МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Тольяттинский государственный университет
Кафедра «Оборудование и технология сварочного производства и пайки»
Моделирование технических объектов
Курс лекций дисциплины «ПМТО» для студентов специальности
120500 «Оборудование и технология сварочного производства» очной
и заочной форм обучения.
Тольятти 2007 г.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР
Математическое обеспечение (МО) автоматизированного проектирования
включает в себя математические модели объектов проектирования, а также
методы и алгоритмы проектных операций и процедур. Математическое
моделирование характеризуется использованием для описания реальных
явлений и процессов абстрактных математических объектов, таких как
переменные, вектора, числа, множества и т.д.
При автоматизации проектирования, как правило, требуется построение
математического описания объекта проектирования, т.е. его математической
модели. Различают два основных вида математического описания:
функциональное и морфологическое (существует еще информационное).
Функциональное описание дает характеристику назначения объекта
проектирования через его эксплуатационные функции: принципы действия,
свойства и способности, обеспечивающие выполнение целевых заданий. В
основе функционального описания объекта проектирования лежат
функциональные модели и критерии оценки качества функционирования.
Функциональные модели устанавливают связи между входными,
выходными, режимными, управляющими и внешними параметрами с
помощью функциональных зависимостей, функционалов, операторов,
вероятностных зависимостей, неравенств и т.п.
Описание устройства объектов, их структур, геометрий и т.п. называют их
морфологическим описанием.
Морфологическое описание проектируемого объекта осуществляется на
основе структурных и геометрических моделей. Структурные модели
применяются для отображения взаимного расположения элементов в
пространстве и их взаимодействия. Они носят характер графов, схем, матриц,
векторов и обычно не учитывают особенности физических процессов в
проектируемом
объекте.
Геометрические
модели
описывают
пространственные соотношения, формы проектируемого объекта и его
составных частей.
Морфологическое и функциональное описание объекта взаимосвязаны:
например, описание морфологии объекта дает исходный материал для
определения параметров в функциональных моделях, в частности, для их
оптимизации.
Построение математических моделей в САПР не является конечной целью. В
типовой проектной процедуре на основе моделей в зависимости от
выбранного критерия эффективности и ряда дополнительных ограничений
(технологических, эксплуатационных) решается математическая задача по
выбору вариантов проектных решений. Проектные задачи в САПР носят
разнообразный характер, и здесь необходимо правильно выбрать и
применять методы и алгоритмы решения конкретных задач (это является
другой важной компонентой математического обеспечения).
Эффективность САПР во многом определяется качеством математического
обеспечения, поэтому к последнему предъявляются следующие требования:




точность - степень совпадения расчетных и реальных результатов
должна быть достаточно высокой без излишнего усложнения модели;
надежность - модели и алгоритмы для рассматриваемого класса задач
должны обеспечивать сходимость к решению и его получение, и быть
строго обоснованы;
экономичность - минимум затрат машинного времени и памяти;
универсальность - МО должно быть применимо к однотипным
проектируемым
объектом
без
существенной
корректировки
математических моделей и алгоритмов.
Необходимо найти компромисс между указанными требованиями.
Морфологическое описание объектов проектирования в общем виде:
S = {Σ, R, C},
где Σ - множество элементов, R - связей, С - структур системы, разложенных
по ступеням иерархии.
Структурные модели
Структурные модели отражают взаимное расположение и наличие связей
между элементами объекта проектирования (отсюда второе название их топологические.) Наиболее распространены в САПР структурные модели в
виде графов. Достоинства графовых моделей: простота и наглядность
представления структуры объекта; возможность постановки большого числа
различных формальных задач на графах; простота представления графов в
ЭВМ (Пример: сетевые модели в экономике).
Формально графом называется пара множеств: X = {xi, i =1, n} - множества
вершин и U = {uk, = 1, m} - множество ребер, соединяющих вершины. Каждое
ребро иk есть пара вида (xi, xj), где xi, xj X. Вершины, связанные ребром,
называются смежными. Наличие ребра между вершинами xi, и xj означает
связь элементов xi, и xj (электрическую, физическую, логическую). Часто,
кроме самого факта связи элементов, важным бывает направление этой
связи.
Направление
связи
моделируется
ребром
со
стрелкой
(ориентированный граф). Если некоторые вершины в графе связаны сразу
несколькими ребрами, их называют мультиграфами, а число ребер,
связывающих данную пару вершин, - кратностью ребра. Дополнительная
информация о ребрах и вершинах задается с помощью числовых меток,
присваиваемых ребрам или вершинам, - весов (граф тогда называется
взвешенным).
Для представления графа в ЭВМ удобно использовать специальные матрицы
смежности и инцидентности.
Матрица смежности [А] - квадратная матрица размерности h с элементами аij,
определяемыми по следующему правилу:
1, если вершины хi, и xj, связаны ребром;
aij
{
=
0 в противном случае.
Матрица инцидентности [В] - прямоугольная матрица размерности их/я,
элементы bik которой находятся по следующему правилу:
bik
=
{
1, если вершины хi, и uk, связаны ребром;
0 в противном случае.
Бинарный характер матриц А и В позволяет экономно записывать матрицы в
память ЭВМ, отводя на каждый элемент по одному двоичному разряду
машинного слова. Это дает возможность хранить и обрабатывать матрицы
большой размерности.
Пусть в графе последовательность смежных ребер вида ..., (х1, хj), (хi, xk), (xk,
хl), цепь - путь, в котором нет повторяющихся ребер, цикл -замкнутая цепь.
Граф, у которого нет циклов, ациклический (дерево).
Геометрические модели
Под геометрическими моделями (ГМ) понимают модели, которые с
определенной точностью описывают геометрические свойства исследуемого
объекта. Под геометрическими свойствами понимаются прежде всего
пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы,
сходные с пространственными по своей структуре.
В современной геометрии понятия "пространства" и "фигуры" определяются
исходя из понятия "множества". Пространство - множество каких-либо
элементов ("точек") с условием, что в этом множестве установлены
некоторые отношения, сходные с обычными пространственными
отношениями. Фигура - произвольное множество точек в данном
пространстве.
Обобщение понятий пространства и геометрической фигуры позволяет
изучать геометрическими методами не только свойства физических тел, но и
других явлений и объектов совершенно иной природы посредством
построения их геометрических моделей.
Способы моделирования геометрии объектов:
1) посредством построения материальной модели, геометрические свойства
которой отображают геометрические свойства изучаемого объекта с
некоторой точностью;
2) с помощью графических представлений (чертежей, графиков, диаграмм);
3) с помощью математического представления
вычислительные или числовые модели).
(аналитические
и
В автоматизированном проектировании одной из важных задач является
организация взаимодействия математического и графического представлений
геометрических
объектов,
преимущественно
технических
(задача
инженерной геометрии).
Для любого геометрического объекта можно определить совокупность
независимых условий, однозначно задающих этот объект, т.е. позволяющих
для любой точки пространства установить, принадлежит она данному
объекту или нет (такую совокупность независимых условий называют
определителем геометрического объекта). В число условий, определяющих
геометрические объекты, входят геометрические фигуры (точки, линии,
поверхности) и алгоритм воспроизведения объекта: последовательность
действий, с помощью которой осуществляется построение геометрического
объекта из геометрических фигур.
Количественно геометрические объекты характеризуются параметрами.
Выделение совокупности параметров (параметризация геометрического
объекта) - важная часть геометрического моделирования.
Основные понятия теории параметризации
Параметры - независимые величины, позволяющие выделить единственную
(либо подмножество) из множества фигур, соответствующих одному и тому
же определению.
Процесс параметризация - процесс выделения параметров и подсчета их
количества и определения областей, существование которых необходимо для
решения конкретной задачи.
Система параметризации - схема правил, описывающих каждую
параметризованную фигуру соответствующим упорядоченным множеством
чисел - параметров, которой подчиняется процесс параметризации.
Для описания геометрической фигуры выделяют параметры двух типов:
1. Параметры формы - характеризуют только форму и размеры
геометрической фигуры; не изменяют своих значений при изменении
положения фигуры в пространстве - движении, т.е. описывают фигуры с
точностью до движения;
2. Параметры положения - характеризуют только положение геометрической
фигуры. Параметризация фигуры осуществляется относительно некоторой
системы координат:
a) параметризация формы - в системе, связанной с параметризуемой фигурой
и перемещаемой вместе с ней (внутренняя);
b) параметризация положения - в системе, независимой от параметризуемой
фигуры (внешняя).
Параметрическое число фигуры
К = Кf + К p ,
где число параметров Kf - формы, а Кp - положения.
Важную роль в определении параметрического числа фигуры играют
геометрические условия - геометрические отношения между элементами
самой фигуры или элементами данной фигуры и элементами других фигур.
Наиболее типичными являются отношения взаимной принадлежности,
параллельности, перпендикулярности, касания. Если на фигуру наложены
геометрические условия, то расчет ее параметрического числа должен
производиться с их учетом. Для этого необходимо выявить эти условия и
установить количество параметров, заменяемое каждым из условий.
Некоторые приемы подсчета параметров
В системе подсчета параметров точка считается непроизводной фигурой. В
качестве системы параметризации принимаем декартову систему координат.
Положение точки, принадлежащей линии, определяется одним параметром координатой. На плоскости точка определена двумя, а в пространстве тремя
координатами. Параметров формы у точки нет. Количество координат,
определяющих точку в пространстве R, называют размерностью этого
пространства и обозначают Rn, где п - размерность.
Более сложные фигуры могут рассматриваться как множества точек. Из
геометрии известно, что многие фигуры можно задать с точностью до
алгоритма воспроизведения некоторым конечным числом точек. Например,
прямая может быть задана двумя произвольными и принадлежащими ей
точками, окружность и плоскость - тремя точками, принадлежащими им и не
лежащими на одной прямой, и т.п.
Произвольная точка линии определяется одним параметром. Изменяя этот
параметр, можно выделять любую точку линии. Принято говорить, что точки
линии образуют однопараметрическое множество. Обозначаем его ∞1. В
дальнейшем п - параметрическое множество фигур - будем обозначать ∞n.
Для задания прямой двумя точками понадобятся четыре параметра на
плоскости и шесть в пространстве. Таким образом, на плоскости множество
пар точек, задающих прямую, является четырехпараметрическим (∞4), а в
пространстве
шестипараметрическим
(∞6).
Но
пары
точек,
располагающиеся
на
параметризуемой
прямой,
образуют
2
двухпараметрическое множество ∞ . Переход от одной пары к другой в этом
множестве не изменяет положения прямой, поэтому для подсчета
параметров, определяющих положение прямой в пространстве, необходимо
из общего множества пар точек в данном пространстве вычесть то множество
пар, которое принадлежит прямой. В принятых обозначениях, содержащих
параметры в качестве степеней, эта операция соответствует делению:
4
 2
2

- на плоскости,
6
 4
2

- в пространстве.
Таким образом, прямая определяется на плоскости двумя, а в пространстве R3
- четырьмя параметрами положения. Параметров формы прямая не имеет.
Точка
- непроизводная фигура с 3-мя параметрами положения и не
имеющая параметра формы.
Прямая – множество однопараметрических точек не имеющее
параметров формы с четырьмя параметрами положения в пространстве. З-х
параметрическая точка с введением принадлежности к прямой превращается
в однопараметрическую.
Отрезок – четырехпараметрическая фигура, имеет один параметр
формы и три параметра положения. Если отрезок принадлежит прямой, то
остается 2 параметра.
Взаимные
отношения
между
фигурами:
принадлежность;
параллельность; перпендикулярность; касание; симметрия; подобие;
совмещение; выделение границ.
Плоские (2Д) фигуры.
Геометрическое отношение
Эквивалентное (заменяемое) число
параметров
Точка принадлежит линии
1
Параллельность прямых
1
Перпендикулярность прямых
1
Касание прямых
1
Касание в заданной точке
1
Параметры фигур, принадлежащих плоскости
Наименование фигуры
Параметры:
Всего: К
Формы: Кf
Положения: Кp
Точка
2
-2
Прямая
2
-2
Отрезок прямой
4
1
3
Окружность
3
1
2
n-угольник
2n
2n-3
3
Кривая второго порядка
5
2
3
Кривая n-го порядка
n(n + 3)/2
n(n + 3)/2-3
3
Пространственные фигуры (3Д)
Геометрическое отношение
Точка принадлежит линии
Точка принадлежит плоскости
Параллельность прямых
Перпендикулярность прямой и
плоскости
Перпендикулярность плоскостей
Касание фигур
Касание в заданной точке
Эквивалентное
параметров
(заменяемое)
2
1
2
2
1
1
3
число
Параметры фигур в пространстве
Наименование фигуры
Параметры:
Всего: К
Формы: Кf
Положения: Кp
Точка
3
-3
Прямая
4
-4
Отрезок прямой
6
1
5
Плоскость
3
-3
Сфера
4
1
3
Многоугольник с числом
3n
3n-6
6
вершин n и тремя гранями
Цилиндр бесконечный
5
1
4
Цилиндр ограниченный
7
2
5
Конус усеченный
8
3
5
Методы построения геометрических моделей
При геометрическом моделировании объект проектирования предстает как
геометрический объект (ГО) (в АП - технический).
Технический геометрический объект - фигура, представляющая собой
замкнутое ограниченное телесное множество двух- или трехмерного
пространства. Под термином телесное множество понимается
геометрическое множество, содержащее внутренние точки, например, круг телесное множество; окружность им не является.
В геометрических объектах различают подмножества граничных точек поверхность ГО и подмножество внутренних точек - тело ГО.
В теории параметризации и геометрическом моделировании различают ГО
сложной формы и сложной структуры. Первые характеризуются тем, что
ограничивающие их поверхности имеют сложный характер (поверхности с
существенно переменной кривизной, изменяющимся наклоном и т.д.). Такие
поверхности называют скульптурными (ГО сложной формы: корпуса судов,
кузов автомобиля, лопасти винта, лопатки турбин, сложные отливки и
детали). Геометрические объекты сложной структуры характеризуются тем,
что они составлены из значительного числа других ГО и образуют сложную
геометрическую структуру (тема многогранной формы, узлы машин,
штамповая оснастка для кузовных деталей легкового автомобиля или прессформы).
Форма ГО характеризуется числом параметров формы Kf а также законом
образования ограничивающей ГО поверхности: чем больше Kf и сложнее
закон образования поверхности ГО, тем сложнее его форма.
Структура ГО характеризуется совокупностью составляющих его
элементарных ГО и системой отношений между ними: чем большее число
элементарных ГО включает данный объект и чем сложнее отношения между
ними, тем сложнее структура данного ГО.
Элементарным ГО называется объект, неделимый в данном исследовании.
В автоматизированном проектировании известны два основных подхода к
геометрическому моделированию:
1. Конструктивная геометрия, или конструктивное моделирование. Состоит в
том, что выделяется некоторый набор геометрических фигур, которые в
данном классе задач считаются элементарными (базовыми примитивами,
непроизводными). Этот набор должен быть достаточен для построения всего
многообразия геометрических объектов в исследуемом классе задач. Такой
набор непроизводных фигур составляет геометрическую базу. В качестве
примитивов используют, в частности, наиболее часто встречающиеся в
технике тела и фигуры.
Кроме того, вводится набор действий - геометрических операций над
элементами геометрической базы, примером может служить объединение
примитивов или отсечение части непроизводной фигуры и т.д.
Геометрическая база и операции над ее элементами составляют аппарат
построения конструктивной геометрической модели.
2. Неконструктивный подход или "прямое" моделирование. Заключается в
непосредственном описании и воспроизведении геометрических свойств
изучаемого объекта - его формы, размеров, положение и т.д. - без
использования вспомогательных заранее заготовленных фиксированных
фигур. В этом случае непосредственно описывается закон образования
геометрического объекта как множества точек, обладающего
соответствующими свойствами.
Получаемые в данном случае неконструктивные геометрические модели в
зависимости от способа их формирования можно разделить на кусочноаналитические и алгебрологические. Сущность кусочно-аналитической
модели объекта: его поверхность представляется отдельными кусками
гладких поверхностей, называемых гранями ГО. Каждая грань задается
уравнением поверхности (носителем грани) и границей грани (ребром ГО).
Ребра ГО - линии пересечения поверхностей, ограничивающих ГО. Точки
пересечения ребер ГО - вершины ГО.
Для описания структуры ГО используют его представление в форме
ориентированного (для различения ориентации ребер и граней) графа, где
вершины - вершины ГО, а дуги - ребра ГО.
Таким образом, кусочно-аналитическая модель включает модели
поверхностей (носителей граней) и модель структуры, представляющую
ориентированный граф, описывающий связь между гранями ГО.
Для представления проектируемого объекта в наглядной форме -форме
изображения - используется упрощенный вариант (подмодель) кусочноаналитической модели. Это проволочно-каркасная модель ГО, в которой
описываются только ребра и вершины ГО, а грани не описываются. Данное
обстоятельство устраняет необходимость преобразования уравнений граней
при пространственных преобразованиях над ГО, позволяет оперативно
осуществлять вывод изображения ГО, а также выполнять построение
аконометрических и перспективных проекций и др.
Построение алгебрологических моделей широко использует аппарат алгебры
логики. Таким образом, моделирование объекта проектирования как
геометрического объекта включает моделирование ограничивающих
поверхностей, тела и структуры ГО. При этом в качестве основного
инструмента моделирования используется аппарат инженерной геометрии,
аналитической геометрии, математического анализа, алгебры логики и
теории множества.
Функциональное описание объектов проектирования
Функциональные модели объекта проектирования или его составляющих
элементов представляют собой зависимости, связывающие выходные
характеристики с входными, управляющими и внешними параметрами. В
общем случае они может быть записаны в виде
У = F(t, s, X, U,V),
где У - вектор-функция выходной характеристики элемента структуры (или
всей структуры в целом); X - вектор-функция режимных параметров и
воздействий на элемент от взаимодействующих элементов; U - векторфункция проектных или управляющих параметров элемента; V - векторфункция воздействий среды с их регулярными и случайными
возмущающими составляющими; F - вектор-функция преобразования
определяющих векторов з выходные характеристики элемента; t - время; s =
(х, y, z) - пространственная координата.
Построение функциональной математической модели обычно
возможно в том случае, если выполнено морфологическое описание объекта
проектирования, т.е. описан состав его элементов и их взаимосвязь.
Классификация функциональных моделей
В зависимости от способа построения функциональные модели
подразделяются на теоретические и экспериментальные. В основе получения
теоретических моделей лежат фундаментальные физические законы: закон
сохранения массы, количества движения (импульса), энергии и т.п.
В том случае, если физическая сторона процессов неизвестна или
недостаточно изучена, получают экспериментальные математические модели
на основе изучения только входных и выходных параметров моделируемого
объекта, рассматриваемого в виде кибернетического "черного ящика".
Экспериментальные модели часто представляются в виде регрессионных
зависимостей.
Функциональные математические модели по форме связей между
параметрами модели разделяют на аналитические и алгоритмические.
Аналитические модели имеют форму явных функциональных зависимостей
искомых параметров от других параметров модели. В алгоритмических
моделях такая зависимость выражена неявно, она описана в виде некоторого
алгоритма (пример: алгоритм может включать в себя снятие численных
значений параметров с некоторого графика (номограммы), последующее их
использование в совместном решении трансцендентных уравнений и т.п.).
Если при получении математической модели учитываются случайные
факторы реального процесса и переменные или параметры модели носят
случайный характер, такие модели называют стохастическими. В противном
случае - детерминированными. Переменные, входящие в модель, могут
принимать отдельные изолированные значения или любые значения в
пределах определенного непрерывного интервала (соответственно
дискретные и непрерывные математические модели).
Особенности входящих в математические модели уравнений позволяют
выделить среди них линейные и нелинейные модели. В зависимости от того,
учитываются динамические процессы, т.е. процессы, изменяющиеся во
времени, в моделях или нет, различают динамические и статистические
модели.
Функциональные модели сложных объектов
При проектировании сложных объектов используются функциональные
математические модели в основном следующих видов:
1. Математические модели в форме дифференциальных уравнений в
частных производных (распределенные модели). Такие модели отражают
процессы, протекающие в общем случае непрерывно в трехмерном
пространстве и во времени, т.е. в числе независимых переменных выступают
пространственные координаты и время. Модель в общем виде записывается
следующим образом:


Y  2 Y
Ô  s, X, U, V, Y,
, 2 ,..., t   0
s s


вектора: s - пространственных координат; X - режимных и внутренних
параметров; U - управляющих параметров; V - внешних параметров; Y выходных характеристик; t - время; Ф - оператор связи между переменными
и их производными.
Примеры распределенных моделей:



уравнение теплопроводности при моделировании теплотехнических,
радиоэлектронных и других устройств и металлургических и литейных
процессов, связывающее изменение температуры в пространстве и во
времени со свойствами среды;
уравнение диффузии при формализации процессов, связанных с
массообменным изменением концентраций свободных носителей
электрического заряда и т.д.;
уравнение неразрывности при моделировании задач гидродинамики,
заключающееся в определении полей скоростей, давления, плотности в
жидкости, движущейся под действием заданных внешних сил.
Распределенные математические модели чаще используются при
проектировании элементов многих технических устройств: летательных
аппаратов, турбин, компрессоров, БИС и т.п.
2. Математические модели в форме обыкновенных дифференциальных
уравнений (сосредоточенные модели). При увеличении протяженности
пространственных и временных областей объекта проектирования
распределенные модели приобретают настолько громоздкий вид, что их
решение представляет собой значительные (иногда нереализуемые)
вычислительные трудности. В этих случаях общую структуру объекта
разбивают на отдельные участки и переходят к усредненным в пределах
участка значения переменных. Модель в общем виде записывается
 dY


, Y, X, U, V, t )   0.
 dt

В частном случае модель может быть представлена в более удобно для ряда
исследований виде - нормальной форме Коши
dY
 F(Y, X, U, V, t ).
dt
Сосредоточенные модели используются при проектировании
различных подсистем проектируемого сложного объекта, например, тяговой
станции или редуктора для конвейера и для решения задач, связанных с
динамикой процессов.
3. Математические модели в форме трансцендентных и алгебраических
уравнений. Применяются для анализа статического состояния объекта
проектирования. При условии dY/dt = 0 получаем в общем случае систему
трансцендентных уравнений F(Y, X, U, V, t) = 0. Иногда трансцендентные
уравнения (в частном случае алгебраические) могут быть записаны в виде Y =
F(V), где Y и V - векторы выходных и входных параметров объекта.
Если зависимость представляется в виде полинома, его коэффициенты можно
найти методами идентификации,
4. Математические модели в форме логических уравнений. При
построении таких моделей используют алгебру логики, изучающую
отношения между дискретными двухзначными величинами (булевыми
переменными). Эти отношения сводятся к булевым функциям: конъюнкции,
дизъюнкции, отрицанию. Логические модели широко используют при
проектировании схем ЦВМ, АСУ, в технологической подготовке
производства.
5. Математические модели стохастических процессов. Сложные
объекты проектирования рассматриваются как системы массового
обслуживания, а модели формируются с использованием математического
аппарата теории систем массового обслуживания. Основные составные части
математической модели системы массового обслуживания: модель входного
потока заявок, модель совокупности обслуживающих каналов и их
информационных связей, модель дисциплины обслуживания.
Методы построения функциональных моделей
1) Основной принцип получения теоретических распределенных моделей
заключается в использовании фундаментальных физических законов, а
именно: сохранения массы, энергии, импульса. Указанные законы в общем
случае записываются в виде

 divJ  G,
t
где φ - некоторая фазовая переменная (плотность, энергия, импульс); t время; J = (Jx, Jy, Jz) - вектор потока фазовой переменной; G - скорость
генерации (массы, энергии, импульса); divJ = ∂Jx/∂x + ∂Jy/∂y + ∂Jz/∂z дивергенция вектора потока J (расхождение), характеризующая сумму
притока-стока через поверхность элементарного объема.
Например, уравнение закона сохранения массы имеет вид

 div (u ),
t
где ρ - плотность массы; u - вектор скорости. Уравнение закона сохранения
энергии:
E
 divJ E ,
t
где Е = е + и2 / 2 полная энергия единицы массы (е - внутренняя энергия
единицы массы); JE - вектор полного потока энергии.
Из закона сохранения энергии получается уравнение теплопроводности
Q
 divJ Q  G Q
t
где Q - количество теплоты; JQ - вектор плотности теплового потока; GQ количество теплоты, выделяемое в единицу времени в элементарном объеме.
При построении математических моделей тепловых систем к уравнению
теплопроводности добавляются начальные и граничные условия, которые
могут иметь различный вид в зависимости от решаемых задач. При
моделировании гидравлических или пневматических систем используют
уравнение неразрывности, получаемое из закона сохранения массы.
2) В основе получения теоретических сосредоточенных моделей лежат более
частные физические законы (производные от фундаментальных).
Например для моделирования механических поступательных систем
используется основной закон динамики поступательного движения:
производная по времени от количества движения системы относительно
инерциальной системы отсчета равна вектору всех внешних сил,
приложенных к системе. В векторной форме закон имеет вид
d(mu )
  Fi
dt
i
где т - масса; u - скорость. Здесь скорость и сила – векторные величины.
3) Для получения экспериментальных статических моделей наиболее часто
применяется математический аппарат теории планирования эксперимента, а
для динамических моделей - методы идентификации. При построении
модели определяются:

ее структура;

численные значения параметров модели.
Критерии качества функционирования
Математическим эквивалентом цели проектирования является некоторый
функционал качества - количественная мера качества проектируемого
объекта или его составляющих элементов. В зависимости от целей
проектирования обычно необходимо найти либо максимальное, либо
минимальное значение функционала качества (реже оба значения).
Функционал качества позволяет выбрать вариант проектного решения, т.е.
является критерием эффективности принимаемых решений.
Виды критериев эффективности:
1. Векторный - формулируется тогда, когда ставится задача получения
нескольких наилучших характеристик объекта проектирования. В этом
случае критерий эффективности является вектором I = (Ii, ...,Ip) и его
составляющие Ij, j = 1, р, называемые частными критериями, представляют в
функционале качества каждую такую характеристику.
Обычно частные критерии противоречивы, и наилучшее решение по
каждому из них приводит к различным значениям управляемых проектных
параметров. Задача проектирования с векторным критерием эффективности
сводится к получению компромиссных решений, когда проектное решение не
является наилучшим ни для одного из частных критериев, но оказывается
компромиссным для I в целом. Выбор компромиссных решений относится к
задачам математического программирования, т.е. к специальной теории
оптимизации, и производится в два этапа: первой решается задача
структурной оптимизации, далее рассматривается задача параметрической
оптимизации выбранной структуры объекта.
2. Скалярный. Если критерий эффективности состоит только из одного
частного критерия.
В зависимости от типа задач скалярный критерий I или частные Ij может
быть:
a) целевым функционалом. Если численное значение критерия определяется
заданием набора функции U(t) = (u1(t),u2(t),..., u3(t)), называемым
управлением и определенным на некотором временном интервале
независимой переменной t. Критерии такого типа обычно формируются при
проектировании управляемых динамических систем, математические модели
которых представляются либо дифференциальными уравнениями в частных
производных, либо обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Основные виды целевых функционалов:
1) интегральный функционал
tP
I   Ô ( t , Y( t ), U( t ))dt ,
t0
Ф(t, Y, U) - известная скалярная функция своих аргументов; t0, tp - границы
временного интервала, на котором исследуется функционирование объекта;
2) терминальный функционал I = f(Y(tp)tp), где f- известная скалярная
функция; Y(tp) - значение вектора выходных параметров в данный момент
времени tp при заданном управлении U(t).
3) функционал смешанного типа
tP
I  f (Y( t P ) t P )  Ô ( t , Y( t ), U( t ))dt.
t0
б) целевой функцией. Если численное значение критерия определяется
конечным набором чисел, представляющих конкретные значения проектных
параметров.
Основные виды целевых функций:
1) линейная
S
I   c ju j ,
j o
где cj, j = l, s - известные числа; uj ,j = 1, s - проектные параметры.
2) квадратичная I = UTQU + CTU, где U =(u1, u2, ..., us) – вектор проектных
параметров; Q - известная матрица размерности s ×s; С - заданный s-мерный
вектор; Т - символ транспонирования.
3) позиномы (положительные полиномы)
m
I   c k u1
k 1
1k
uS
 sk
,
где сk - заданные коэффициенты; аik - произвольные действительные числа;
uj, j = 1, s - положительные проектные параметры.
4) нелинейная I = К(u1, u2,..., u3), где uj = l, s - проектные параметры.
Постановка задачи и методы принятия проектных решений
Постановка задачи принятия проектного решения состоит в том, что на
основе имеющейся математической модели проектируемого объекта
проектировщик в зависимости от целей проектирования, т.е. выбранного
критерия эффективности и ряда дополнительных ограничений (ресурсных,
технологических, эксплуатационных), ставит конкретную математическую
задачу, решение которой может иметь один или несколько вариантов.
Определение оптимальных проектных решений сводится к нахождению
таких значений управляемых параметров, при которых достигается
экстремальное значение выбранного критерия эффективности и выполняются
все ограничения задачи.
В случае статических моделей сформулированная задача относится к задачам
математического программирования, где искомое решение характеризуется
конечным набором чисел. Для динамических моделей это будет задача
оптимального управления, где решение представляется в виде одной или
нескольких функций независимой переменной, определенных на некотором
ее интервале.
При проектировании функциональные модели часто представляют собой не
аналитические выражения, а носят алгоритмический характер. В связи с этим
отыскание оптимального решения с использованием классического
математического аппарата в виде необходимых и достаточных условий
экстремума вызывает значительные трудности, и более эффективными здесь
являются итеративные поисковые методы. (Они основаны на
последовательном улучшении получаемых значений искомых параметров,
начиная с некоторого исходного, в результате выполнения однотипных
математических операций, называемых итерациями.)
Оптимальные решения, полученные на основе математической модели,
требуют дополнительного исследования.
Принятие окончательного проектного решения производится на основе
всестороннего анализа найденных вариантов, получаемых как решение
математической задачи, с привлечением факторов качественного характера,
не формализуемых в математической постановке.
Алгоритм геометрического моделирования
При автоматизированном проектировании можно выделить три этапа
обработки геометрических данных об объеме проектирования:
1) ввод геометрических данных; основное требование при обработке экономное описание ГО;
2) геометрические расчеты; основное требование - точность;
3) вывод результатов; основные требования - наглядность и оперативность.
Средства описания ГО на различных этапах проектирования различны: при
вводе ГО в ЭВМ используются лингвистические средства (некоторый язык
описания ГО); при геометрических расчетах - аналитическое представление
ГО; при выводе результатов - числовое представление ГО.
В связи с этим можно выделить следующие формы представления ГО, или
виды геометрических моделей объекта проектирования:
1) L-модель (языковая форма ГО). Представляет собой геометрическую
модель, описанную с помощью специальных языковых средств,
ориентированных на определенный класс ГО.
Языки для представления L-моделей ГО называют графическими (или
геометрически ориентированными).
2) A-модель (внешняя форма ГО). Это запись ГО в виде "формульных"
математических соотношений: аналитических и логических зависимостей,
условий и т.д., которые дают полную информацию о ГО и обеспечивают
удобство анализа.
3) D-модель (внутренняя форма ГО). Представление ГО в числовой форме
(упорядоченной совокупности чисел) [числовая, информационная модель].
Числовая модель ГО представляет собой некоторую упорядоченную
совокупность геометрических данных – структуру данных.
Типы D-моделей:
a) 3D - D-модель описывает ГО непосредственно как объект трехмерного
евклидова пространства;
b) 2D - D-модель представляет ГО посредством совокупности его проекций
на координатные плоскости.
Использование в САПР трех видов геометрических моделей основано на
предположении об их эквивалентности, т.е. на предположении, что из любой
модели ГО можно получить любую другую его модель.
Основой системы моделей L, A, D является A-модель, содержащая все
характеристики ГО в виде математических выражений, уравнений,
неравенств и т.д. A-модель представляет ГО в весьма компактной форме,
хорошо поддающейся анализу средствами математики. L-модель - еще более
компактная. Это достигается за счет того, что в ней можно указывать только
имена объектов из A-модели и характер связей между ними. Расшифровка Lмоделей осуществляется с использованием A-моделей.
D-модель - самая подробная модель ГО. В ней непосредственно заданы
координаты точек ГО с некоторой точностью, зависящей от дискретности
выбора точек. Таким образом, между А- и D-моделью нет полной
эквивалентности - она реализуется лишь с определенной точностью.
L-модель наиболее просто поддается модификации, поэтому ее
использование существенно упрощает ввод информации о ГО в память ЭВМ;
D-модель, напротив, наиболее трудномодифицируемая. Для облегчения
модификации к D-модели предъявляются требования хорошей
структуризации. Реализацию L-модели рационально осуществлять на основе
конструктивной геометрии, а A-модели - на основе неконструктивной
геометрии.
Существенной особенностью геометрического моделирования в САПР
является необходимость реализации в системе всех трех видов
геометрических моделей. В этом смысле говорят, что ГО определен в САПР,
если для него задана тройка <L, A, D>