Понятие о вероятности

Понятие о вероятности
Основные понятия
Рассмотрим результаты опыта при бросании
монеты. Пусть рассматривается событие
«А»: «в результате броска выпал герб».
Будем
рассматривать
зависимость
отношения n/N, где n – число опытов, при
которых событие произошло, N – полное
число опытов.
Получается следующая
закономерность:
зависимость n/N
0,8
0,7
0,6
n/N
0,5
n/N
0,4
1/2
0,3
0,2
0,1
0
1
10
100
N
1000
10000
Основные понятия
Рассмотрим результаты опыта при
бросании
кубика.
Пусть
рассматривается событие «А»: «в
результате броска выпало число 6».
Будем
рассматривать
зависимость
отношения n/N, где n – число опытов,
при которых событие произошло, N –
полное число опытов.
Получается следующая
закономерность:
Результат бросания кубика
0,25
0,2
0,15
n/N
0,1
1/6
0,05
0
1
10
100
1000
Число бросков
10000
Определение
Пусть есть событие А. Пусть в N испытаниях
событие A произошло n раз. Тогда
вероятностью числа A называется
n
p ( A)  lim  
N  N
 
Основное правило расчета
вероятности.
Пусть имеется события А и В, образующие
полную непересекающуюся группу событий.
Пусть события A и В могут быть разложены в
сумму непересекающихся событий
n
A   Ai
i 1
B
N
B
j  n 1
j
Основное правило расчета
вероятности.
Очевидно, что в этом случае события
A1, A2…An, Bn+1, Bn+2 … BN образуют полную
непересекающуюся группу событий.
События A1, A2…An называются реализациями события А, а
события Bn+1, Bn+2 … BN называются реализациями
события В.
Пусть p(A1)= p(A2)=…= p(An)= p(Bn+1)=…=p(BN)
Такие события называются равновероятными.
Тогда: вероятность наступления события А
n
P( A) 
N
Ошибка Д' Аламбера
Бросаются две монеты. Какова
вероятность, что обе монеты упадут
орлом кверху?
Д'Аламбер: в результате бросания двух
монет возможны следующие три
события: "выпали два орла", "выпали
две решки" и "выпали орел и решка".
Эти события находятся в равных
условиях, поэтому их вероятности
равны 1/3.
Ошибка Д' Аламбера
Решим эту задачу иначе. Возможные события,
которые являются результатом опыта с двумя
монетами, будем обозначать двумя буквами.
Первая буква означает выпадение орла(О) или
решки(Р) на 1-ой монете, а вторая - выпадение
орла или решки на 2-ой. Тогда 4 исхода
бросания двух монет можно записать так: ОО;
ОР; РО; РР. Все эти исходы несовместны,
равновозможны и образуют полную
неперекрывающуюся группу событий. Пусть
событие A - "выпали два орла". Этому событию
благоприятствует только один исход ОО.
Поэтому M = 1; N = 4; P(A) = M / N= 1/4.
Ошибка Д' Аламбера
Теперь нетрудно заметить ошибку
Д'Аламбера. Он считал, что события
"выпали два орла" и "выпали орел и
решка" равновозможны, а это не так.
Последнему событию благоприятствуют
два исхода: ОР и РО, поэтому
вероятность события "выпали орел и
решка" P = M / N = 2/4 = 1/2 ≠ 1/3.
Свойства вероятности.
• I. Вероятность достоверного события равна 1.
• Доказательство:
• Если событие А достоверное, то любой исход
испытания благоприятствует этому событию,
следовательно n = N .
Значит, P(A) = n / N = N / N = 1 .
• II. Вероятность невозможного события равна 0.
• Доказательство:
• Если событие А невозможное, то ни один из
исходов испытания не благоприятствует ему.
Следовательно, n = O, но тогда
P(A) = n / N = 0 / N = 0 .
Свойства вероятности.
• III. Вероятность события А удовлетворяет
двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Доказательство:
• Число исходов, благоприятствующих
наступлению события, либо равно 0, либо N ,
либо, по определению вероятности, является
частью всех N исходов испытания.
Тогда O ≤ n ≤ N, а значит,
0 ≤ n / N ≤ 1. Следовательно, 0 ≤ Р(А) ≤ 1.
Пример 1
Игроки А и В играли в кости двумя
кубиками. Игрок А выбросил 9 очков.
Найти вероятность того, что он
выиграет.
Решение
Найдем число вариантов выпадения
очков при одном броске пары кубиков.
На любом из них моет выпасть цифра
от одного до шести. Тогда N=6·6=36.
Рассчитаем число вариантов, удовлетворяющих игрока А:
Игрок Б может выбросить
Количество очков
2
3
4
5
6
7
8
Итого
Число вариантов
1 (1+1)
2 (1+2; 2+1)
3 (1+3;2+2;3+1)
4 (1+4;2+3;3+2;4+1)
5 (1+5;2+4;3+3;4+2;5+1)
6 (1+6;2+5;3+4;4+3;5+2;6+1)
5 (2+6;3+5;4+4;5+3;6+2)
26
P (выиграл
26 13
А) 

36 18
Вероятность полной группы событий
Пусть события A1, A2…AN образуют полную
неперекрывающуюся группу событий. Тогда
N
 P( A )  1
i 1
i
Доказательство
Пусть число всех возможных способов
реализации опыта N. Пусть событие А1
реализуется числом способов n1, событие А2
– n2 и т.д. Очевидно, что
N
n
i 1
i
 N Тогда
N
ni
1

i 1 N
N
 P( A )  1
i 1
i
Решим ту же задачу другим способом
Найдем число способов, при котором
игрок А не выиграет. Возможны
варианты:
1. Ничья, реализуется числом способов 4
(9 очков: 3+6,4+5,5+4,6+3)
P(“Ничья”)=4/36=1/9
2. Победил Б, для этого ему нужно
выбросить более 9 очков.
Рассчитаем варианты
Количество очков
10
11
12
Итого
Тогда:
P (" Выиграл
Б" ) 
Число вариантов
3(4+6,5+5,6+4)
2(5+6,6+5)
1(6+6)
6
6
1

36 6
P(" Выиграл
А " )  P(" Выиграл
P(" Выиграл
А " )  1  P(" Выиграл Б" )  P(" Ничья" )
1 1 18  3  2 13
А" )  1   

6 9
18
18
P(" Выиграл
Б" )  P(" Ничья" )  1
Вероятность последующих
событий.
Пусть последовательно исследуются два
независимых события A1 и A2, причем их
вероятности соответственно P(A1) и P(A2).
Тогда вероятность события A, состоящего в
том, что последовательно произойдут
события A1 и A2 может быть вычислена:
P( A)  P( A1 )  P( A2 )
Доказательство.
Пусть событие A1 реализуется числом
благоприятных исходов n1 из числа
возможных исходов N1, а событие A2
реализуется числом благоприятных
исходов n2 из числа возможных исходов N2.
Так события A1 и A2 независимы, то число
благоприятных исходов для события A
n=n1·n2, а число возможных исходов для
события A N=N1·N2. Тогда вероятность
события A
n
n1  n2
n1 n2
P( A)  


 P( A1 )  P( A2 )
N N1  N 2 N1 N 2
Важное замечание!
При расчете вероятности нескольких
последующих событий важно
проверить, не изменилась ли ситуация!
Пример 2
В ящике 4 белых и 6 черных шаров.
Наудачу выбирают один шар, затем
кладут его на место и вынимают второй
шар. Найти вероятность, что дважды
вытащен черный шар.
Решение
Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных
вариантов. Необходимо при первой попытке
вытащить черный шар. Это можно сделать 6
способами. Вероятность этого события,
назовем его событие A1, составляет
6 3
P ( A1 ) 

10 5
Перед второй попыткой вытащенный шар
положили на место!
В ящике по-прежнему всего 4+6=10 шаров,
т.е. 10 равновозможных вариантов.
Необходимо при второй попытке
вытащить черный шар. Это можно
сделать 6 способами. Вероятность этого
события, назовем его событие A2,
составляет также
6 3
P ( A2 ) 

10 5
Вероятность события A, состоящего в
том, что дважды был вытащен черный
шар
3 3 9
P( A)  P ( A1 )  P ( A2 )   
5 5 25
Пример 3
В ящике 4 белых и 6 черных шаров.
Наудачу выбирают один шар, затем
откладывают его в сторону и вынимают
второй шар. Найти вероятность, что
дважды вытащен черный шар.
Решение
Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных
вариантов. Необходимо при первой попытке
вытащить черный шар. Это можно сделать 6
способами. Вероятность этого события,
назовем его событие A1, составляет
6 3
P ( A1 ) 

10 5
Перед второй попыткой вытащенный шар
не положили на место!
В ящике теперь всего 4+5=9 шаров, т.е. 9
равновозможных вариантов.
Необходимо при второй попытке
вытащить черный шар. Это можно
сделать 5 способами. Вероятность
этого события, назовем его событие A2,
составляет
5
P( A2 ) 
9
Вероятность события A, состоящего в
том, что дважды был вытащен черный
шар
3 5 1
P( A)  P( A1 )  P( A2 )   
5 9 3
Домашнее задание
1. Теорию событий выучить!
2. Основы теории вероятности и правила
расчета вероятности разобрать и если
что-то непонятно подготовить вопросы.
3. Задачи.
Задача 1
В ящике 4 белых и 6 черных шаров.
Наудачу выбирают два шара. Найти
вероятность, вытащенные шары
окажутся разного цвета. Рассмотреть
случаи, когда первый вытащенный шар
откладывают в сторону и вынимают
второй шар и когда его кладут на место
перед второй попыткой.
Задача 2
В 30-е годы каждому велосипедисту полагался номер,
включающий в себя 4 цифры от 0 до 9 на любой
позиции. Некто купил велосипед и пошел получать
номер. Будучи человеком суеверным и зная, что есть
такай противная неисправность как «восьмерка» он
страшно боялся, что в номере будет присутствовать
хотя бы одна цифра 8. Однако по дороге он успокоил
себя, решив, что т.к. «плохая» цифра 1 из десяти, то
вероятность этого крайне мала: p=0.1. Какова в
действительности эта вероятность? Чему она была бы
равна, если число цифр в номере было бы 8, а не 4?
Задача 3
Перед последним туром чемпионата страны по
футболу «ЦСКА», «Локомотив», «Зенит»,
«Спартак» и «Торпедо» набрали равные
показатели. Однокруговой турнир ничего не
дал – одни ничьи. Было решено провести
турнир по пенальти. Считая пенальти
лотереей и шансы команд абсолютно
равными найти вероятность события, что
«Зенит» будет с медалями , а «Спартак» нет.