(t)=t
Формула
Эйлера:
R=L/h, G=C/h, En=Rin , Jn=Gun
Формула
трапеций
R=2L/h, G=2C/h, En=Rin+un, Jn=Gun+in
Операторный
метод
R=sL, G=sC, En=Lin , Jn=Cun
s  (2  2 j ) / h, f (t )  Re( (5 2 j  2)  F ( s ) ) / h
u E ( h)  h 
11 h
1 

 0,251  2h 
  h  ...
2 1 h
1  2h 

u T ( h)  h 
1 2 h
1 
h2

 0,51  h 

h

 ...

22 h
1 h 
2

u 3 ( h) 


(2  2 j ) h  1
1
Re (5 2 j  2) 

h
(2  2 j ) 2 h 2  ((2  2 j ) h  2) 

2h  3 
h 2 h3

 0,251  2h 

h


 ... ,

2
3
3  4h  2h 2 

Вывод: Метод дискретных схем с шаговыми алгоритмами 1,3 порядка –
эффективный метод расчета переходных процессов
6
МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ШАГОВЫХ АЛГОРИТМАХ
МЕТОДИКА. Параметры НЭ определяются в начале шага и принимаются постоянными в
течение шага
1. Нелинейность G. Искрообразование в
3. Нелинейность С. Емкость короны на
земле по модели Е.Я. Рябковой: изменение
радиуса стержня
проводах ВЛ по данным кафедры ЭиТВН
СПбГПУ
C (U ) / C  0.625(U / U н  1) 2 / 3
4. Нелинейность μ(H). Универсальная
характеристика Л.Р. Неймана
2. Нелинейность R:
ВАХ ОПН по справочным данным
U (I )  A  I 
ВСХ изоляции по РД 153-34.3-35.125-99
15 

U (t )  340  l 1 

 t  9.5 
Вывод: Нелинейные элементы легко учесть в шаговых алгоритмах
7
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ЧАСТОТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПРОБЛЕМА. Внутреннее сопротивление стержней Z(jω), параметры земли ρ(ω), ε(ω)
зависят от частоты. Расчеты импульсных процессов на эквивалентной частоте не точны.
РЕШЕНИЕ: Сопротивлению Z(jω) соответствует дискретная модель на n-шаге
Доказательство
Переходное сопротивление z(t)
Z(jω) →Z(s) →z(t)=L–1[Z(s)/s]
Подставляя z(t) в интеграл Дюамеля:
Пример. Учет поверхностного эффекта
стального стержня
l  s / 
Z ( s) 
2a
t
u (t )  z (t )i(0)   z (t  x)  i ( x) dx, i(0)  0
0
im1  im
h
m 1
n
u n 1  
Rk 
t m 1
n
tm
m 1
 z(t n1  x) dx   (im1  im ) Rnm1
R1 
Rn 
l /
( n  n  1)
a  h
1 k h
 z ( y ) dy, k  1..N
h ( k 1) h
un 1  R1  in 1 
n
 ( Rn m1  Rn m 2 ) im  R1  in 1  En
l /
a  h
En 
n
 ( Rnm1  Rnm2 ) im
m2
m2
Вывод: Дискретная модель – эффективный способ учета сопротивлений
Z(jω) в шаговых алгоритмах
8
СЕТОЧНЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЭКРАНОВ
Проблема. Сеточная модель не учитывает затухание волны в сплошном экране
Допущение. Стальной экран идеальный (проникновение ЭМП только через отверстия),
емкостью пренебрегаем.
Магнитостатическая задача с г.у. H2=0.
Метод интегральных уравнений с дискретизацией стержнями.
Формулы, аналогичные c 3D-моделью земли
Пример. Кубический экран
Вывод: Сеточные модели электромагнитных экранов позволяет
проводить их расчеты совместно с ЗУ
9
МОДЕЛИ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНДУКТИВНЫХ ПОМЕХ
1. Коэффициенты экранирования: k=const – неточны, трудно обобщить
2. Передаточное сопротивление Zτ
Напряжение помехи
U= RI+jω(L-M)I=Zτ∙I
идеальный экран L=M
U= RI
Для снижения помехи следует уменьшить ток экрана (ШУП, ЗУ, прокладка)
3. Сеточная модель экрана контрольного кабеля
Вывод: Идеальный экран с передаточным сопротивлением R – простая и
адекватная модель кабеля с двусторонним заземлением .Сеточная модель экрана
универсальна.
10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Рассмотрен комплекс моделей и методов,
позволяющих проводить расчеты заземляющих устройств в
задачах молниезащиты и ЭМС
Спасибо за внимание