Распределение случайной величины

ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЕОЛОГИИ
Лекция 3 по дисциплине
«Математические методы моделирования
в геологии»
Грановская Н.В.
1
Основные вопросы лекции
• Плотность распределения
случайной величины
• Параметры распределения
случайной величины
Грановская Н.В.
2
Распределение случайной
величины – это
закономерности
варьирования её значений
Грановская Н.В.
3
Гистограмма
Эмпирический график распределения
F(x)
Частота или частость
Плотность – важнейшая характеристика
распределения случайной величины.
Максимальные значения частоты или
частости соответствуют
максимальной плотности распределения
30
32
34
36
38 40
42
44
Грановская Н.В.
46 48
Х (содержание Fe в % в руде)
4
•
•
•
•
•
•
•
•
Особенности распределения значений
случайной величины в выборочной
совокупности выражаются
рядом параметров:
размах значений,
медиана,
мода,
математическое ожидание (среднее
значение),
дисперсия,
среднеквадратичное отклонение,
вариация,
асимметрия,
эксцесс
Грановская Н.В.
5
Формулы для расчета
данных параметров
• Пусть имеется n измерений
свойства х.
• Необходимо найти статистические
характеристики этого множества
измерений
Грановская Н.В.
6
• Медиана – средний член
упорядоченного ряда значений. Для
нахождения медианы нужно
расположить все значения в порядке
возрастания или убывания и найти
средний по порядку член ряда. В случае
n – четного числа в середине ряда
окажутся два значения, тогда медиана
будет равна их полусумме
Грановская Н.В.
7
• Мода – наиболее часто встречающееся
значение случайной величины (это
значение с максимальной плотностью
вероятности). То есть это значение
отдельной переменной, которое
наиболее часто появляется в группе
данных. Мода соответствует перегибу,
вершине на графике функции плотности
распределения
Грановская Н.В.
8
Если на эмпирических графиках распределения
(гистограммах) – несколько модальных значений,
то изучаемая выборка неоднородна
Частота
7
6
5
4
3
2
1
56
59
62
65
Мо1
68
71
74
Мо2
Грановская Н.В.
SiO2, %
9
Среднее значение
• обычно это среднеарифметическое
из всех измеренных значений:
n
1
x   xi
n i 1
Грановская Н.В.
10
Медиана, мода и
среднее значение
• являются характеристиками
положения – около них
группируются измеренные
значения случайной величины
Грановская Н.В.
11
Меры рассеяния
случайной величины
•
•
•
•
Размах
Дисперсия
Среднеквадратичное отклонение
Коэффициент вариации
Грановская Н.В.
12
РАЗМАХ
это разность между максимальным хmax
и минимальным хmin значениями
свойства:
p = хmax – хmin
Грановская Н.В.
13
ДИСПЕРСИЯ
Это число, равное среднему
квадрату отклонений значений
случайной величины от ее
среднего значения
 
2
1
n
 ( xi  x )
2
n i1
Грановская Н.В.
14
Среднеквадратичное
отклонение
• это число, равное квадратному
корню из дисперсии

1
n
 ( xi  x )
2
n i 1
Грановская Н.В.
15
• Среднеквадратичное отклонение имеет
размерность, совпадающую с
размерностью случайной величины и
среднего значения.
• Например, если значения случайной
величины измерены в метрах, то и
среднеквадратичное отклонение также
будет выражаться в метрах
Грановская Н.В.
16
.
Коэффициент вариации
• это отношение
среднеквадратичного отклонения к
среднему значению

V
x
•
Коэффициент вариации выражается в долях единицы или
(после умножения на 100) в процентах. Он не имеет
размерности, что удобно при сравнении разброса значений
величин с разной размерностью. Вычисление коэффициента
вариации имеет смысл для положительных случайных величин
Грановская Н.В.
17
Асимметрия
• степень асимметричности
распределения значений
случайной величины относительно
среднего значения
1 n
3
A  3  ( xi  x )
n i1
Грановская Н.В.
18
Асимметричное распределение
Частота
7
6
5
4
3
2
1
56
59
62
65
68
71
74
Грановская Н.В.
SiO2, %
19
Распределение симметричное (1),
отрицательно асимметричное (2),
положительно асимметричное(3)
Грановская Н.В.
20
Эксцесс
• степень остро- или
плосковершинности распределения
значений случайной величины
относительно нормального закона
распределения
1 n
4
E  4  ( xi  x )  3
n i 1
Грановская Н.В.
21
Показатель эксцесса равен нулю (1),
положителен (2), отрицателен (3)
Грановская Н.В.
22
• Асимметрия и эксцесс являются
безразмерными величинами.
• Они отражают особенности
группировки значений случайной
величины около среднего значения
Грановская Н.В.
23
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Грановская Н.В.
24