05.ЛекцДеулДелВакСтеп

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА
Курс лекций:
Основы Вакуумной Техники
5 лекция
Максквелловское распределение,
Длина свободного пробега и
Деление Вакуума по Степеням
Деулин Евгений Алексеевич
Распределение молекул по скоростям
(Распределение Максвелла-Больцмана)
Максвелл 1859г Больцман 1877г cоздали описание распределения
молекул по скоростям (при данной температуре) :
1.Свойства газа по всем направлением одинаковы (газ-изотропная среда)
- 2. При любой заданной температуре всегда имеется одна и та же доля молекул
с данными скоростями;
2
- 3.Температура газа есть проявление скорости движения молекул: mV  3 kT
2
2
г
k - постоянная Больцмана.
4.Произвольно ориентированные скорости движения молекул могут быть
определены выражением:
V2 = X 2  Y 2  Z 2
где
X ,Y , Z
- соответствующие проекции рассматриваемой скорости на координатные оси.
5.Функция распределения скоростей вдоль одной оси , например, Х
описывается выражением:
2
FV
1 N
m 3/ 2
mX
 fx  (
) exp(
)
N X
2 kT
2kt
N
где
,
N – количество молекул в рассматриваемом объеме.
Распределение молекул по скоростям
-.
6. Функция распределения скоростей относительно всех трех координатных осей
1
N
m 3/ 2
m( X 2  Y 2  Z 2
 f XYZ  (
) exp(
)
N X Y Z
2 kT
2kt
,
7.Функция распределения скоростей молекул для произвольно
направлений
1 N
4 2 m 3/ 2
mV 2
N V
 fV 
8. Вспомним, что по определению:

V (
2 kT


V 0
FV dV  N
)
exp(
2kt
взятых
)


fV dV  1
V 0
9.Максимум диаграммы распределения V , т.е. значение наиболее вероятной
dfV
скорости Vp
соответствует производной
2kT 1/ 2
VP  a  (
m
)
dV
0
Распределение молекул по скоростям
7.Функция распределения скоростей молекул для заданного числа молекул N
1 N
4 2 m 3/ 2
mV 2
 fV 
V (
) exp(
)
N V
2 kT
2kt



V 0
2kT 1/ 2
VP  a  (
)
m
FV dV  N


V 0
FV dV  N
Скорости молекул в реальных условиях
8. Рассчитаем реальные значения скоростей молекул
Наиболее вероятная скорость VР :
2kT 1/ 2
VР = 398 м*с-1 (для воздуха при t=200С) , VP  a  (
)
VР= 129 T/M –1/2
Средняя арифметическая скорость Vа :
8kT
3RT
V


Va= 453 м*с-1 (для воздуха при t=200С) a
m
M
T
Va  145
M
Средняя квадратичная скорость Vr :
3kT
3RT
V


-1
О
Vr500м*с (для воздуха при t = 20 С) r
m
M
T
Vr  158
M
m
Энергии молекул в реальных условиях
9. Рассчитаем реальные значения энергий молекул :
Энергия молекулы с наиболее вероятной скоростью VР :
2kT 1/ 2
VP  a  (
)
m
ЕР= ½ m VР 2 = k T
Энергия молекулы со средней арифметической скоростью Vа :
2 = 4/пи
8kT
3RT
Е
=
½
m
V
kT
а
а
Va 

m
M
Энергия молекулы со средней квадратичной скоростью Vr :
Vr 
3kT
3RT

m
M
Еа= ½ m Vr 2 = 3/2 k T
Длина свободного пробега молекул
Длина свободного пробега - расстояние, пробегаемое молекулой между двумя
последовательными соударениями - обозначается символом L,
На рис, (смотри схему на след. стр.), мы рассматриваем движение одной
молекулы с диаметром dc=2dm, где dm –диаметр реальной молекулы. Другие
молекулы, с которыми соударяется “наша ” молекула, рассматриваются как
материальные точки с диаметром d = 0. Тогда объем Vm, «вырезаемый»
Vm  V *  * d 2
“нашей” молекулой в пространстве :
число соударений К “нашей” молекулы с другими, находящимися в объеме
газа Vm вырезаемым в сек. “нашей” молекулой :
K  Vm * n
где
n – молекулярная концентрация, м –3,
тогда, число соудавений в сек.:
K  V d 2 * n
Длина свободного пробега молекул
На предсталенной схеме мы рассматриваем движение одной молекулы с диаметром
=2 в, где в –диаметр реальной молекулы (если учитывать индексацию курса ФОЭТ).
Для молекулы воздуха для нормальной температуры Т=293K в = 3,710-10 м. Другие
молекулы, с которыми соударяется “наша ” молекула, рассматриваются как
материальные точки с диаметром d = 0. Тогда объем Vm, «вырезаемый» “нашей”
молекулой в пространстве :
Vm  V *  * d 2
число соударений К “нашей” молекулы с другими, находящимися в объеме газа Vm
вырезаемым в сек. “нашей” молекулой : K  V * n
где
n – молекулярная концентрация, м –3, m
тогда, число соудавений в сек.:
K  V d 2 * n

va

2
Длина свободного пробега молекул
Исходя из схемы предыдущего рисунка длина свободного пробега может быть
выражена:
V
1
L
2 [м]
K [м] =
 dm n
С учётом движения других молекул:
L
1
2 d m2 n
С учётом уменьшения диаметра молекул с увеличением температуры (фактор
1
Сюзерленда) :
L
C
2 d m2 n(1  ) 2
T
Окончательно для повседневной практики:
3
6,
2
*10
L=
[м]
p
где:
Р- давление газа , Па
Длина свободного пробега и концентрация
молекул
3
Зависимость
L= 6, 2 *10 [м]
p
и выражение, определяющее давление:
P  nkT   kT / m
могут быть изображены графиками
Условное деление вакуума по степеням:
как нам было показано в курсе ФОЭТ
определяется:
Критерий степени вакуума
Pd  1,2 мПа
0,004 < Pd < 1,2 мПа
Pd  0,004 мПа
 < 1или P < 410-4/to
Давление, Па
105…102
102…10-1
10-1…10-4
P < 10-4
Название вакуума
Низкий
Средний
Высокий
Сверхвысокий
Принимая характерное для практики время to = 1 с
получаем значение СВВ: Р < 10-4 Па.
На рис. представлено условное деление вакуума по степеням ,
принятое в обиходе среди низкоквалифицированных
«вакуумщиков». Научно обоснованная взаимосвязь
параметров L, n и степень вакуума будет показана дальше
Число ударов молекул о стенку
в единицу времени.
Мейером было показано, что число молекул ударяющихся о единицу
поверхности в единицу времени определяются выражением:
n * Va
N1 =
4
[1/м2с]
При нормальных условиях, для воздуха, при параметрах газа:
Р=1 тор=133 Па, Т=293 К, М=29 (воздух) Va= 453 м*с-1 n= P/k T
N1 = 133 Па*2,7*1017м-3/4 = 4*1024 P[м-2 с-1] или [мол * м-2 с-1]
Приведённый объём газа,
ударяющегося о единицу поверхности в единицу времени..
Объём газа V1 ударяющегося о единицу поверхности в единицу
времени может быть выражен: N
Va
nVa
1
V1 =
= 4n = 4 [м3/м2с]
n
При нормальных условиях, для воздуха
145
Va
-1
V1=
[мc ] = 4
4
T
M
=
453
 117 [м3м-2с-2] или V1=11,7 [л*с-1 *см -2]
4
Научное деление вакуума по степеням: низкий средний, высокий определяется соотношением длины длины свободного пробега L и
характерным размером вакуумного сосуда (обычно это диаметр вакуумной
камеры или трубопровода d) ,
Научное деление вакуума по степеням: высокий -сверхвысокий
определяется соотношением времени образования монослоя сорбата на
поверхности и временем to изучаемого процесса
Далее рассмотрим, как должны быть получены соотношения, приведённые
в курсе ФОЭТ:
Критерий степени вакуума Давление, Па
Название вакуума
Pd  1,2 мПа
105…102
Низкий
0,004 < Pd < 1,2 мПа
102…10-1
Средний
Pd  0,004 мПа
10-1…10-4
Высокий
 < 1или P < 410-4/to
P < 10-4
Сверхвысокий
Принимая характерное для практики время to = 1 с
получаем значение СВВ: Р < 10-4 Па.
Научное деление вакуума по степеням: низкий средний, высокий определяется соотношением длины длины свободного пробега L и
характерным размером вакуумного сосуда (обычно это диаметр вакуумной
камеры или трубопровода d) :
Низкий вакуум: L << d (или 200 <
d/L )откуда, учитывая, что L=
6, 2 *103
p
после подстановки получаем Pd  1,2 мПа
Средний вакуум: L =d
( 2/3 < d/L < 200)откуда, учитывая, что L=
6, 2 *103
p
получаем 0,004 < Pd < 1,2 мПа
Высокий вакуум: L 
d (или d/L <2/3), откуда, учитывая, что L=
после подстановки получаем Pd  0,004 мПа
Критерий степени вакуума Ориентир. давление, Па
Pd  1,2 мПа
105…102
0,004 < Pd < 1,2 мПа
102…10-1
Pd  0,004 мПа
10-1…10-4
6, 2 *103
p
Название вакуума
Низкий
Средний
Высокий
Научное деление вакуума по степеням: высокий -сверхвысокий определяется
соотношением времени образования монослоя сорбата ts на поверхности и
временем to изучаемого процесса на поверхности:
to < ts
Время образования монослоя сорбата: ts = Nm / N1 , где число молекул в монослое:
Nm = 1/dm2 , dm – диаметр молекулы = 3 10-10 м , N1 =3 10 22 p [m-2 s-1 ] (где р в Па, см.
слайд №13)
, получаем: to < ts =1/d2 3 1022 p = 4 10-4/p , из полученного неравенства , учитывая,
что при to < ts давление Р соответствует
сверхвысокого вакуума (СВВ) :
Pсвв получаем критерий
РСВВ  4 10-4/ to
Критерий степени вакуума
Pd  0,004 мПа
 < 1или P < 410-4/to
Давление, Па
10-1…10-4
P < 10-4
Название вакуума
Высокий
Сверхвысокий
Принимая характерное для практики время to = 1 с
получаем значение СВВ: Р < 10-4 Па.
Пример
Определить характер работы ( по системе: плохо- хорошо) ш.п. в вакууме , считая,
что в сверх высоком вакууме условия работы ш.п. плохие, т.к. контактирование
ювенильных (абсолютно чистых) поверхностей вызывает их «схватывание»
.Параметры: Частота вращения n= 60 об/мин, число шариков Z=7. P= 10-3 Па (по
определению, изученноиму в ФОЭТ это «высокий вакуум»)
Решение: Определяем, какому вакууму соответствуют ли указанные параметры и
можно ли говорить о сверхвысоком вакууме?
Вспомним, что СВВ существует
при: РСВВ  4 10-4/ to
временем to изучаемого на поверхности процесса для нас будет время между двумя
последующими контактированиями щариков с одним местом кольца с частотой
nконт = n Z / 60 2 = 60 7 /60 2 =3,5 конт/сек, откуда to = 1/nконт= 1/3 сек За это время
на контактирующих поверхностях шариков (и колец) формируется сорбат. Где
граница СВВ для нашего процесса:
РСВВ  4 10-4/ 0,33=1.2 10-3 Па
из чего мы видим, что наш рабочий вакуум P=1 10-3 Па
при учёте критерия является сверхвысоким, т.е. Условия работы ш.п. «плохие»
Барометрическая формула Больцмана
Увеличение расстояния от земли на dZ ведёт к убыванию давления на
величину dP
dP= -   g dZ , где -плотность газа, =n m=Pm/kT, т.к. Р= nkT. Тогда:
p
p
po dP/P = -z m/kT  g dZ = ln P  po =-mgz/kT
ln P/P0 =-mgz/kT откуда P= P0 exp (-mgz/kT),
или
P= P0 exp (-W/kT),
где W- потенциальная энергия, меняющаяся с расстоянием.
Аналогично, распределение концентрации частиц в силовом поле
n= n0 exp –W/kT