Тема 4: «Средние величины»

Тема 4: «Средние величины»
Вопросы темы:
1. Сущность и значение средних величин
2. Научные принципы и условия расчета средних величин
3. Средняя арифметическая простая и взвешенная
4. Математические свойства средней арифметической
5. Средняя гармоническая; другие виды средних величин
6. Особенности применения средних величин в
экономическом анализе.
Средняя величина (СВ)
выражает то общее, что характерно для
изучаемого явления в конкретных условиях
места и времени.
Назначение СВ состоит в том, чтобы
представить конкретный признак совокупности
(например, возраст студентов II курса) одним
числом, несмотря на количественные различия
значений этого признака внутри совокупности.
Таким образом, средняя величина – это
обобщающая
характеристика
качественно
однородной совокупности однотипных явлений
по
какому-либо
одному
количественно
варьирующему признаку.
В средней величине взаимопогашаются
отклонения значений признака отдельных единиц
совокупности,
обусловленные
действием
случайных факторов, и учитываются изменения,
вызванные действием основных факторов. Это
позволяет СВ отражать типичный уровень
признака и абстрагироваться от индивидуальных
особенностей, присущих отдельным единицам.
Основные условия расчета
и анализа СВ
1) Средние величины должны подсчитываться
только для качественно однородных
совокупностей
2) Для получения полной и разносторонней
характеристики изучаемого явления следует
использовать не отдельные средние, а
систему СВ, поскольку любое явление – это
результат воздействия многих факторов, т.е.
совокупность множества признаков, по
каждому из которых и подсчитывается
средняя величина.
3) В экономическом анализе СВ, как правило,
дополняются отдельными
индивидуальными показателями,
характеризующими развитие явления или
процесса – например, минимальным и
максимальным значением признака. Это
делается для того, чтобы понять, насколько
«типична» данная средняя величина. Ведь
за относительно высокой СВ могут быть
скрыты плохие результаты работы
отдельных предприятий.
4) Необходимо правильно выбрать форму СВ,
верно определить способ ее расчета.
В зависимости от способа расчета и
особенностей экономического анализа
различают следующие виды средних величин:
1) средняя арифметическая
2) средняя гармоническая
3) средняя геометрическая
4) средняя квадратическая
5) средняя хронологическая
6) структурные средние – мода и медиана
Для рассмотрения основных видов средних
величин введем буквенные символы:
х – варьирующий признак
х1 х2 х3 … хn – отдельные значения признака
x – среднее значение признака
n – число единиц совокупности
f – частотá признака (показывает, как часто каждое
значение признака встречается в совокупности)
f1 f2 f3 … fn – частоты отдельных вариантов признака
w = x ∙ f – произведение значений признака на их
частоту.
Σ – знак суммы
Средняя арифметическая
а) простая
 xi x1  x 2  x3  ...  xn
x

n
n
Средняя арифметическая
а) взвешенная
 xifi x1f1  x 2f2  x3 f3  ...  xnfn
x

f1  f2  f3  ...  fn
 fi
Задача № 1
Имеются следующие данные об экспорте
металлорежущих станков по месяцам (в
штуках):
I
II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
122 127 132 125 129 140 112 132 136 139 148 166
Рассчитать среднемесячный показатель экспорта
станков за отчетный год
x
x

n
122  127  132  125  129  140  112  132  136  139  148  166


12
1608

 134 шт.
12
Средняя арифметическая простая –
это
частный
случай
средней
арифметической
взвешенной
и
применяется в тех случаях, когда расчет
осуществляется по несгруппированным
данным (каждый вариант встречается в
совокупности один раз или одинаковое
число раз).
Задача № 2
Имеются следующие условные данные о
поставке товара по пяти заключенным
контрактам:
№№
Цена за 1 шт. в
Количество
штук (f)
контрактов долларах США
(х)
1
35,25
2000
2
35,40
1500
3
35,45
1000
4
35,50
800
5
35,60
700
Итого:
6000
Рассчитать среднюю цену за 1 штуку данного
товара по всем пяти контрактам.
xf

x
f

35,25  2000  35,4 1500  35,45 1000  35,5  800  35,6  700


6000
 35,4 долл.
Средняя
арифметическая
взвешенная
подсчитывается путем деления суммы
взвешенных значений признака на сумму
частот.
Её применяют в тех случаях, когда
варианты
признака
встречаются
в
совокупности неодинаковое число раз, т.е.
имеют различный статистический вес.
В отличие от средней арифметической
простой, величина средней арифметической
взвешенной зависит не только от размера
значений признака, но и от величин
соответствующих им частот. Причем по
своему цифровому значению СВ будет
ближе к вариантам с максимальной
частотой.
Некоторые математические свойства средней
арифметической
1) Сумма отклонений отдельных значений
признака (вариант) от средней
арифметической, взвешенных по
соответствующим частотам (весам), равна
нулю
 (x  x)  0
а) для средней простой:
б) для средней взвешенной:  ( x  x )f  0
2) Если от каждого варианта вычесть или к
каждому варианту прибавить какое-то
постоянное число, то СВ уменьшится или
увеличится на это же число.
3) Если каждый вариант умножить или
разделить на какое-то постоянное
число, то и СВ увеличится или
уменьшится во столько же раз.
4) Если все частоты (статистические веса)
разделить или умножить на какое-то
постоянное число, то значение СВ от
этого не изменится
Эти свойства используют для упрощенного
расчета средней арифметической.
Средняя гармоническая
а) средняя гармоническая простая
n
n
x

1
1
1
1
1


 ... 

xi
x1 x 2 x 3
xn
Средняя гармоническая
а) средняя гармоническая взвешенная
w1  w 2  w 3  ...  w n
 wi
x

wi
w1 w 2 w 3
wn


 ... 

xi
x1
x2
x3
xn
Изменим исходные данные задачи № 2: вместо
показателей количества товаров введем данные о
сумме реализации этих товаров по каждому
заключенному контракту.
№№
Цена за 1 шт. в
Сумма
контрактов долларах США (х) реализации в
долларах (w)
1
35,25
70500
2
35,40
53100
3
35,45
35450
4
35,50
28400
5
35,60
24920
Итого:
212370
Рассчитать среднюю цену за 1 штуку данного
товара по всем пяти контрактам.
212370
 wi
x

 35,4 долл.
w i 70500 53100 35450 28400 24920





xi
35,25
35,4
35,45
35,5
35,6
Выводы:
1) В средней гармонической статистическим
весом являются не прямые частоты
признака, а их произведения на величину
признака: W=x∙f
2) Вместо средней гармонической всегда
можно подсчитать среднюю
арифметическую, предварительно
рассчитав размер частот.
(В задаче № 3 прямой частотой
признака является количество товара,
реализуемого по соответствующим
ценам. Его определяем путем деления
суммы реализации на значения цен по
w
каждому контракту ( ) и по всем
wi
x
заключенным контрактам: 
xi
При выборе формулы средней величины
исходят
из
общего
правила,
что
все
производимые арифметические действия должны
приводить
к
экономически
осмысленному
результату, т.е. чтобы в результате умножения
w
исходных величин (х∙f) или их деления (
)
x
получились вполне реальные, экономически
значимые показатели.
В задаче № 2: х∙f – это сумма реализации;
w
В задаче № 3:
- это количество товара
x
Динамика экспорта
Португалии
Показатель Экспорт
динамики
млн.
долл.
США
Годы
Производные цепные показатели
Абсолю Коэф-нт Темпы
тный
роста
роста
прирост
Кр
Тр
Δу (млн.
долл.)
Коэф-нт
Темп
прироста прироста
Кпр
Кпр (%)
Абсолютное
значение
1%
прироста
А (млн.
дол.)
2002
25536
-
-
-
-
-
-
2003
30714
5178
1,203
120,3
0,203
20,3
255
2004
33023
2309
1,075
107,5
0,075
7,5
307
2005
32137
-886
0,973
97,3
-0,027
-2,7
330
2006
42890
10753
1,335
133,5
0,335
33,5
321
Источник: составлено по данным «Monthly Bulletin of
Statistics». U.N.; N-Y; 2007, № 6, p. 116.
Абсолютный прирост
Δу = уi – yi-1 – цепной показатель
Δy = yi – y0 – базисный показатель
Δy = yn – y1 – показатель прироста за весь
y n  y 1 период
y 
n  1 - средний абсолютный прирост,
где n – число уровней динамического ряда.
Коэффициенты и темпы роста
yi
Kp 
y i1
yi
Kp 
y0
yn
Kp 
y1
Tp  K p  100
- цепной показатель
- базисный показатель
- коэффициент роста за весь
период
- темп роста
Средний коэффициент роста
1) K p  m K1  K 2  K 3 ...  K m ,
где m – число коэффициентов роста
yn
2) K p  n 1 ,
y1
где n – число уровней динамического ряда
Коэффициент и темпы прироста
y i  y i1
Kp 
y i1
yi  y0
Kp 
y0
K пp  K p  1
1) Tпp  K пp  100
2) Т пр  Т р  100
- цепной показатель
- базисный показатель
Абсолютное значение одного
процента
y
A
Tпр
( y i  y i 1 )  y i1 y i1
А

( y i  y i 1 )  100 100
Динамика экспорта
Португалии
Показатель Экспорт
динамики
млн.
долл.
США
Годы
Производные цепные показатели
Абсолю Коэф-нт Темпы
тный
роста
роста
прирост
Кр
Тр
Δу (млн.
долл.)
Коэф-нт
Темп
прироста прироста
Кпр
Кпр (%)
Абсолютное
значение
1%
прироста
А (млн.
дол.)
2002
25536
-
-
-
-
-
-
2003
30714
5178
1,203
120,3
0,203
20,3
255
2004
33023
2309
1,075
107,5
0,075
7,5
307
2005
32137
-886
0,973
97,3
-0,027
-2,7
330
2006
42890
10753
1,335
133,5
0,335
33,5
321
Источник: составлено по данным «Monthly Bulletin of
Statistics». U.N.4 2007, № 6, p. 116.
Абсолютный прирост
Δу = уi – yi-1 – цепной показатель
Δy = yi – y0 – базисный показатель
Δy = yn – y1 – показатель прироста за весь
y n  y 1 период
y 
n  1 - средний абсолютный прирост,
где n – число уровней динамического ряда.
Коэффициенты и темпы роста
yi
Kp 
y i1
yi
Kp 
y0
yn
Kp 
y1
Tp  K p  100
- цепной показатель
- базисный показатель
- коэффициент роста за весь
период
- темп роста
Средний коэффициент роста
1) K p  m K1  K 2  K 3 ...  K m ,
где m – число коэффициентов роста
yn
2) K p  n 1 ,
y1
где n – число уровней динамического ряда
Коэффициент и темпы прироста
y i  y i1
Kp 
y i1
yi  y0
Kp 
y0
K пp  K p  1
1) Tпp  K пp  100
2) Т пр  Т р  100
- цепной показатель
- базисный показатель
Абсолютное значение одного
процента
y
A
Tпр
( y i  y i 1 )  y i1 y i1
А

( y i  y i 1 )  100 100
Лекция №
«Экономические индексы»
Вопросы темы:
1. Понятие индекса как статистического показателя и сферы
его применения.
2. Классификация индексов и индексная символика.
3. Индивидуальные индексы цен, физического объема,
стоимости.
4. Агрегатный индекс как исходная форма общего (сводного)
индекса.
5. Система индексов. Выбор базы и весов индексов.
6. Средние индексы, тождественные агрегатным.
7. Особенности построения и анализа некоторых отраслевых
индексов (промышленных, фондовых, внешнеторговых).
Под
индексом
в
статистике
принято
понимать
относительный показатель, который выражает соотношение
величин какого-либо явления во времени или пространстве.
Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и
того же явления (простого или сложного, состоящего из
соизмеримых или несоизмеримых элементов).
Индексы
относятся
к
важнейшим
обобщающим
экономическим показателям. А индексный метод является
одним из самых распространенных методов анализа
экономических явлений и процессов.
Индексы являются важнейшим инструментом планирования
и оценки выполнения планов и обязательств; они используются
при изучении динамики явлений и процессов, в исследовании
тенденций развития, выявления структурных сдвигов и влияния
отдельных факторов на происходящие изменения.
Классификация индексов
Все экономические индексы можно
классифицировать по следующим основным
признакам:
1) объект исследования;
2) степень охвата явления;
3) база сравнения;
4) вид статистических весов (соизмерителя);
5) форма построения;
6) состав явления;
7) период исчисления.
По степени охвата единиц изучаемой
совокупности индексы принято подразделять на:
1) индивидуальные (характеризуют изучение
только одного элемента совокупности);
2) групповые (показывают изменение по группе
элементов совокупности);
3) сводные (их рассчитывают для всех
элементов совокупности).
В международной статистике для обозначения
индексов используется общепринятая буквенная и
цифровая символика.
i – индивидуальные (частные) индексы
I – общие (групповые и сводные индексы)
Каждый индекс включает два вида данных:
оцениваемые данные, которые принято называть
отчетными и обозначать значком «1», и те данные,
которые используются в качестве базы сравнения –
базисные, обозначаемые значком «0».
Помимо этого используются определенные
символы для обозначения индексируемых
(изменяющихся) показателей.
p (price) – цена единицы товара
q (quantity) – количество (объем) товара в
натуральных единицах изменения
pq – стоимость продукции или товарооборот
Индивидуальные индексы представляют собой
относительные величины динамики, сравнения, выполнения
плана и т.п. Их расчет не требует знания специальных правил.
В зависимости от экономического назначения
индивидуальные индексы подразделяются на индексы цен,
физического объема продукции, себестоимости, трудоемкости
и другие. Название индекса определяют по подстрочному
значку индексируемой величины.
Например, ip – это индекс цен, iq – это индекс количества,
или физического объема продукции; ipq – индекс стоимости
или товарооборота.
p1
- индивидуальный индекс цен
ip 
p0
q 1 - индивидуальный индекс физического
iq 
q 0 объема
p 1q 1 - индивидуальный индекс
i pq 
p 0q 0 стоимости (товарооборота)
i pq  i p  i q - взаимосвязь индивидуальных
индексов
В
экономических
расчетах
чаще
всего
используются
общие
индексы,
которые
характеризуют изменение совокупности в целом.
Если совокупность предварительного расчленена
на части или группы, и по этим частях исчислены
самостоятельные
индексы,
то
полученные
показатели часто называют групповыми индексами
или субиндексами.
Общие (сводные) индексы подсчитываются для
сложных явлений, экономически однородных, но
непосредственного не соизмеримых.
Основной формой общих индексов являются
агрегатные индексы. Они выполняют две
функции: синтетическую и аналитическую.
Первая функция обеспечивается тем, что в
одном индексе обобщаются (синтезируются)
непосредственно
несоизмеримые
явления.
Например, цены на разные товары (нефть, газ,
станки) или различные товары, не сопоставимые
между собой в натуральных единицах измерения
(тонны, кубометры, штуки).
Для расчета общего индекса используются
так называемые соизмерители или веса
индекса, которые позволяют суммировать
разноименные
индексируемые
величины.
Соизмерители или веса находятся во
взаимосвязи с индексируемыми величинами.
Индексируемой
величиной
называется
признак, изменение которого изучается (цена
товаров, количество продукции, курс акций и
т.д.)
Вес индекса – это величина, служащая для
целей соизмерения индексируемых величин.
Вторая функция – аналитическая – следует из
взаимосвязи
индексов
и
позволяет
измерить влияние отдельных факторов
сложного явления на общие изменения
уровня этого явления (например, влияние
роста цен на общую выручку от продажи
товаров.
Системе факторов (признаков) соответствует
система индексов, т.е. показателей их
изменений.
Агрегатные индексы
Индекс стоимости продукции, или
товарооборота (Ipq) представляет собой
отношение стоимости продукции текущего
периода (  p 1q 1 ) к стоимости продукции в
базисном периоде (  p 0q 0 ) и определяется по
формуле:
1)
I pq
 p 1q 1

 p 0q 0
Такой индекс показывает, во сколько раз возросла
(или какую долю составила в случае
уменьшения)
стоимость
продукции
(товарооборота)
отчетного
периода
по
сравнению с базисным, или сколько процентов
составляет
рост
(снижение)
стоимости
продукции.
Разность числителя и знаменателя (  p1q1   p 0q 0 )
показывает, на сколько рублей (или других
денежных единиц) увеличилась (уменьшилась)
стоимость продукции в текущем периоде по
сравнению с базисным.
2) Индекс физического объема продукции (Iq) – это
индекс количественного показателя.
В этом индексе количество продукции в натуральном
выражении будет индексируемой величиной, а
цена продукции – весом. Умножив несоизмеримые
между собой количества разнородных продуктов
на их цены, получим стоимости продукции (pq),
которые будут уже величинами соизмеримыми.
а)
- агрегатный индекс физического
 q 1p 0
объема с весами (ценами)
Iq 
 q 0p 0
базисного периода
- формула Ласпейреса
Индекс физического объема продукции показывает,
во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость
продукции из-за роста (снижения) объема ее
производства или продажи (закупок), или сколько
процентов составляет рост (снижение) стоимости
продукции в результате изменения физического
объема ее производства (реализации).
Разность числителя и знаменателя (  q1p 0   q 0 p 0 )
показывает, на сколько рублей или других
денежных единиц изменилась стоимость
продукции в результате роста или уменьшения ее
объема.
б)
 q 1p 1
Iq 
 q 0p1
- агрегатный индекс физического
объема с весами (ценами)
текущего периода
- формула Пааше
3) Индекс цен Ip – это индекс качественного
показателя. Индексируемой величиной в этом
индексе будет цена товара, т.к. индекс должен
характеризовать изменение цен.
Статистическим весом здесь будет выступать
количество товаров.
а)
б)
 p 1q 0
Ip 
 p 0q 0
 p 1q 1
Ip 
 p 0q1
-агрегатный индекс цен с весами
(количеством продукции)
базисного периода
- формула Ласпейреса
- агрегатный индекс цен с весами
(количеством продукции) текущего
периода
- формула Пааше
В условиях рыночной экономики индекс цен
является наиболее широко распространенным
показателем инфляции.
Индекс цен показывает, во сколько раз возросла или
как уменьшилась стоимость продукции из-за
изменения цен, или сколько процентов составляет
рост (снижение) стоимости продукции в результате
изменения цен.
Разность числителя и знаменателя в формуле
Пааше (  p1q1   p 0 q1) покажет, на сколько рублей
или других денежных единиц изменилась
стоимость продукции в результате роста или
снижения цен.
 p 1q 1   p 0 q 0  (  p 0 q 1   p 0 q 0 )  (  p 1q 1   p 0 q 1 )
Общий прирост стоимости продукции равен сумме
ее приростов в следствие изменения объема
продукции и цен на неё.
Формула взаимозависимости трех
индексов:
Ipq = Ip x Ip
Данная формула верна при условии,
что один из индексов-сомножителей (цен
или физического объема) рассчитывают с
весами базисного периода, а второй – с
весами текущего (отчетного) периода.
 p 1 q 1  q 1 p 0  p 1q 1
I pq 


 p 0 q1  q 0 p 0  p 0 q 0
 p 1 q 0  q 1 p 1  p 1q 1
I pq 


 p 0 q 0  q 0 p1  p 0 q 0
 p1q1  q1p1  p1q1
I pq 


 p 0 q1  q 0 p1  p 0 q 0
 p 0 q 0  q1p 0  p1q1
Ipq 


 p0q 0  q 0 p0  p0q 0
При изучении динамики явления с помощью
агрегатных индексов часто применяют
репрезентативный метод.
Суть метода состоит в том, что расчет
индексов осуществляется не по всему объему
совокупности, а лишь по той ее части, которая
наиболее полно и правильно отражает всю
представляемую совокупность. Например,
публикуемые статистикой внешней торговли
большинства стран мира индексы (цен,
физического объема) охватывают в среднем чуть
более 80% товаров экспорта и импорта.
При этом выбирают такие товары –
представители, которые по своим техническим,
технологическим, конструктивным и другим
индивидуальным показателям могут быть точно
определены и должны быть сопоставимы на
протяжении всего периода, по которому
производятся расчеты индексов. Другими словами,
отобранные товары должны быть типичными
представителями группы.
Правильный выбор товаров – представителей в
большой степени влияет на точность расчета
индексов, поэтому к выбору таких товаров
экономисты подходят очень ответственно,
соблюдая все требования, предъявляемые к
выборочным обследованиям.
Задача 1
Товары
А
В
С
Имеются следующие данные
о реализации трех товаров:
Цена ед. тов.
Кол-во един. тов.
(долл.)
(шт.)
Январь Февраль Январь Февраль
(р0)
(р1)
(q0)
(q1)
5
5
150
200
2
3
60
50
4
5
15
20
Рассчитать индивидуальные и общие (по всем трем
товарам) индексы цен, ф.о., стоимости.
3
5
i p  1; i p   1,5; i p   1,25;
2
4
(A)
iq
(A)
iq
(C)
i pq
(B)
(B)
(C)
200
50

 1,33; i q 
 0,83;
150
60
5  200
20
 1,33;

 1,33; i pq 
5  150
15
3  50
5  20

 1,25; i pq 
 1,66;
2  60
4  15
(B)
(A)
(C)
I pq
 p1q1 5  200  3  50  5  20 1250



 1,344 или 134,4%
 p 0q 0 5  150  2  60  4  15 930
p1q1
1250
1250

Ip 


 1,059 или 105,9%
 p0q1 5  200  2  50  4  20 1180
потери покупателя,
связанные в
повышением цен = 70
долларов (1250-1180)
q1p 0 1180

1) Iq 

 1,269 или 126,9%
 q 0p0 930
2) I q 
I pq
Ip
134,4

 1,269 или 126,9%
105,9
Выбор базы и весов индексов
Система индексов – это ряд последовательно
построенных индексов. Такие системы
характеризуют изменения, происходящие в
изучаемом явлении в течение исследуемого
периода времени.
В зависимости от базы сравнения системы
индексов бывают базисными и цепными.
Система базисных индексов – это ряд
последовательно вычисленных индексов
одного и того же явления с постоянной базой
сравнения, т.е. в знаменателе всех индексов
находится индексируемая величина
базисного периода.
Система цепных индексов – это ряд индексов
одного и того же явления, вычисленных с
меняющейся базой сравнения.
Система индивидуальных индексов
Название
индивидуального
индекса
Система индексов
базисных
цепных
Индекс
стоимости
p 1q 1 p 2 q 2
pnqn
;
;...;
p 0q 0 p 0q 0
p 0q 0
Индекс
физического
объема
q1 q 2
qn
; ; ...;
q0 q0
q0
q1 q 2
qn
; ;...;
q 0 q1
q n 1
Индекс цен
p1 p 2
pn
; ;...;
p0 p0
p0
p1 p 2
pn
; ...;
p 0 p 1 p n 1
p 1q 1 p 2 q 2
pnqn
;
;...;
p 0 q 0 p 1q 1
p n 1 q n 1
Между цепными и базисными индексами
существуют различные виды связи.
1) Произведение цепных индивидуальных
индексов равно соответствующему базисному
индексу
p1 p 2 p 3
pn
pn
   ...

p 0 p1 p 2
p n 1 p 0
или
q1 q 2 q 3
qn
qn
   ...

q 0 q1 q 2
q n 1 q 0
2) Частное от деления двух смежных
базисных индексов равно
соответствующему цепному индексу
p 2 p1 p 2
: 
p 0 p 0 p1
или
q 2 q1 q 2
: 
q 0 q 0 q1
Системы базисных и цепных индексов могут быть
построены и для агрегатных индексов.
1) Индексы стоимости:
а) базисные
 pnqn
 p1 q 1
 p2q 2
 p0q 0
;
 p0q 0
; ...;
 p 0q 0
б) цепные
 p1 q 1
;
 p0q 0
 p 2 q 2 ...;  p nq n
;
 p n  1 q n 1
 p1 q 1
1) Индексы физического объема:
а) базисные (с постоянными весами)
 q 1p 0
;
 q 0p 0
 q 2p 0
q
p

n
0
; ...;
 q 0p 0
 q 0p 0
б) цепные (с постоянными весами)
 q 1p 0
;
 q 0p 0
 q 2p 0
 qnp 0
; ...;
 q n 1 p 0
 q 1p 0
3) Индексы цен:
а) базисные (с переменными весами)
 p 1q 1
;
 p 0q1
 p 2q 2
;
 p 0q 2
 pnqn
...;
 p 0q n
б) цепные (с переменными весами)
 p 1q 1
;
 p 0q1
 pnqn
 p 2q 2
; ...;
 p n 1 q n
 p 1q 2
В системе индексов с постоянными весами веса не
меняются при переходе от одного индекса к другому.
Постоянные веса позволяют исключить влияние
изменения структуры на величину индекса.
В системе индексов с переменными весами (весами
отчетного периода) веса последовательно меняются от
одного периода к другому.
Системы агрегатных индексов обладают теми же
свойствами, что и системы индивидуальных индексов,
т.е. зная базисные индексы, можно рассчитать цепные;
при наличии цепных индексов не составляет труда
получить соответствующие базисные индексы, если речь
идет об индексах с постоянными весами.
Связь между цепными и базисными
агрегатными индексами
 p 1q 1  p 2 q 2  p 2 q 2
1)


 p 0 q 0  p 1q 1  p 0 q 0
или
 q 1p 0  q 2 p 0  q 2 p 0


 q 0 p 0  q 1p 0  q 0 p 0
 p 2 q 2  p 1q 1  p 2 q 2
2)
:

 p 0 q 0  p 0 q 0  p 1q 1
или
 q 2 p 0  q 1p 0  q 2 p 0
:

 q 0 p 0  q 0 p 0  q 1p 0
- только для индексов
с постоянными весами
Индекс Фишера
Индекс цен американского экономиста И.Фишера
представляет собой среднюю геометрическую из
произведения двух агрегатных индексов цен
Ласпейреса и Пааше:
 p 1q 0  p 1q 1
Ip 

 p 0q 0  p 0q1
Формула Фишера может быть использована и для
определения индекса физического объема:
Iq 
 q 1p 0  q 1p 1

 q 0p 0  q 0p1
Геометрическая
форма
индекса
имеет
принципиальный
недостаток:
она
лишена
конкретного экономического содержания. В отличие
от агрегатных индексов разность между числителем
и знаменателем здесь не покажет никакой реальной
экономии или потерь из-за изменения цен или
физического объема продукции. Обычно индекс
Фишера применяют при расчетах индексов цен за
длительный период времени с целью сглаживания
тенденций в структуре и составе объема продукции,
в которых происходят значительные изменения.
Широкого применения на практике этот индекс не
получил, главным образом, из-за трудностей его
экономической интерпретации.
Средние индексы,
тождественные агрегатные
Помимо агрегатных индексов в статистике
применяется и другая форма общих индексов –
средневзвешенные индексы. Их рассчитывают в тех
случаях, когда невозможно вычислить общий
агрегатный индекс.
Средний индекс – это индекс, рассчитанный как
средняя величина из индивидуальных индексов.
При исчислении средних индексов используются
две формы средних величин: арифметическая и
гармоническая.
Процесс преобразования агрегатного индекса в
средний сводится к подстановке либо в числитель, либо
в
знаменатель
агрегатного
индекса
вместо
индексируемой величины ее значения, выраженного
через соответствующий индивидуальный индекс. Если
такая подстановка сделана в числителе, то получают
средний арифметический индекс; если в знаменателе –
то средний гармонический индекс, тождественный
агрегатному.
Обычно подстановка делается там, где в агрегатном
индексе имеется условная величина (Σp0q1, т.е. когда
цены и количества в разных периодах).
Рассмотрим преобразование агрегатного индекса
в
средний
на
примере
наиболее
широко
применяемых индексов физического объема и цен.
 q 1p 0
1)
Iq 
 q 0p 0
В знаменателе это индекса реальная величина –
стоимость продукции базисного периода, а в
числителе – условная (продукция отчетного периода
в ценах базисного).
Проведем преобразование числителя агрегатного
индекса через индивидуальный индекс.
q1
iq  ;
q0
Тогда
Iq 
 i q q 0p 0
 q 0p 0
q1  i q  q 0
- средний арифметический индекс
физического объема, тождественный
агрегатному, в котором в качестве
весов используется стоимость
продукции (товарооборот) базисного
периода
 p 1q 1
Ip 
 p 0q1
В этом индексе реальная величина в числителе, а
условная – в знаменателе.
Произведем замену через индивидуальный индекс.
2)
p1
ip  ;
p0
Тогда
Ip 
 p 1q 1
p 1q 1

ip
p1
p0 
ip
- средний гармонический индекс цен,
тождественный агрегатному, в котором в
качестве весов используется стоимость
продукции (товарооборот) отчетного
периода
По такому же принципу могут быть построены и другие
средние индексы, в т.ч. средний гармонический индекс
физического объема и средний арифметический индекс цен.
 q 1p 0
Iq 
Ip 
q 1p 0

iq
 i p  p 0  q1
 p 0  q1
В качестве веса в этих индексах используется «условная»
стоимость (или товарооборот) – p0q1, поэтому на практике их
рассчитывают значительно реже.
Задача 2
Оборот (тыс.долл.)
Товары
II квартал
p0q0
III квартал
p1q1
Изменение цен
в III квартале по
сравнению
с II кварталом (%)
A
2000
2500
-20%
B
2300
2700
-15%
Рассчитать общие (по двум товарам) индексы
цен, физического объема и стоимости.
ip(A) = 0,8; ip(B) = 0,85;
I pq
2500  2700

x100  120,9%
2000  2300
p1q1
2500  2700
Ip 

 0,826 или 82,6%
pq
2500 2700 (цены снизились на 17,4%)
 1 1 0,8  0,85
i
p
Iq 
I pq
Ip
 146,4%
Средние индексы широко используются для
анализа рынка ценных бумаг.
Фондовые индексы характеризуют динамику
котировок ценных бумаг, складывающуюся на рынке
на определенный момент времени (например, на
конец торгового дня).
Наиболее
известным
фондовым
индексом
является индекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial
Average Index), публикуемый с 1898 года.
Индекс Доу-Джонса определяется как средний
арифметический индекс значений курсов акций,
котирующихся
на Нью-Йоркской фондовой бирже.
 pq
( p  q )
Каждые полчаса рассчитывают три групповых
индекса по ценам акций 30 наиболее крупных
промышленных, 20 транспортных и 15 компаний
сферы услуг и один сводный индекс – по всем 65
компаниям.
Значения
этих
индексов
ежедневно
публикуются на момент закрытия биржи.