Дифракция Фраунгофера на одной щели Рассмотрим дифракцию от
advertisement
2.4 Дифракция Фраунгофера 2.4.1 Дифракция Фраунгофера на одной щели Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной узкой щели. Пусть плоская волна падает нормально на экран, в котором имеется щель. Выберем волновую поверхность, совпадающую с плоскостью щели. Открытый участок этой поверхности выступает источником вторичных волн. Дифракционную картину будем наблюдать в фокальной плоскости собирающей линзы. Э I sinj -3l/a -2l/a -l/a 0 l/a 2l/a 3l/a Оптическая разность хода между крайними лучами MC и ND , идущими от щели в направлении угла j, равна = аsin j (2.4.1) 2 2 a sin j Ей отвечает разность фаз l l Разобьем щель MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных краям щели. Ширину зон выберем так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2 . Тогда на ширине щели уместится 2/l зон. Как следует из (2.4.1) это число зависит от угла j . Все точки в плоскости щели совершают колебания с одинаковой фазой. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели тоже равны, поскольку зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. При интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля результирующая амплитуда равна нулю, так как колебания от них приходят в точку B в противофазе и гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное asin j = ± 2m (l/2) m = 1, 2, 3, … (2.4.2) то в точке экрана B будет наблюдаться дифракционный минимум. Если же число зон Френеля нечетное asin j = ± (2m+1)(l/2) m = 1, 2, 3, … (2.4.3) то в точке B будет наблюдаться дифракционный максимум, соответствующий действию одной не скомпенсированной зоны Френеля. Результирующую амплитуду А в любой точке экрана В найдем из векторной диаграммы. Обозначим радиус цепочки-дуги через R . Из рисунка следует А = 2Rsin(δ/2), A0 = Rδ Исключая R , получим sin( az) A = A0 az sinj z= l (2.4.4) где A0 - амплитуда при угле j = 0. Из формулы (2.4.4) следует, что интенсивности центрального и следующих максимумов относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : … основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме, угловая полуширина которого равна l/a. При сужении щели центральный максимум расплывается, а его яркость уменьшается. Это же относится и к другим максимумам. Наоборот, чем щель шире (a > l), тем картина ярче, но дифракционные полосы ужé, а число самих полос больше. При a >> l в центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света. Значит, Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны l, поэтому в белом свете наблюдается совокупность картин для разных цветов, сдвинутых друг относительно друга. Центральный максимум (j = 0) является общим для всех длин волн, поэтому центр дифракционной картины имеет вид белой полосы. Последующие максимумы для разных длин волн не совпадают между собой, ближе к центру располагаются максимумы, соответствующие более коротким фиолетовым волнам. На рисунке показано изменение дифракционной картины при увеличении ширины щели. Центральный максимум наиболее яркий, он вдвое шире побочных максимумов. Размер области дифракционного расплывания обратно пропорционален ширине щели. а1 < a2 < a3 < а4 < а4 Дифракция Фраунгофера на щели по мере ее расширения (слева направо) 2.4.2 Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке Дифракционная решетка, представляет собой систему параллельных щелей одинаковой ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками, которые наносят алмазным резцом на стеклянную пластинку. Количество щелей может составлять несколько сотен на 1 мм. Дифракционная картина от решетки является результатом интерференции когерентных волн, идущих от всех щелей ( многолучевая интерференция ). d=a+b период дифракционной решетки MN = a NC = b d = a+b = CF = d sinj Для расчета амплитуды суммарной волны в направлении угла j построим векторную диаграмму. Она представляет собой цепочку векторов-амплитуд когерентных колебаний, приходящих в точку наблюдения от каждой из N щелей: А1 , А2 , … , AN . Модули этих векторов одинаковы, а фазы соседних векторов отличаются на один и тот же угол , связанный с оптической разностью хода Δ соотношением (1.3.6) 2πΔ 2πdsinj γ= = λ λ (2.4.5) Как следует из рисунка, амплитуду суммарной волны можно записать в виде N A 2 R sin( ) 2 (2.4.6) где R – радиус дуги окружности, описанной вокруг цепочки векторов. С другой стороны амплитуда A1 от одной щели согласно (2.4.4) равна (2.4.7) Исключая A1 2 R sin( ) 2 R из двух формул, получаем sin(Nγ/2) sin(N dz) sin( j ) A = A1 = A1 , z= sin(γ/2) sin( dz) l (2.4.8) Отсюда, направлении j находим интенсивность света в sin (N dz) sin ( az) sin (N dz) I = I1 = I0 2 2 2 sin ( dz) ( az) sin ( dz) 2 2 2 (2.4.9) где I1 - интенсивность света от одной щели, а I0 - интенсивность света от одной щели в направлении j = 0. Первые сомножители в формуле (2.4.9) связаны с дифракцией света на одной щели, а последний – обусловлен интерференцией вторичных волн всех щелей. Главным максимумам отвечают узкие интенсивные пики, являющиеся результатом усиления волн от всех щелей. В формуле (2.4.9) им отвечает случай, когда равен нулю знаменатель второй дроби, что дает главные max d sinj = ± ml (m = 0, 1, 2, … ) (2.4.10) 111111 111111 111111 111111 111111 111111 a a 111111 a a Интенсивность в главных max равна Imax = N2 I1 Поэтому кривая от одной щели, умноженная на N2, выступает огибающей полной интенсивности – ей отвечает пунктирная линия на рисунке. Минимумы интенсивности от одной щели являются главными минимумами дифракционной решетки. В формуле (2.4.9) им отвечает случай, когда равен нулю числитель первой дроби πaz = mπ m = ± 1, ± 2, ... Откуда условие главных min asinj = ± ml Оно такое же, как и для одной щели (2.4.2). (2.4.11) При выполнении равенства N πdz = ± (m+1/2) π синус числителя второй дроби в формуле (2.4.9) обращается в ±1. Этому условию отвечают добавочные максимумы интенсивности sin(Nπdz) = ± 1 Nπdz = ± (2m + 1)π/2 Ndsinj = ± (2m + 1)πλ/2 (2.4.12) Между двумя соседними, главными максимумами находятся (N-2) добавочных максимумов. Амплитуда добавочных максимумов мала. При выполнении равенства N πdz = ± mπ обращается в 0 синус числителя второй дроби в формуле (2.4.9), чему отвечают добавочные минимумы интенсивности sin(Nπdz) = 0 Nπdz = ± mπ (2.4.13) Ndsinj = ± mλ m = 1,2, ..., N - 1, N + 1, ...,2N - 1, 2N + 1, ... Однако при m = 0, N, 2N, … условие (2.4.13) переходит в условие главных max. Расстояние между ближайшими к главному max минимумами дает угловую ширину главного максимума Δj = 2λ /(Nd) Векторная диаграмма в главном максимуме (а) и в соседнем минимуме (b). Амплитуда колебания в главном максимуме равна NA1, а интенсивность равна I(j) = N2I1(j) , то есть она в N2 раз больше интенсивности от одной щели. Положение главных максимумов зависит от длины волны l, поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (m = 0), раскладываются в спектр, фиолетовая область которого обращена к центру дифракционной картины, а красная наружу. На рисунке показаны спектры, получаемые с помощью дифракционной решетки в белом цвете в красном цвете в фиолетовом цвете 2.4.3 Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии Расчет дифракции Фраунгофера на круглом отверстии достаточно сложен. Он приводит к функциям Бесселя первого порядка J1 . Интенсивность света в направлении с углом дается формулой 2J 1 (πDz) sin( j ) I( j ) = I0 , z= πDz λ здесь I0 =0,D - φ (2.4.14) интенсивность света в направлении – диаметр отверстия. Картина дифракции на круглом отверстии имеет вид концентрических колец и похожа на распределение интенсивности для одной щели. Центральное светлое пятно носит название пятна Эйри, в него попадает подавляющая часть светового потока (84%). Поэтому можно считать, что пятно Эйри является изображением бесконечно удаленного точечного источника, уширенное дифракцией света от краев круглого отверстия. Распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на круглом отверстии, полученное по формуле (2.4.14) I(j ) sin j 2.5 Разрешающая способность оптических приборов Основными характеристиками оптических приборов являются дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися на единицу длины волны. Угловая дисперсия характеризует угловое разделение спектра с различными длинами волн, она равна δj D= δλ (2.5.1) где j - угловое расстояние между спектральными линиями, различающимися по длине волны на l. В качестве примера, найдем угловую дисперсию дифракционной решетки. Для нахождения отношения j l используем условие главных максимумов d sin j ml Возьмем от него производную по длине волны dj dco s j m dl Откуда dj m D d l dco s j (2.5.2а) Для малых углов дифракции j m D d (2.5.2б) Следовательно, угловая дисперсия дифракционной решетки обратно пропорциональна периоду решетки d и прямо пропорциональна порядку спектральной линии m. Линейной дисперсией называют величину Dлин δl δλ (2.5.3) где l - линейное расстояние на экране между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на l. Найдем связь между угловой и линейной дисперсией. Пусть лучи, прошедшие через спектральный прибор, собираются линзой с фокусом f. Расположим экран наблюдения в фокусе линзы. При небольших углах j можно положить l fj Подставляя в (2.5.3), получаем j f dj f δj Dлин = δλ = f D (2.5.4) l dl Следовательно, линейная дисперсия выражается через угловую дисперсию D. В частности, для дифракционной решетки (при малых углах дифракции j ) m Dлин = f d Разрешающей силой называется величина, равная оптического λ R= δλ (2.5.5) прибора (2.5.6) где l - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются еще как отдельные. Поэтому R – равно числу линий, различаемых на длине волны. Возможность разрешения двух близких спектральных линий зависит от расстояния между ними и их ширины. На рисунке штриховыми линиями показаны интенсивности двух соседних дифракционных максимумов, а сплошной линией - результирующая интенсивность. В случае а) оба максимума воспринимаются как один пик. В случае б) между максимумами лежит минимум. Два близких максимума воспринимаются как раздельные, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. a) б) Рэлей предложил критерий, согласно которому спектральные линии считаются полностью разрешенными, если середина одного максимума совпадает с краем другого (рис. б). В этом случае минимум интенсивности между линиями как раз составляет около 80% от максимумов. Такое взаимное расположение максимумов получается при определенной (для данного прибора) разнице волн соседних линий l. Найдем для примера разрешающую силу дифракционной решетки. Угол дифракции середины m - го максимума волны с длиной l +l определяется условием d sin j max m(l l ) Краями спектральной линии m - го максимума волны с длиной l являются ближайшие побочные минимумы, расположенные под углами, удовлетворяющими соотношению d sin jmin (m 1/ N )l Критерий Релея выполнится, если максимум волны с длиной l+l совпадет с минимумом волны с длиной l jmin jmax m(l l ) (m 1/ N )l Отсюда получаем mδλ = λ/N λ R= = mN δλ (2.5.7) Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектральной линии m и числу щелей решетки N. Дифракция на пространственных решетках. Дифракция рентгеновских лучей Пространственной или трехмерной дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, в которой неоднородности периодически повторяются при изменении всех трех пространственных координат. В отличие от световых, рентгеновские лучи имеют очень короткую длину волны порядка 1-2 ангстрема. Поэтому на обычных решетках дифракция невозможна (b>>λ) В 1913 г. русский физик Г.В. Вульф и английские ученые отец и сын Генри и Лоуренс Брэгги, независимо друг от друга, предложили простой метод расчета дифракции рентгеновских лучей в кристаллах, как результат отражения рентгеновских лучей от плоскостей кристалла. Интерференционные максимумы удовлетворяют условию ВульфаБрэггов : 2d sin θ mλ Понятие о голографии Голография (от греч. holos grapho – полная запись). В 1948г. английский физик Денис Габор высказал идею получения объемного изображения объектов. Советский ученый Ю.Н. Денисюк в 1962 г. Рис.
