цепи с обратной связью

ЦЕПИ С ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ
Обратная связь сигнал прямого канала воздействует на вход цепи
U вых ( p)
U вх ( p)
+
K ( p)
 ( p)
ОС  внешняя и внутренняя.
Паразитная ОС  нежелательная.
U вых ( p)  K ( p) U вх ( p)   ( p)U вых ( p)
U вх ( p) K ( p)
U вых ( p) 
1   ( p) K ( p)
K ( j )
Kос ( j ) 
1   ( j ) K ( j )
K ( p)
Kос ( p) 
1   ( p) K ( p)
ОС частотнозависимая
2
Виды обратной связи
K ( j )
Kос ( j ) 
1   ( j ) K ( j )
1   ( j ) K ( j )  1
отрицательная ОС
1   ( j ) K ( j )  1
положительная ОС
обратная связь может быть положительной для одних
частотных составляющих и отрицательной для других
ПОС  для увеличения коэффициента усиления усилителей и
самовозбуждения генераторов колебаний
ООС  для расширения полосы пропускания усилителя,
повышения равномерности АЧХ
ЧЗОС  для реализации гребенчатых фильтров
3
Положительная обратная связь
 Eп
Lсв
L
C
uвых
 Eп
Rрез   Q,
0

K ( j ) 
где
uвх
2Q
КЧХ усилителя
2
0.7
 L C
к
 SRрез
1  jэкв
  0
  2Q
0
 обобщённая расстройка
 характеристическое сопротивление
 постоянная времени
 SRэкв
K ( j ) 
1+j (  0 ) к
4
Введем положительную ОС (соответствующим подключением катушки
связи)
K ( j )
Kос ( j ) 
1   ( j ) K ( j )
 SRэкв
K ( j ) 
1+j (  0 ) к
 SRýêâ 1+j (  0 ) ê 
 SRýêâ
K î ñ ( j ) 


SRýêâ
1  0 SRýêâ  j (  0 ) ê
1  0
1+j (  0 ) ê

 SRýêâ
1  0 SRýêâ
ê
1  j (  0 )
1  0 SRýêâ
Если
0  0 SRýêâ  1
Коэффициент усиления и
постоянная времени
увеличиваются в
1
1  0 SRýêâ
раз.
5
K ( j ) 
 SRэкв
1  0 SRэкв
к
1  j (  0 )
1  0 SRэкв
0 SRэкв  0.75
регенеративный усилитель
| K ос ( j ) |
SRэкв
1   0 SRэкв
SRэкв
0

6
Отрицательная обратная связь
 ( j )   0
тогда
K ( j )
Kос ( j ) 
1  0 K ( j )
ООС ослабляет влияние прямого канала и его нестабильных параметров
При
0 K ( j )
1
K î ñ ( j ) 
Полный дифференциал
1
0
Kос
Kос
1  0 K  0 K
K2
dKос 
dK 
d 0 
dK 
d 0
2
2
K
0
1  0 K 
1  0 K 
dKoc
0 K d 0
1
dK


Koc 1  0 K K 1  0 K 0
При глубокой ООС
dKoc
d 0

K oc
0
7
Пример применения ООС
усилитель мощности с коэффициентом усиления 10 и относительной
нестабильностью dK
K
 0.2
Необходимо обеспечить относительную нестабильность в сто раз
меньше. Для этого следует включить каскадно с усилителем мощности
предварительный усилитель с коэффициентом усиления 100 и
охватить оба усилителя отрицательной ОС с коэффициентом   0.099
Тогда общий коэффициент усиления
Koc 
относительная нестабильность dKoc 
Koc
1000
 10
1  0.099  1000
1
dK
 0.002
1  0 K K
100
10
0.099
8
Пример применения ООС
 Eп
Rн
КЧХ:
 SRэкв
K ( j ) 
1+ j экв
uвых
 экв  RэквCп
Cп
uвх
Rос
Коэффициент ООС
гр  1 /  экв
 Eп
Rэкв  Rн Ri / ( Rн  Ri )
Rос / Rн
 SRэкв
1+ j экв
 SRэкв
K ос ( j ) 


SRэкв
1+0 SRэкв + j экв
1+0
1+ j экв
9
 SRэкв
1+ j экв
 SRэкв
K ос ( j ) 


SRэкв
1+0 SRэкв + j экв
1+0
1+ j экв

 SRэкв
1+ 0 SRэкв
1+j
 экв
1+ 0 SRэкв
 0 SRэкв  1
введение отрицательной ОС приводит к
уменьшению коэффициента усиления на
нулевой частоте, но при этом во столько же раз
расширяется полоса пропускания, т.к.
увеличивается граничная частота, которая
теперь равна
гр.ос 
1
 экв
1+0 SRэкв
 1+0 SRэкв гр
10
Пример применения ЧЗОС (гребенчатый фильтр)
1
 
K ( j )
Kос ( j ) 
1   ( j ) K ( j )
K oc ( j ) 
1
1   e j
20
20
  0.5
15
K.îñ (   0.5)
10
K.îñ (   0.95)
  0.95
5
0.513
10
 10
8
6
4
2
0

2
4
6
8
10
10
11
Устойчивость цепей с обратной связью
цепь называется устойчивой, если малые изменения входного сигнала
приводят к малым изменениям выходного сигнала
Для линейных цепей это означает, что ограниченному воздействию
соответствует ограниченный отклик (ОВОВ-устойчивость)
Для устойчивости ЛИС-цепи необходимо и достаточно, чтобы
полюсы передаточной функции находились слева от мнимой оси
p - плоскости (для пассивных цепей это выполняется всегда)
 nt
1t
 2t
y(t )  C1e  C2e  ...  Cne
Это общее решение диф. уравнения, описывающего ЛИС-цепь.
 1,  2 ,...,  n
корни характеристического
уравнения (полюсы передаточной
функции)
K ( p) 
bm p m  bm 1 p m 1  ...  b1 p  b0
an p n  an 1 p n 1  ...  a1 p  a0
12
полюсы – это такие значения переменной p, при которых
передаточная функция обращается в бесконечность
K ( p)
Kос ( p) 
1   ( p) K ( p)
полюсы цепи с ОС не совпадают с
полюсами прямого канала
введение ОС может сместить полюсы в правую полуплоскость и
нарушить устойчивость цепи (привести к самовозбуждению)!!!
Если выражения для передаточных функций известны и являются
рациональными, то для выяснения вопроса об устойчивости цепи
с ОС можно воспользоваться критериями устойчивости:
1. алгебраический критерий Рауса – Гурвица и
2. графоаналитический критерий Михайлова
на практике иногда приходится исследовать устойчивость цепей на
основе их характеристик, полученных экспериментально и
представленных в виде таблиц или графиков
13
3. Графоаналитический критерий Найквиста
достаточно знать передаточные функции (или КЧХ) прямого и
обратного каналов, представленных в любом виде
(предполагается внешняя ОС)
Строится годограф Найквиста, т.е. графическое изображение на
комплексной плоскости КЧХ разомкнутой цепи (прямого и обратного
каналов, соединенных каскадно  ( j ) K ( j )
(частота рассматривается как параметр)
Критерий Найквиста:
цепь является устойчивой, если построенный годограф
не охватывает точку (1+j0)
Im

0
1
Re

14
Физический смысл критерия Найквиста:
если при прохождении по разомкнутой цепи гармоническое
колебание какой-нибудь частоты приобретает фазовый сдвиг,
кратный 2, и его амплитуда не уменьшается, то такой сигнал в
замкнутой цепи будет поддерживать сам себя
(а если АЧХ разомкнутой цепи больше единицы, то в замкнутой
цепи произойдет самовозбуждение, то есть возникновение
колебаний и их неограниченный рост).
Роль начального слабого колебания, с которого начинается
процесс самовозбуждения, в таких случаях играет тепловой шум,
который имеет широкий спектр и содержит, таким образом,
гармоники практически всех частот
arg  ( j ) K ( j )  2 k
 ( j ) K ( j )  1
 баланс фаз
 баланс амплитуд
(в автогенераторах создаются преднамеренно)
15
Пример: Анализ устойчивости резистивного усилителя
 Eп
Rн
uвых
Cп
uвх
Rос
 Eп
Введем 100%-ную
обратную связь, соединив
коллектор транзистора с
базой, при этом  ( )  1
и для построения
годографа Найквиста
нужно знать только КЧХ
усилителя:
 SRэкв
SRэкв
K ( j ) 

exp  j  jarctg экв 
2
2
1+ j экв
1+   экв
Im
 SRэкв
Re
Очевидно, годограф ни при
каких условиях не может
охватить точку (1,j0),
поэтому однокаскадный
резистивный усилитель
абсолютно устойчив
16
Пример. Анализ устойчивости двухкаскадного резистивного
усилителя
Два одинаковых усилителя соединим каскадно и охватим 100%-ной
обратной связью, соединив коллектор второго транзистора с базой
первого. КЧХ разомкнутой цепи тогда
K ( j ) 
Im
2
S 2 Rэкв
2
1+  2 экв
exp   j 2arctg экв 
2
S 2 Rэкв
Re
Очевидно, усилитель устойчив в
том и только в том случае, если
2
S 2 Rэкв
1
(каждый из каскадов инвертирует
сигнал, значит, обратная связь
является положительной).
При S 2 R2  1 такой усилитель превращается в генератор
экв
незатухающих колебаний (автогенератор)
17
Автогенераторы колебаний
Назначение автогенератора состоит в преобразовании мощности
источника питания в мощность незатухающих периодических
колебаний
Выход
ИП
АЭ
КС
ОС
Различают автогенераторы гармонических и негармонических
(прямоугольных, пилообразных и т.д.) колебаний.
Необходимыми элементами автогенератора являются:
• активный элемент АЭ (транзистор, туннельный диод,
электронная лампа и т.п.),
•колебательная система КС (контур, резонатор и т.п.) и
•положительная обратная связь (внутренняя или внешняя).
18
Условия самовозбуждения автогенератора
гармонических колебаний
 Eп
i
ток в цепи истока – стока i
ток в контуре iк
i
R
Lсв
напряжение на
катушке u L
i
L
iк
U0
duC
di
iк  C
, uL  L к ,
dt
dt
В одиночном контуре
LC
d 2uC
dt
2
напряжение на
конденсаторе uC
C
 Eп
напряжение на
резисторе u R
u R  Riк
u L  u R  uC  0,
du
di
 RC C  uC   M ,
dt
dt
но
коэффициент
взаимоиндукции
duC
di
S
,
dt
dt
M
19
Поскольку
2
LC
d uC
dt 2
 RC
можно записать
Обозначим
duC
di
 uC   M ,
dt
dt
d 2uC
dt 2
R
2 
L
du
di
S C,
dt
dt
1
 R MS  duC


uC  0

LC
 L LC  dt
MS
1
, 02 
LC
LC
общее решение данного уравнения имеет вид
 t  jсt
uC (t )  C1e
Константы С
1
и
 C2e
 t  jсt
,
С2 определяются начальными условиями
Условие самовозбуждения  возрастание амплитуды
R MS

0
L LC
c2  02   2
RC
M
S
(вносимое отрицательное сопротивление за счет ПОС
 0
Rвн  
MS
C
)
20
При выполнении этого условия слабые колебания будут со временем
возрастать, и их амплитуда (в линейной цепи) стремится к бесконечности.
В реальных цепях роль крутизны играет средняя крутизна по 1-й
гармонике убывающая с ростом амплитуды колебаний.
M
Тогда начиная с некоторой амплитуды условие
RC
S
перестает выполняться и устанавливается равновесие
Генератор можно рассматривать как резонансный усилитель с
колебательной характеристикой I1  f U m

I1

I1
Um
Um
21
RC
M
S
S
1
2
S
RC
M
S
1
RC / M
б
RC / M
а
2
3
3
Um
U m0
Мягкий режим самовозбуждения
Um
U mб
U ma U m0
Жесткий режим самовозбуждения
поддержание постоянной амплитуды колебаний в стационарном режиме
можно рассматривать как проявление отрицательной обратной связи.
22