Векторы на плоскости, и в пространстве

Тема 8. «Векторы на плоскости и в
пространстве»
Основные понятия:
1. Определение вектора, основные определения
и линейные операции над векторами
2. Скалярное произведение векторов
3. Векторное произведение векторов
4. Смешанное произведение векторов
5. Линейная зависимость и независимость
векторов
1. Определение вектора, основные определения
и линейные операции над векторами
Вектором называется направленный отрезок AB с начальной
точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать
параллельно самому себе).
Обозначения AB,
a,
AB, a
Длиной (или модулем) вектора называется число, равное
длине отрезка AB, изображающего вектор.
Обозначения
AB ,
a,
AB ,
a
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
Единичным вектором называется вектор, длина которого
равна единице.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или параллельных прямых.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.
Произведением вектора a на число λ называется вектор
 a , имеющий длину  a , направление которого совпадает
с направлением вектора a , если λ>0, и противоположно
ему, если λ<0.
Суммой двух векторов a и b называется вектор c  a  b
определяемый по правилу треугольника или
параллелограмма.
Разностью двух векторов
a и b называется вектор
.
 
c  a  b
Рассмотрим вектор AB и ось n.
A1 - проекция А на ось n
B1 - проекция В на ось n
A1B1  ï ðn AB
Проекцией вектора AB на ось n называется величина
направленного отрезка (вектора) A1 B1 оси n.
A1B1  ï ðn AB  AB  cos 
Рассмотрим ПДСК в пространстве.
Радиусом-вектором т.М
называется вектор r  OM
ДПКоординатами X,Y,Z вектора r
называются его проекции на
координатные оси
X  ï ðx r , Y  ï ð y r , Z  ï ð z r
i,j,k – единичные векторы координатных осей (орты).
Если А,В,С – проекции т. М на координатные оси, то
OM  OA  OB  OC  r  X  i  Y  j  Z  k
Последнее является разложением вектора r по базисным
векторам (ортам).
Длина радиуса-вектора (используя пространственную теорему
Пифагора) вычисляется по формуле
r  X 2 Y 2  Z2
Направляющими косинусами вектора называются косинусы
углов, образуемых им с координатными осями
X  r cos  , Y  r cos  , Z  r cos  
cos  
cos  
cos  
X
X 2 Y2  Z2
Y
X 2 Y 2  Z2
Z
X 2 Y2  Z2
2. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число
ab  a b cos 
Замечание. Если два вектора являются перпендикулярными, то
их скалярное произведение равно нулю, и наоборот.
Теорема. Скалярное произведение двух векторов
a   X1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2 
вычисляется по формуле
ab  X1 X 2  YY
1 2  Z1Z 2
Следствие 1. Косинус угла между векторами
a   X1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2 
вычисляется по формуле
cos  
ab
a b

X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2
X 12  Y12  Z12 X 2 2  Y2 2  Z 2 2
Следствие 2. Необходимое и достаточное условие
перпендикулярности двух векторов выражается равенством
ab  X1 X 2  YY
1 2  Z1Z 2  0
3. Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов называется третий
вектор, обозначаемый  a, b   a  b и удовлетворяющий
 
следующим условиям:
1) a  b  a b sin 
2) Вектор a  b перпендикулярен каждому из векторов a и b
3)
 a, b, a  b 
и
i, j, k  тройки одной ориентации.
Теорема. Векторное произведение двух векторов
a   X1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2 
выражается формулой
i
j
a  b  X 1 Y1
X 2 Y2
Y1

Y2
Z1
X1
i 
Z2
X2
k
Z1 
Z2
Z1
X 1 Y1
 j
k
Z2
X 2 Y2
Следствие 1. Площадь параллелограмма, построенного на
векторах a   X , Y , Z  , b   X , Y , Z 
1
1
1
2
2
2
вычисляется по формуле
Sï àð  ì à
Y1
 ab 
Y2
2
Z1
X1

Z2
X2
2
Z1
X 1 Y1

Z2
X 2 Y2
2
Следствие 2. Площадь треугольника, построенного на
векторах a   X 1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2 
вычисляется по формуле
Sò ð êà
1
1 Y1
 ab 
2
2 Y2
2
Z1
X1

Z2
X2
2
Z1
X1 Y1

Z2
X 2 Y2
2
4. Смешанное произведение векторов
Рассмотрим три вектора a, b, ñ .
Вектор a
умножим векторно на b .
Полученное векторное произведение a  b умножим скалярно
на ñ
. Получим число, которое называют векторно-
скаляным произведением или смешанным
произведением.
Обозначают
 a, b, c  или
abc .
Теорема. Смешанное произведение трех векторов
a   X1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2  , c   X 3 , Y3 , Z3 
выражается формулой
X 1 Y1
abc  X 2 Y2
Z1
Z2
X 3 Y3
Z3
Следствие 1. Объем параллелепипеда, построенного на
векторах a   X 1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2  , c   X 3 , Y3 , Z 3 
вычисляется по формуле
X1
Y1
Z1
Vï àð äà  abc  X 2 Y2
X 3 Y3
Z2
Z3
Следствие 2. Объем пирамиды, построенной на векторах
a   X1 , Y1 , Z1  , b   X 2 , Y2 , Z 2  , c   X 3 , Y3 , Z3 
вычисляется по формуле
X1
Vï èð äû
Y1
1
1
 abc  X 2 Y2
6
6
X 3 Y3
Z1
Z2
Z3
Следствие 3. Три вектора компланарны тогда и только тогда,
когда их смешанное произведение равно нулю.
5. Линейная зависимость и независимость
векторов
Векторы a1 , a2 ,..., an называются линейно зависимыми,
если существуют действительные числа  ,  ,...,  ,
1
2
из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что
1 a1  2 a2  ...  n an  0
Если таких чисел нет, то векторы называются линейно
независимыми.
n
Следствие 1. Если хотя бы один из векторов системы нулевой,
то и система линейно зависима.
Следствие 2. Если часть векторов системы линейно зависима,
то и вся система линейно зависима.
Теорема. Чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо
и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов был
линейной комбинацией остальных.
Теорема. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарные.
Теорема. Любой вектор a на плоскости можно единственным
образом разложить по двум неколлинеарным векторам
той же плоскости, т. е.
e1 , e2
a  1 e1   2 e2
Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они компланарны.
Теорема. Любой вектор a в пространстве можно
единственным образом разложить по трем
некомпланарным векторам e , e , e , т. е.
1 2 3
a  1 e1  2 e2  3 e3
Следствие. Всякие четыре вектора трехмерного пространства
линейно зависимы.