Упорядоченный хаос. Разностные уравнения в одной

Упорядоченный хаос. Разностные
уравнения в одной
экологической задаче
Каменев Г.К. Лысенко Н.В.,
Люлякин О.Н., Поляновский В.О.,
Саранча Д.А.
Происхождение задачи.
В наших исследованиях задача об изучении свойств
разностных уравнений (РУ) возникла при описании
динамики численности животных в рамках
математических моделей тундровых популяций и
сообществ. Особую остроту данным исследованиям РУ
придал тот факт, что для моделируемой популяции
леммингов Западного Таймыра типичными являются
чередование максимумов численности через три года. В
то же время цикл периода три в порядке Шарковского
гарантирует существование циклов любой длины. В
данном сообщении предложен такой тип РУ и такой
сценарий изменения выделенного параметра, при
котором реализуется изменение периода циклов в
порядке натурального ряда.
Анонс
Из экологической задачи
появился нетрадиционный
вид разностных уравнений
Исследование показало
наличие порядка
натурального ряда в зонах
стабильности, которые
разделены переходными
зонами с более сложными
динамическими режимами.
Проведено исследования
переходных зон
Была проведена проверка выполнения
теоремы Шарковского, точнее его
утверждение о порядке наличия
циклов различных периодов.
Для этих функций было получено
некоторое обобщение порядков
Шарковского, что основано на
вычислительных экспериментах с
данными типами функций.
Сформулирован ряд утверждений
(гипотез) о порядке следования циклов
при изменении бифуркационного
параметра. Эти утверждения
проверялись с помощью
вычислительных экспериментов и
частично с помощью аналитических
выкладок
3
Порядок Шарковского
Логистическое уравнение
yn+1 = 4 λy n 1  yn , 0  λ  1
Зависимость устойчивых неподвижных точек
итерированных отображений от параметраλ
3  5  7  9  11  13
 3  2  5  2  7  2  9  2  11  2  13  2  
 3  22  5  22  7  22  9  22  11  22  13  22  
 2n  2n1    25  24  23  22  2  1.
Зависимость устойчивых неподвижных точек итерированных
отображений от параметра в укрупненном масштабе 
Бифуркационное
исследование
4
Проведенные исследования выявили возможность
использования для описания динамики численности
животных (ДЧЖ) разностноное уравнение
определенного типа (отличного от логистического,
экологическое обоснование которого вызывает
сомнение). Это уравнение имеет два основных
параметра Р и d. Если первый – прирост биомассы в
благоприятный год, определяется сравнительно
достоверно, то второй – выживаемость в наиболее
неблагоприятных условий, оценивается только по
косвенным показателям. В связи с этим проводилось
исследование по выявлению зависимости ДМЧ от этого
показателя.
Результаты вычислительных экспериментов
Зависимость траекторий расчётной
модели при Р=2 от параметра d
*вычислительные эксперименты (при r>>1)
Зоны стабильности (ЗС)
Внутри ЗС
период
траекторий
постоянный
При переходе от одной ЗС
к другой период
изменяется в порядке
натурального ряда
«Светлые зоны»
«Темные зоны»
6
Анализ последовательности возникновения циклов при
«опускании ступеньки» сводится к определения
последовательности возникновения циклов при
последовательном увеличении длины периода.
Конструктивно это реализуется с помощью
разработанного метода линий возврата (ЛВ).
Ниже приводится последовательность циклов с периодом до
порядка 28 включительно, а вверху для сравнения приведен
порядок Шарковского
3  5  7  9  11  13
 3  2  5  2  7  2  9  2  11  2  13  2  
 3  2 2  5  2 2  7  2 2  9  2 2  11  2 2  13  2 2  
 2 n  2 n1    25  2 4  23  2 2  2  1.
•
1, 2, 4, 8, 16, , 24 (ЭТО 3*8) , 28 (7*4), 20 (5*4) , 28, 12 (3*4), 24 (3*8) ,
• 28, 20, 28, 24, 28, 16, 28, 24, 28, 20, 28, 24, 28, 26(13*2), 22(11*2), 26,
18(9*2), 26, 22, 26,
14(7*2),28,
•
26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 28, 24, 28, 26,
• 28, 10(5*2),20(5*4), 28,
•
26, 28, 24, 28, 26,
•
22, 26, 28, 18, 28, 26, 22,
•
26, 28, 24, 28, 26,
14, 28,
•
26, 28, 24, 28, 26,
•
22, 26, 28, 18, 28, 26, 22,
•
26, 28, 24, 28, 20, 28, 24, 28, 26,
• 28,16, 28,
•
26, 28, 24, 28, 20, 28, 24, 28, 26, 22, 26, 28,6(3*2)
Утверждения (гипотезы)
А. Об удвоении
1.Если при процедуре последовательного увеличения
периодов циклов возник цикл некоторого периода n, то
непосредственно за ним возникают циклы с периодом n*2
в степени m,(m=1,2,3..)
2. Внутри последовательности циклов n*2 в степени m,
(m=1,2,3..), между циклами нет циклов других периодов.
3. Непосредственно перед любым циклом периода n не
может быть циклов с периодом n*2 в степени m,
(m=1,2,3..).
Б. «Подобия»
1. Если реализуется некая последовательность смены
четных циклов (при процедуре последовательного
увеличения периодов) ai * 2, то такая
последовательность реализуется и при замене 2 на 2 в
степени m(m=1,2,3.. ),т.е. реализуется
последовательность ai * 2 в степени m .
9
Динамика численности леммингов
Остров Трэйл
Порсангер, Норвегия.
Колымская низменность Чаунская низменность
Остров Врангеля
Остров Байлот, Канада.
п. Таймыр
Временные ряды удельной плотности популяции сибирского и копытного леммингов.
По оси ординат – число пойманных леммингов на 100 ловушко-суток
10
Методы моделирования экологических объектов
Имитационная диаграмма
Растительность (V)
R
b
V
a
g
4
M
2
R
V
10
b
L
9
D
V
a
a
1
2
Лемминги (L)
g
4
R
5
F
L
b
6
7
c
Аналитическая модель
«растительность - лемминги»
M
L
g
3
b
D
Математическая
модель
a
c
c
3
b
g
b
5
3
2
2
1
Песцы
(F)
Разностное уравнение, описывающее
численность популяции леммингов
M
D
F
F
c
5
а)функция ценности
кормов при их
дефиците
Имитационная модель
«растительность – лемминги - песцы»
c
Xt+1=F(Xt)
4
Экспертные функции
б) функция зависимости смертности
от сезона
в)функция
насыщения
выедания
г) функция самолимитирования
11
Сопоставление с экспериментальными данными
В результате:
• удалось предложить способы структурного
анализа переходных зон,
• определить последовательность смены
периодов возникающих циклов.
12
Итог модельного исследования
• Близость регистрируемых и вычисленных
рядов не может служить доказательством
правильности модели. Итог модельного
исследования – формулирование гипотез
о ведущих механизмах, определяющих
исследуемый процесс.
Исследование зависимость периода от параметров
Зафиксируем значение одного из параметров и построим зависимость периода от двух оставшихся параметров.
Пусть r=2
Карта зависимости периода Period от параметров P и d (для малых периодов)
На рисунке изображена карта зависимости показателя периода Period от параметров P и d для малых периодов, т.е.
удалены (срезаны) слои со значением показателя Period > 10.
По оси абсцисс – параметр P (от 2 до 3), по оси ординат – параметр d (от 0 до 1).
Цвет обозначает диапазон, в котором находится показатель Period. Шкала соответствий на рисунке справа.
Например: фиолетовый цвет соответствует значению показателя Period, равному 1; …;
красный – значению показателя Period, равному 10
Зависимость длины цикла от параметров
P и d полученного разностного уравнения
1/P
B
~
~
 PLn ,
Ln  1 / P,

~
~
~
Ln1 = 1  r Ln  1 / P , 1 / P  Ln  B,
~
d ,
L
n  B,



Сформулированные гипотезы
Использование разностных уравнений позволило
сформулировать гипотезы формирования колебаний
численности леммингов (и вследствие этого и песцов).
Колебания численности определяются:
1) скоростью прироста в благоприятный год;
2) максимальной численностью;
3) выживаемостью в наиболее неблагоприятных условиях
(после пика численности) .
Первый показатель характеризует баланс между
процессами рождаемости и смертности в отсутствии
"давления среды"; второй характеризует экосистему в
целом и отражает коэволюцию леммингов и кормовой
базы; третий характеризует адаптационные свойства
леммингов в экстремальных условиях и во многом
определяется локальными характеристиками, в частности
рельефом местности в местах перезимовки.
Что дают разностные уравнения
• Наличие в имитационной системе упрощенных моделей
(в виде разностных уравнений), допускающих
параметрические исследования, в корне изменило
возможности моделирования.
• Упрощенные модели это и инструмент настройки
исходной имитационной модели на необходимые
динамические режимы и главное - способ
формулирования гипотез о ведущих механизмах
изучаемого явления.
• Сформулированы гипотезы формирования всплесков
численности леммингов.
• Определены области биологически значимых параметров
соответствующих зонам с регулярными всплесками
численности и зонам с квазихаотическим чередованием
всплесков численности леммингов.
Индивидуально-ориентированные модели.
Строительная
деятельность
Механизм полового
созревания
Механизм
расставания с
семьей
ФОРМЫ ПОВЕДЕНИЯ
Пищедобывательная
деятельность




Поиск
Поедание
Переваривание
Запасение
Механизм
нахождения и
обустройства
территории
Воспроизведение
потомства
Агрессия




Внутри семьи
Охрана
территории
Столкновения вне
убежища
Механизм «свойчужой»





Спаривание
Вынашивание
Рождение
Выкармливание
Забота о
потомстве
Преобладающая
потребность
Ресурс
Запасы
в норе
Жировые
отложения
Окружающая
растительность
Да
В текущ.
ячейке
Нет
Потребление
ресурса
Определение
места
кормления
Потребление
запасов
Распред.
ресурса
Маршрут
Потребление
жира
Выработка
энергии
Выработка
энергии
Переход
Выработка
энергии
Частичное
удовлетворение
потребности
Частичное
удовлетворение
потребности
Осуществление
перехода
Частичное
удовлетворение
потребности
количество особей
На данном рисунке представлена динамика численности за длительный
промежуток времени. Сплошная линия – динамика из модели.
Пунктиром – зарегистрированные данные.
годы
Вид дискретного уравнения , связывающего численности
леммингов в двух соседних годах, полученного в результате
анализа индивидуально ориентированной модели
Распределение особей по возрасту и по потенциалу
жизнестойкости
Заселённость территории в период депрессии и
пика
Результаты вычислительных экспериментов
Зависимость траекторий расчётной
модели от параметра d
*вычислительные эксперименты (при r>>1)
Зоны стабильности (ЗС)
Внутри ЗС
период
траекторий
постоянный
При переходе от одной ЗС
к другой период
изменяется в порядке
натурального ряда
«Светлые зоны»
«Темные зоны»
24
Треугольное отображение (r=2)
По оси абсцисс – параметр d (от 0 до 1), по оси ординат – множество терминальных
состояний L. Цвет обозначает диапазон, в котором находится показатель Period. Шкала
соответствий на рисунке справа. Например: фиолетовый цвет соответствует значению
показателя Period от 1 до 4; …;красный – Period от 28 до 31
• результаты вычислительного эксперимента с логистическим и
треугольным отображениями, дополненными ступенькой, при
изменении высоты ступеньки d (0<d<1). Зависимость
траекторий расчётной модели (по вертикали) от высоты
ступеньки d (по горизонтали)
Алгоритм построения линий возврата (ЛВ)
• Через любое значения Xt+1 из отрезка 0< Xt+1< A в
прямоугольнике A<Xt<1; 0<Xt+1<A проведем
горизонтальную линию. Точка ее пересечения с графиком
исходной функции (ГИФ) за ПР дает начальную точку.
Проведем графический анализ траектории, использую
построение лестницы Ламерея. При n-ом возврате
траектории за положение равновесия от биссектрисы угла
между осью абсцисс и осью ординат опускаем
соответствующую вертикальную линию. Точка
пересечения этой линии с тестирующей горизонтальной
линией принадлежит ЛВn, с координатами (Xt, Xt+1).
Делаем аналогичную процедуру со всеми точками Xt+1из
отрезка [A, 1] и соединяя все точки пересечения получим
ЛВn.
Построение линий возврата для треугольного отображения (1)
Траектории, проходящие через точки f(x1) и f(x2), при первом возврате в
область за положением равновесия дают точки P1(1) и P2(1), образующие
сегмент линии первого возврата (ЛВ1). При втором возврате получены точки
P1(2) и P2(2), принадлежащие разным сегментам ЛВ2.
Построение линий возврата (2)
«Паутина» ЛВ
Треугольное отображение и его линии возврата (ЛВ)
Построение множества Аn для
треугольного отображения
любые значения точек Xt+1
отрезок 0 ≤ Xt+1 ≤ A
прямоугольник
A ≤ Xt ≤ 1; 0 ≤ Xt+1 ≤ A
Построенные при помощи n-кратных
отображений и их поворотов на 90 град
31
• Предложение 1. Точки пересечения ЛВn с графиком
исходной функции F задают периодические траектории.
При этом с помощью ЛВn можно отыскать все
периодические траектории с периодом, меньшим или
равным n.
• Стандартным приемом исследования разностных
уравнений является изучение Fi(.)=F(F(…(F))) – i-кратных
отображений F. Определенные выше ЛВ могут быть
сформированы как фрагменты повернутых на 90 градусов
F(n) .
• Предложение2 . Точки пересечения ЛВm с графиком
исходной функции F задают периодические траектории.
Период этих траекторий определяет номер n функции ,
фрагментом которой является ЛВm.
• Предложение 3. В вычислительных
экспериментах с опусканием ступеньки в любой
точке за ПР реализуется ЛВ с наименьшим
номером, среди тех ЛВn, которые выше графика
исходной функции.
• Таким образом, анализ
последовательности возникновения
циклов при «опускании ступеньки»
сводится к исследовании смены
минимальных номеров ЛВn, которые
выше графика исходной функции.
Алгоритм определения возникновения
последовательности циклов
• Рассматриваем последовательно ЛВn
сформированные F, F1, F2, F3,…,Fn. Строим
паутину ЛВn и смотрим, какие из них выше
графика исходной функции. Ищем среди
них ЛВn с минимальным номером. Эта ЛВn
и определит какой период цикла возникает.
Уравнения для определения координат
точек периодических траекторий
• X = (4*i-2)/(2n +1)
для возрастающего ската i=1,…,2n-1 ;
• X = (4*i-2)/ (2n -1)
для убывающего ската i=1,…,2n-1
где:
• n – период цикла
• i – номер зубца (меняется от 1 до 2n-1 )
35
• Такое исследование было проведено в
интервале [2/3, 22/63]. В этой области могут
возникнуть только циклы четных периодов.
В точке 22/63 реализуется цикл периода 6.
• Рассматривая последовательность
возникновения циклов в результате
процедуры последовательного увеличения
периодов, получаем следующую
последовательность циклов между циклами
периодов 4 и 6.
Последовательность циклов
•
•
•
•
4, 8, 6;
4, 8, 10, 6;
4, 8, 12, 10, 6;
4, 8, 12, 14, 10,
14, 6;
• 4, 8, 16, 12, 16,
14, 10, 14, 16, 6;
• 4, 8, 16, 12, 16,
18, 14, 18, 10,
18, 14, 18, 16, 6.
(цикл 6) < 22/63 = 0.3492063;
(цикл 16) < 22886/65537 = 0.3492073; 22886/65535 =
0.3492179;
(цикл 18) < 91546/262145 =0.3492189; < 91546/262143 =
0.3492216;
(цикл 14) < 5722/16384 (+-1) = 0.3492218; < 0.3492644;
(цикл 10) < 358/1024 (+-1) = 0.3492682; < 0.3499511;
(цикл 14) < 5734/16384 (+-1) = 0.3499542; < 0.3499969;
(цикл 18) < 91750/262144 (+-1) = 0.3499971; < 0.3499998;
(цикл 16) < 22942/65537 = 0.35000618; 22942/65535 =
0.350007432;
(цикл 12) < 1434/4096 (+-1) = 0.3500122; <0.3501831;
(цикл 16=) < 22950/65536 (+-1) = 0.3501838; <0.3501945.
37
Последовательность возникающих
циклов для больших периодов
• Для периода 20: 4, 8, 16, 20, 12, 20, 16, 20, 18, 14, 18, 10, 20,
18, 14, 18, 20, 16, 20, 6.
• Для периода 22: 4, 8, 16, 20, 12, 20, 16, 20, 22, 18, 22, 14, 22,
18, 22, 10, 20, 22, 18, 22, 14, 22, 18, 22, 20, 16, 20, 22, 6.
• Для периода 24: 4, 8, 16, 24, 20, 12, 24, 20, 24, 16, 24, 20, 24,
22, 18, 22, 14, 22, 18, 22, 24, 10, 20, 24, 22, 18, 22, 24, 14, 24,
22, 18, 22, 24, 20, 24, 16, 24, 20, 24, 22, 6.
• Для периода 26: 4, 8, 16, 24, 20, 12, 24, 20, 24, 16, 24, 20, 24,
26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 14, 26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 10,
20, 24, 26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 26, 14, 26, 24, 26, 22, 26,
18, 26, 22, 26, 24, 20, 24, 26, 16, 26, 24, 20, 24, 26, 22, 26, 6.
38
Утверждения (гипотезы)
А. Об удвоении
1.Если при процедуре последовательного увеличения
периодов циклов возник цикл некоторого периода n, то
непосредственно за ним возникают циклы с периодом n*2
в степени m,(m=1,2,3..)
2. Внутри последовательности циклов n*2 в степени m,
(m=1,2,3..), между циклами нет циклов других периодов.
3. Непосредственно перед любым циклом периода n не
может быть циклов с периодом n*2 в степени m,
(m=1,2,3..).
Б. «Подобия»
1. Если реализуется некая последовательность смены
четных циклов (при процедуре последовательного
увеличения периодов) ai * 2, то такая
последовательность реализуется и при замене 2 на 2 в
степени m(m=1,2,3.. ),т.е. реализуется
последовательность ai * 2 в степени m .
39
Проверка теории
Подобия
Об удвоении
n
Сравнение соответствующих
последовательностей циклов
зубец периода 2*n, совпадающий
с одним из краев зубца n
2, 4, 8, 16, 12, 16, 14, 10, 14, 16, 6;
Точки пересечения Fm-тых с
биссектрисой первого угла
Циклы периода 2*n и n имеют
общие точки
примыкающие к 32 циклы 2n ,
т.е. 4, 8, 16, 32, 24, 32, 28, 20, 28, 32, 12…
Если в исходной последовательности (от 2,
4, 8, 16 до 6) между 16 и 6 встречаются
только четные циклы,
то в рассматриваемом фрагменте,
последовательность между 32 и
перед 12 (3*4) должны быть только циклы
n*4, где n – целое число большее трех. И не
может быть n*2, где n – нечетное число.
Что и соответствует теореме Шарковского
(N)
необходимость пересечения
соответствующих зубцов ЛВ
Зубец периода n формирует две точки
периода n при пересечении с ГИФ.
•
•
•
Левый край зубца 2n совпадает с
одним из краев зубца n.
Ближний зубец периода 2n
попадает в тень зубца n
Второй зубец периода 2n остается
на «свету».
40
Сравнение последовательностей
циклов для порядка 26 и 52
Для
периода
26
Для
периода
4, 8, 16, 24, 20, 12, 24, 20, 24, 16, 24,
20, 24, 26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 14, 26,
22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 10, 20, 24, 26,
22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 26, 14, 26, 24,
26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 20, 24, 26,
16, 26, 24, 20, 24, 26, 22, 26, 6.
16, 32, 48, 40, 24, 48, 40, 48, 32, 48, 40,
48, 52, 44, 52, 36, 52, 44, 52, 28, 52, 44,
52, 36, 52, 44, 52, 48, 20
Формирование
последовательнос
ти циклов между
периодами 8 и 10
8, 16, 20, 12, 20, 16, 20, 18, 14, 18, 10
8, 16, 20, 12, 20, 16, 20, 22, 18, 22,
52
16, 20
16, 24, 20
периодам
16, 24, 28, 20
и 16 и 20
16, 32, 24, 32, 28, 20
16, 32, 24, 32, 36, 28, 36, 20
16, 32, 40, 24, 40, 32, 40, 36, 28, 36, 20
16, 32, 40, 24, 40, 32, 40, 44, 36, 44, 28,
44, 36, 44, 20
16, 32, 48, 40, 24, 48, 40, 48, 32, 48, 40,
48, 44, 36, 44, 28, 44, 36, 44, 48, 20
16, 32, 48, 40, 24, 48, 40, 48, 32, 48, 40,
48, 52, 44, 52, 36, 52, 44, 52, 28, 52, 44,
52, 36, 52, 44, 52, 48, 20
8, 10;
8, 12, 10;
8, 12, 14, 10;
8, 16, 12, 16, 14, 10;
8, 16, 12, 16, 18, 14, 18, 10;
14, 22, 18, 22, 10.
между
8, 16, 24, 20, 12, 24, 20, 24, 16, 24,
20, 24, 22, 18, 22, 14, 22, 18, 22, 24, 10.
8, 16, 24, 20, 12, 24, 20, 24, 16, 24,
20, 24, 26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 14, 26,
22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 10.
периодами 32 и
16, 32, 40
40
16, 32, 48, 40
периодами 8 и 10
4, 8, 10
4, 8, 12, 10
41
Результаты вычислительных экспериментов
n
имеют место следующие
последовательности:
• 2, 4, 8, 16.
• 3, 6, 12.
• 4, 8, 16.
• 5, 10, 20.
• 6, 12.
• 7, 14.
• 8, 16.
• 9, 18.
• 10, 20
2
4
8
16
Для циклов 2, 4, 8, 16
имеет место следующая
последовательность:
• Координаты циклов
«удвоения»
i
x1
x2
0.6666666666666666
0.400000000000
0.352941176471
0.350194552529
0.4000000000000000
0.352941176471
0.350194552529
0.350183865603
3
6
12
1
4
221
0.285714285714
0.222222222222
0.215384615385
0.222222222222
0.215384615385
0.215279472785
4
8
16
1
8
1913
0.133333333333
0.117647058824
0.116731517510
0.117647058824
0.116731517510
0.116727955201
5
10
20
1
16
15857
0.064516129032
0.060606060606
0.060487804878
0.060606060606
0.060487804878
0.060487689507
5
10
20
2
47
47570
0.193548387097
0.181818181818
0.181463414634
0.181818181818
0.181463414634
0.181463068520
5
10
20
3
78
79283
0.322580645161
0.303030303030
0.302439024390
0.303030303030
0.302439024390
0.302438447534
42
Взаимодействие цикла периода 9 с
циклом периода 3
n
i
х1
x2
3
1
0.2857142857142857 0.2222222222222222
9
29
0.22309198
0.22222222
9
37
0.28571429
0.28460039
43
Количество циклов
Порядок
цикла
n
Количество
точек
равновесия
f(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
32 = 25
64 = 26
128 = 27
256 = 28
512 = 29
1024 = 210
2048 = 211
4096 = 212
8192 = 213
16384 = 214
32768 = 215
65536 = 216
131072 = 217
262144 = 218
Количество точек
равновесия, не
пересекающихся с другими
периодами
2 = 21
2 = 22-21
6 = 23-21
12 = 24-2-21
30 = 25-21
54 = 26-6-2-21
126 = 27-21
240 = 28-12-2-21
504 = 29-6-21
990 = 210-30-2-21
2046 = 211-21
4020 = 212-54-12-6-2-21
8190 = 213-21
16254 = 214-126-2-21
32730 = 215-30-6-21
65280 = 216-240-12-2-21
131070 = 217-21
261576 = 218-504-54-6-2-21
Количество точек, не
пересекающихся с другими
периодами / порядок цикла
2
1
2
3
6
9
18
30
56
99
186
335
630
1161
2182
4080
7710
14532
44
Q (2  2) / n
n
• Если n простое, то нужно вычесть только
два положения равновесия, и в этом случае
получаем целочисленные решения Q
• Это уравнение соответствует Малой
теореме Ферма.
Связь теоремы Шарковского с
простыми числами
• Такой связи не обнаружено, но она должна
быть. Области параметров для циклов,
периоды которых не имеют общих
делителей не могут соприкасаться.
Шел анализ свойств разн ур,
ИСХОДЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ
«Паутина» ЛВ
Но можно и без всякой
геометрии
• Есть формулы
Уравнения для определения координат
точек периодических траекторий
• X = (4*i-2)/(2n +1)
для возрастающего ската i=1,…,2n-1 ;
• X = (4*i-2)/ (2n -1)
для убывающего ската i=1,…,2n-1
где:
• n – период цикла
• i – номер зубца (меняется от 1 до 2n-1 )
50
•
•
•
•
•
•
Геометрия. Есть ЛВк выше ГИФ отбираем с наименьшим номером к.
Начинаем с n=2, потом 3, 4, и т.д. Отбираем какие циклы реализуются по
минимальному ЛВк выше ГИФ.
Но можно и без всякой геометрии, есть набор формул 4i -2/.... (1)
Аналог алгоритма с опусканием «ступеньки», с последовательным
увеличение n =2, 3,...
Увеличиваем n и используя формулу (1) получаем, где в какой области какие
циклы реализуются. Берем n=2. Определили границы области, в которой
реализуется цикл периода 2. Все. Другие циклы в этой области запрещены.
Далее, продолжаем n=3. Увеличиваем запрещенную область и т.д.
Проанализировали всю область от 2/3 до 0. Выяснили где и что реализуется
при увеличении n.
Далее. Что значит ступенька? Это значит, что рассматриваем область от
положения равновесия (ПР=2/3) до некоторой величины (аналог ступеньки).
И т к , опираясь на предыдущий анализ (с помощью формулы (1) - каскад с
увеличением n), используя эти результаты получим последовательность
возникновения циклов (не превышающих N*) при опускании ступеньки (ИЛИ
В ЧИСЛОВЫХ ТЕРМИНАХ, при опускании пороговой величины от 2/3 до 0).
Сравниваем полученную последовательность с последовательностью
Шарковского.
Одна задача о циклах кратной длины для треугольного
отображения.
Число точек, принадлежащих "истинным" циклам периода n:
p(n )
K (n)= 2 − ∑ K ( ni ),
n
i= 1
n
1⩽n i< n ,
∈ ℕ , i= 1, ... , p ,
ni
n1= 1, K (1)= 2,
Здесь:
n – длина периода цикла
K – число точек всех циклов данного периода
ni – делители числа n
p – число делителей числа n
Стационарные точки 4-х и 6-кратного отображений.
12 точек принадлежат 3 циклам периода 4.
Задачи.
x= (4i-2)/(2n +1) для возрастающего ската;
x= (4i-2)/(2n -1) для убывающего ската;
где i =1,…,2n-1 номер зубца.
Или:
{
i− 1
,
n
)
2 −1
x (n
=
i
i
,
n
2 +1
где
i= 1,3,. .. , 2 n− 1
(1)
i = 2,4,. .. , 2
i = 1,2,…, 2n –
n
номер ската
Номера совпадающих стационарных точек
Выводы:
Спасибо за внимание !
Благодарим организаторов
Конференции за возможность
сделать данное сообщение
Порядок следования циклов во всем
возможном диапазоне
•
•
•
•
•
•
•
2
2, 3
2, 4, 3, 4
2, 4, 5, 3, 5, 4, 5
2, 4, 6, 5, 3, 6, 5, 6, 4, 6, 5, 6
2, 4, 6, 7, 5, 7, 3, 6, 7, 5, 7, 6, 7, 4, 7, 6, 7, 5, 7, 6, 7
2, 4, 8, 6, 7, 8, 5, 8, 7, 3, 6, 7, 8, 5, 8, 7, 6, 7, 4, 8, 7, 6, 7, 8, 5, 8,
7, 8, 6, 8, 7, 8
и т.д.
• Подчеркнуты соседние циклы, у которых нет разрыва, т.е
между ними не может быть никакого цикла.
63