Элементы теории корреляции

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3
•Основные темы
• Элементы теории корреляции
• Однофакторный дисперсионный анализ
§ Элементы теории корреляции
1. Основные понятия
Зависимость величины Y от X называется функциональной, если каждому значению величины X соответствует единственное определённое значение
величины Y.
Зависимость величины Y от X называется статистической (вероятностной, стохастической),
если каждому значению величины X соответствует не
одно, а множество значений величины Y, причём
сказать заранее, какое именно значение примет
величина Y невозможно.
Среднее значение, которое принимает величина Y при
X = x, называется математическим ожиданием случайной величины Y, вычисленным при условии, что X = x,
или условным математическим ожиданием:
М(Y|X=x)
Если при изменении x условные математические
ожидания М(Y|X=x) изменяются, то говорят, что имеет
место корреляционная зависимость величины Y от X.
При этом функцию f (x)=М(Y|X=x) называют функцией
регрессии Y на X.
f (x)=М(Y|X=x) – ?
f (x)=М(Y|X=x) – ?
Условным средним y x называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих
X=x.
Условное среднее является оценкой условного математического ожидания: М(Y|X=x)  y x
Каждому x соответствует своё значение y x , следовательно, y x – есть функция от x:
y x  f * ( x)
это уравнение называется выборочным уравнением
регрессии, а функция f*(x) – выборочной функцией
регрессии.
f ( x)  f * ( x)
f (x)=М(Y|X=x) – ?
Если функция регрессии – линейная:
f (x) = М(Y|X=x) = ax+b,
то выборочное уравнение регрессии имеет вид:
 n xy xy  nx y
Y
x, y
– выборочy x  y  rв
( x  x ) , где rв 
X
n X  Y
ный коэффициент корреляции
x, y – выборочные средние
 X , Y – выборочные средние квадратические отклонения
nxy – частота пары вариант (x, y)
2. Выборочный коэффициент корреляции
• Выборочный коэффициент корреляции
может принимать значения от -1 до +1.
Он сходится к теоретическому
коэффициенту корреляции
соответствующих случайных величин,
если тот существует.
• По абсолютной величине и знаку
коэффициента можно судить о степени
зависимости (сильной или слабой) и о
её характере (положительной или
отрицательной).
T 
r
n2
1 r2
Корреляционная таблица
X
10
20
30
40
nY
0.4
5
–
7
14
26
0.6
–
2
6
4
12
0.8
3
19
–
–
22
nX
8
21
13
18
n=60
Y
• Замечание. В случае, когда
нормальность данных нарушается,
применение выборочного
коэффициента корреляции может
привести к ошибкам:
• или мы не заметим зависимость между
величинами,
• или получим ложную зависимость.
• Существуют коэффициенты и методы,
свободные от предположения
нормальности.
3. Ранговый критерий независимости Кендалла
4. Ранговый критерий независимости
Спирмена
Критерий Спирмена (ранги 1-й выборки
упорядочены)
Свойства выборочного
коэффициента корреляции Спирмена
• Свойство 1. Если между качественными
признаками X и Y имеется полная
прямая зависимость в том смысле, что
ранги объектов совпадают при всех
значениях i, то выборочный
коэффициент ранговой корреляции
Спирмена равен единице.
Свойства выборочного
коэффициента корреляции Спирмена
• Свойство 2. Если между качественными
признаками X и Y имеется
противоположная зависимость в том
смысле, что рангу 1 признака X
соответствует ранг n признака Y , рангу
2 признака X соответствует ранг n - 1
признака Y и т.д, то выборочный
коэффициент ранговой корреляции
Спирмена равен минус единице (-1).
Свойства выборочного
коэффициента корреляции Спирмена
• Свойство 3. Если между качественными
признаками X и Y нет ни полной
прямой, ни противоположной
зависимости, то выборочный
коэффициент ранговой корреляции
Спирмена заключён между -1 и +1,
причём чем ближе к нулю его
абсолютная величина, тем зависимость
меньше.