Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ
advertisement
Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Градиентные системы (ГС) предназначены для введения в рабочем объеме томографа прямоугольной системы магнитных координат. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Так как частота ядерного магнитного резонанса в исследуемом образце прямо пропорциональна величине приложенного магнитного поля, то при изменении индукции магнитного поля в рабочей области томографа по линейному закону появляется возможность легко связать частоту ядерного магнитного резонанса в элементарном объеме объекта с его геометрическим положением в этой области. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Поэтому, для удобства кодирования и расшифровки результатов измерения, магнитное поле градиентных систем изменяется по линейному закону. Разрешающая способность томографа зависит как от однородности поляризующего поля, создаваемого магнитной системой, так и от линейности и величины градиентных магнитных полей . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Таким образом, задача разработки градиентных систем сводится к созданию систем катушек с высокой линейностью градиента магнитного поля (порядка 1%) и максимальной величиной градиента, получаемого на единицу затрачиваемой силы тока, т.е. максимальной эффективностью системы. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ В большинстве томографической аппаратуры медицинского и технического назначения градиентные системы создают градиент магнитного поля порядка 2-10 мТл/м, хотя известны случаи использования магнитных полей с градиентом до 50 мТл/м. Для кодирования информации в рабочем объеме градиентной системы используются импульсные градиентные поля, возбуждаемые импульсными токами, питающими градиентную систему. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Это приводит к тому, что при значительных индуктивностях градиентных систем, требуются высоковольтные источники питания. Поэтому на градиентные системы накладывается дополнительное требование – минимальная индуктивность градиентных катушек, определяемая характеристиками источника питания. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДЫ СИНТЕЗА МС Для расчета градиентных систем используем локально-интегральный метод. Сначала синтезируем градиентную систему таким образом, чтобы были скомпенсированы наиболее сильно искажающие линейность поля члены разложения ряда. Это позволяет получить первоначальную конфигурацию градиентной системы. Заметим, что при этом потребуются выражения частных производных индукции магнитного поля проводников с током, образующих градиентную систему. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Затем уточним конфигурацию обмоток корректора с целью повышения точности воспроизведения соответствующей функции, минимизируя, например, методами многопараметрической оптимизации отклонение поля градиентной системы от линейного закона и уточняя при этом конфигурацию обмоток. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ ГС С АКСИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ ГС с аксиальной симметрией строятся из проводников в форме кругового витка или дуги с током. Токи в секциях обмоток градиентных систем направлены таким образом, что индукция магнитного поля в центре системы равна нулю. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Поэтому в разложении в ряд присутствуют только члены с нечетными степенями координаты, по которой создается градиент. Кроме того, можно пользоваться разложениями функции индукции в степенные ряды. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Градиентные системы продольного градиента создают градиент индукции вдоль продольной оси аксиальной системы поляризующего магнитного поля и часто называются градиентными системами Z. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.1. Простейшая градиентная система Z Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Для градиентной системы Z используем простейшую пару Максвелла (рис.2.5.1) из двух витков с радиусом R и силой тока I , расположенных на расстоянии z 0 от начала координат. Интегрируя (2.2.1) от нуля до 2 , для составляющей индукции кругового проводника в точке на оси с координатой , получим 0 IR (2.5.1) B z 2 R z z0 2 2 3/ 2 Разложение B z в степенной ряд записывается в виде Bz ( z) 2 H1 z H 3 z 3 H n z n (2.5.2) где H 1 n B z n – коэффициент ряда n -го порядка. n z n! Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Записанные в относительных единицах ( z 0 R ) выражения для коэффициентов ряда (2.5.2) имеют вид 2 5 / 2 , (2.5.3) H 1 3 2 1 2 2 9 / 2 , (2.5.4) H 3 5 8 4 31 4 2 2 13 / 2 . (2.5.5) H 5 7 16 8 20 51 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Задача синтеза градиентных систем сводится к поиску таких значений параметров, когда коэффициенты при нежелательных членах ряда (2.5.2) 0.866 третьего и выше порядков будут равны нулю. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Так, для градиентной системы , состоящей из одной пары катушек, исключение члена 3-го порядка произойдет при 0.866 , которое является решением уравнения H 3 0 . Это решение впервые использовано Таннером в 1965 г. Диаметр области с нелинейностью градиента менее 1% в этом случае близок к 28% диаметра катушек. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 9 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Компенсация двух членов ряда (2.5.2) может быть произведена при использовании двух пар катушек. Пусть градиентная система Z имеет катушки одинакового радиуса R с силой тока в обмотках I1 и I 2 . Тогда, решив систему уравнений вида I 1 H 31 I 2 H 32 0, (2.5.6) I 1 H 51 I 2 H 52 0, можно получить значения параметров 1 0.44 , и отношение токов I 2 I1 7.47 , при которых происходит исключение членов 3-го и 5-го порядков ряда (2.5.2). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ В патенте описана методика построения более сложных градиентных систем, которая заключается в том, что катушки градиентной системы должны иметь параметры , значения которых являются корнями уравнения H n 0 , где n– порядок высшего компенсируемого члена ряда (2.5.2). Отношение токов в обмотках находится из решения системы уравнений (2.5.7) I1 H n1 I 2 H n 2 I k H nk 0 , где k 1, 2, , n 3, 5, 7, . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Для градиентной системы из трех пар катушек, после решения системы уравнений (2.5.7) получены следующие параметры обмоток: 1 0.3897 , 2 0.9293 , , 3 2.0618 , I I 3.80 , I 3 I1 24.60 , при которых происходит компенсация членов 3, 5 и 7-го порядков ряда (2.5.2). 2 1 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Таким образом, увеличивая число пар катушек, можно получить системы с повышенным качеством градиентного магнитного поля. Эффективность градиентной системы можно оценить по параметру [(мТл/м)/А], как величину градиента магнитного поля, создаваемого при силе тока в 1 А, рассчитанного для определенного значения R. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Проведем оптимизацию параметров градиентной системы Z из трех пар катушек, полученных для n=3 при решении системы уравнений (2.5.7). Примем число расчетных точек m=15, расчетный радиус RRAS 0.7 R при s 0.01 , 0.0005 . В результате оптимизации получены следующие значения переменных: 1 0.330 , k1 1 , 2 0.650, k 2 1 , 3 1.18 , k 3 12 . Mi Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Сравнение погрешностей в расчетных точках M i для градиентных систем Z, рассчитанных локальным методом и полученных в результате оптимизации, представлено на рис.2.5.2. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис 2.5.2. Погрешности воспроизведения градиента в расчетных точках для локальной (пунктирная линия) и оптимизированной (сплошная линия) градиентных систем Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Конечное значение параметра оптимизации P 0.99% свидетельствует о том, что область с погрешностью воспроизведения градиентного магнитного поля менее 1% близка к сфере с радиусом 0.7R. Анализ различных вариантов этого решения показал, что размеры области с высокой линейностью градиента в пределах 60% внутреннего диаметра сохраняются при следующих изменениях параметров: 1 0.320 0.340 , 2 0.630 0.670 , 2 0.630 0.670 , k1 k 2 1 , k 3 1113 . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ ГС ПОПЕРЕЧНОГО ГРАДИЕНТА Для создания градиентного магнитного поля в поперечном направлении или Голлей предложил использовать систему седлообразных катушек. Градиентная система состоит из четырех симметричных катушек, каждая из которых содержит два дуговых и два линейных участка (рис. 2.5.3). Градиентные системы X и Y одинаковы по конструкции, но развернуты относительно друг друга вокруг оси на 90°. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.3. Схема градиентной системы Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ При расчете таких систем воспользуемся формулами (2.2.2–2.2.5) для аксиальной составляющей индукции магнитного поля в произвольной точке пространства M x, y, z от дуговых участков A, B, C, D (рис.2.2.1). Обозначим расстояние по координате Z от центра системы координат до дугового проводника через Z 0 , половину угла раскрыва дуги 1 , радиус дуги R и протекающий в ней ток I. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Суммарное значение индукции от четырех дуговых участков определяется из выражения . (2.5.8) B z Bдуговых zA B zB B zC B zD Положение участков и 0 такой величина центрального угла в градиентной системе выбрано2из 1 условия равенства нулю члена 3-го порядка в разложении в ряд функции (2.2.2) . (2.5.9) 3 BzA 0 I 1 9 4 04 27 02 4 cos 0 15 02 4 cos30 d0 0 3 9/ 2 2 2 R f 0 1 0 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 10 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Таким образом найдены решения 01 0.39 , 0 120 02 2.57 и . К недостаткам описанной градиентной системы можно отнести ее большую длину, часто превышающую габаритные размеры основной магнитной системы. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Поиску более компактных решений для построения градиентных систем посвящена работа автора. Возьмем в качестве источника магнитного поля дугу бесконечно тонкого соленоида. Для этого проинтегрируем 0 2.2.14 и запишем по выражения 2.2.11, функцию индукции магнитного поля в виде ряда (2.5.10) B z 2 0 J G1 x G3 x 3 G5 x 5 , где J – линейная плотность тока в катушке, А/м; Gi – коэффициент ряда -го порядка. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ В этом случае выражения для G1 и G3 записанные в относительных единицах ( z 0 R ), имеют вид 3 2 G1 2 1 2 2 02 02 9 3 2 G3 4 1 2 8 3 / 2 7 / 2 01 01 , (2.5.11) . (2.5.12) На рис.2.5.4 представлены графики функции и в диапазоне значений от 0 до 3. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.4. Зависимости G1 и G3 от параметра Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ График имеет экстремумы в точках 0.39 и 2.57, что использовалось некоторыми авторами для компенсации функции (2.5.9). В нашем случае, для заданной ширины катушек l , это соответствует единственному решению системы уравнений G31 G3 2 G3 1 0, G G G 0, 32 3 4 3 3 2 1 R l , 3 4 R l. (2.5.13) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ На рис.2.5.5 пунктирными линиями изображено семейство векторов параметров градиентных систем, полученных при решении системы уравнений (2.5.13). Так как при малых решение имеет известные значения 0.39 и 2.57 назовем такую систему нормальной. Рис. 2.5.5. Семейства векторов параметров для нормальной (пунктирная линия) и компактной (сплошная линия) градиентных систем Х Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Однако компенсация нежелательного градиента 3-го порядка может быть осуществлена и при других значениях переменных, если перейти к решению системы из трех уравнений G31 G32 G3 6 G3 5 G3 8 G3 7 0, (2.5.14) 6 5 l , l. 7 8 Так как система уравнений (2.5.14) избыточна по числу параметров, то для ее решения необходимо задать два независимых параметра, например, ширину катушек и полную длину градиентной системы . Семейство векторов параметров для варианта с и различных значений изображено на рис.2.5.5 сплошными линиями. Назовем такое решение компактным. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Сравнить эффективность двух вариантов градиентных систем можно по значениям функций G1: • для нормальной , G1N G1 2 G1 1 G1 4 G1 3 • для компактной . G1K G1 6 G1 5 G1 8 G1 7 • На рис.2.5.6 приведена зависимость отношения для различных значений параметра . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Из графика видно, что при 8 2.14 эффективность компактной системы несколько больше, чем у нормальной (102%), а при уменьшении габаритного размера до 8 1.5 она незначительно падает (до 94%). Дальнейшее уменьшение габаритов градиентной системы нецелесообразно, так как ее эффективность при этом резко падает. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.6. Зависимость эффективности компактной градиентной системы от габаритного размера ( G1 100% ) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Для улучшения характеристик системы воспользуемся методом оптимизации. Расчет градиентной системы произведем, используя схему, изображенную на рис.2.5.7 и формулы 2.2.3–2.2.6. Пусть каждая из четырех обмоток состоит из n секций, расположенных на расстояниях z 0i от центра системы, содержащих k i дуговых участков с радиусом R , центральным углом и соединяющих их прямолинейных участков, параллельных оси Z. Участки с обратным направлением тока расположены на расстоянии z 0ОБРот центра системы и содержат суммарное число дуговых участков. Синтезирующее уравнение для такой градиентной системы имеет вид B zSIST k i B z 0i B z ОБР . n i 1 (2.5.15) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.7. Схема расчета градиентной системы Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 11 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Таким образом, описываемая градиентная система имеет 2n 1 независимых параметров. При использовании алгоритма многомерной оптимизации, для n 3 найдены значения параметров переменных: 1 0.13 , k1 1 , 2 0.57 , k 2 1, 3 0.83 , k 3 2 , ОБР 1.75 и 124 0, при которых область с нелинейностью менее 1% максимальна. Сравнение параметров градиентных систем двух типов показывает, что синтезированная система имеет вдвое больший относительный рабочий объем и эффективность по сравнению с системой Голея. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ ПЛАНАРНЫЕ ГС Планарные ГС строятся из проводников в форме кругового витка или комбинаций линейных проводников с током, расположенных на плоскости. Токи в секциях обмоток градиентных систем направлены таким образом, что индукция магнитного поля в центре системы равна нулю. Поэтому в разложении (2.1.5) присутствуют только члены с нечетными степенями координаты, по которой создается градиент и можно пользоваться разложениями функции индукции в степенные ряды. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ ГС ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА В планарных магнитных системах ось принято направлять перпендикулярно плоскостям полюсных наконечников. Поэтому, в рассматриваемом случае, продольный градиент направлен вдоль оси и называется градиентом . Градиент можно получить, расположив в двух плоскостях перпендикулярных оси одну или несколько секций из круговых витков с током и включив эти обмотки встречно. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Используя локально-интегральный метод, проведем расчет градиентной системы. Расположим плоскости обмоток перпендикулярно оси на расстояниях от центра декартовой системы координат. Тогда, для лежащего на плоскости кругового витка с током и радиусом , осевая составляющая индукции магнитного поля в любой точке пространства определяется формулой (2.2.1), из которой нетрудно получить выражение для составляющей индукции в геометрическом центре системы в виде . (2.5.16) IR 2 1 Bz 0 2 R 2 2 3/ 2 z0 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Для системы из двух круговых витков с противоположными направлениями токов, расположенными на параллельных плоскостях, выражение (2.5.16) раскладывается в ряд по оси Z , в котором присутствуют члены только нечетного порядка • , (2.5.17) 3 n B z 2 G1 z G3 z Gn z n Bz -коэффициент n-го члена ряда 1 • где Gn n! z n • ( n 1, 3, 5, ). Таким образом, задача получения линейного градиента магнитного поля сводится к минимизации коэффициентов третьего и выше порядка. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Таким образом, задача получения линейного градиента магнитного поля сводится к минимизации коэффициентов третьего и выше порядка. Оценим нежелательные члены ряда третьего и выше порядка 4 0 I 3 2 z 56 140 2 35 4 1 Bz 5/ 2 2 2 4 z0 1 z0 8 1 • z z0 6 3 64 336 2 280 4 35 6 z 2 6 z0 16 1 , (2.5.18) 8 55 128 1152 2 2016 4 860 6 63 8 z 2 8 z0 384 1 • где R z 0 - относительный радиус катушки. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ В результате количественных оценок поля градиентов по формуле (2.5.18) рассчитано, что изменения поля, определяемые градиентами третьего, пятого и седьмого и порядков, составляют соответственно 6%, 1.5% и 0.2% от изменения, создаваемого требуемым градиентом первого порядка. Следовательно, необходимо скомпенсировать три члена ряда (2.5.17) – третьего, пятого и седьмого порядков. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Система катушек, состоящая из двух секций с разным числом витков и одинаковым током, имеет три независимых параметра: радиус внутренней секции R1 , радиус наружной секции R 2 и отношение числа витков в секциях K . Три коэффициента ряда (2.5.17) можно скомпенсировать подбором этих параметров. Значения параметров были получены путем решения системы уравнений n Bz R1 n Bz R2 K 0, n 3, 5, 7. n n z z (2.5.19) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Результат решения: R1 0.67 z0, R2 1.88 z0 , K 8.63 совпадает с конфигурацией системы, описанной в патенте. Основным недостатком этой градиентной системы является не целое отношение числа витков в секциях. Практически приходится выполнять секции с целым отношением числа витков, но запитывать секции разными токами. Это усложняет источники питания градиентных систем. Кроме того, относительный рабочий объем системы можно увеличить. Используя методы оптимизации, получим: R1 0.52 z0 , R2 1.46 z0 , K 10 . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Устройство для получения магнитного поля с линейным градиентом в продольном направлении схематично изображено на рис.2.5.8. В плоскостях 1 и 2, расположенных на расстоянии L 2z 0 , выполнены электрические катушки, состоящие из двух концентрических секций 3, 4 и 5, 6. Направление намотки в электрических катушках – противоположное. Катушки имеют общую ось симметрии. Катушки и секции в них электрически соединены между собой последовательно. Направление градиента магнитного поля, создаваемого такой системой, перпендикулярно плоскостям катушек. При этом область с нелинейностью градиента менее ±1% составляет вдоль осей X, Y и Z. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 12 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.9. Область линейности поля системы продольного градиента Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ ГС ПОПЕРЕЧНОГО ГРАДИЕНТА Синтезируем катушки, для создания линейных градиентов в поперечном направлении локально-интегральным методом, первоначально используя формулы для поля линейных проводников бесконечной длины. Такое допущение на этом этапе расчета позволяет найти предварительные положения проводников. Затем уточним их положение путем оптимизации параметров, с учетом конечной длины проводников и поля боковых проводников. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Расположим начало декартовой системы координат, как это принято в томографии, в геометрическом центре устройства, а ось направим перпендикулярно плоскости полюсных наконечников системы поляризующего магнитного поля. Рис. 2.5.10. Система поперечного градиента (1,2 – параллельные плоскости, 3, 4, 5 - прямые, обратные и боковые проводники) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Градиент магнитного поля, создаваемый рассматриваемой системой, направлен вдоль одной из осей, параллельной плоскости наконечников, например, вдоль оси X. Для создания градиента относительно другой оси, например, оси Y , используется аналогичное устройство, развернутое на 90°. Направим ось X перпендикулярно оси симметрии катушек. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Обозначим расстояние между пластинами (рис.2.5.10). Тогда, параллельная оси составляющая индукции поля бесконечно длинного прямолинейного проводника, расположенного на расстоянии X 0 с током I в точке с координатами x, z определяется выражением 0 I x x0 , (2.5.20) B z 2 x x 0 z z 0 2 2 где 0 – магнитная постоянная; z 0 – половина расстояния между пластинами. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Для системы прямоугольных витков, изображенной на рис.2.5.10, с идентичными по величине и направлению токами в двух полюсных плоскостях, выражение (2.5.20) раскладывается в ряд , B z 2 G1 x G3 x 3 Gn x n • где 1 n Bz Gn n! x n . n 1, 3, 5, . (2.5.21) – коэффициент n-го члена ряда, Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Отсюда видно, что линейный характер градиента определяется первым членом разложения, а все последующие члены ряда искажают линейный закон изменения индукции. Таким образом, задача получения линейного градиента магнитного поля сводится к минимизации коэффициентов третьего и выше порядков. Проведем оценку нежелательных градиентов третьего, пятого и седьмого порядков. Запишем более подробно выражение для B z -компоненты индукции магнитного поля Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Bz 0 I 1 2z 0 1 2 2 2 4 2 4 6 z 1 15 15 x 1 4 2 2 z0 z0 1 1 6 1 28 70 28 x 6 z0 1 2 1 2 2 4 6 8 , (2.5.22) 8 1 45 210 210 45 x 2 8 2 z0 1 1 2 4 где x0 z 0 6 8 10 – относительный размер катушки. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Нетрудно рассчитать, что изменения поля, определяемые градиентами третьего, пятого и седьмого порядков, составляют 5%, 1% и 0,2%, соответственно, от изменения, создаваемого требуемым линейным градиентом B z x . С точки зрения разрешающей способности, вклад нежелательных градиентов должен составлять не более 1%. Следовательно, для создания необходимой линейности нужно компенсировать градиенты, вносящие в магнитное поле изменения порядка 1%. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Проведенные расчеты позволяют сделать вывод о необходимости компенсации n Bz x n градиентов до седьмого порядка включительно, так как их вклад в изменение поля наиболее ощутим. Для этого необходимое число секций в катушках должно быть не менее трех. Система прямоугольных катушек, состоящая из трех секций с одинаковым числом витков , имеет четыре независимых параметра: x01 , x02 , x03 – расстояния от оси симметрии до первой, второй и третьей секций, x 04 – расстояние от оси симметрии до общей стороны (до обратных проводников). Подбором этих параметров, можно скомпенсировать три члена ряда (2.5.21) – третьего, пятого и седьмого порядков. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Значения параметров были получены путем решения системы уравнений n Bz x01 n Bz x01 n Bz x01 n Bz x01 K K K 3K 0, n 3, 5, 7. xn xn xn xn (2.5.23) Полученные результаты ( x01 0.13, x02 0.33, x03 0.62, x04 1.20 ) не позволяют построить градиентную систему, так как в этом случае локальный метод не учитывает конечную длину секций и влияние боковых проводников. Однако влияние этих факторов невелико и положения секций можно использовать в качестве начальных при дальнейшем уточнении положения секций, оптимизируя параметры. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ В результате расчета, с учетом конечной длины всех проводников по формулам (2.2.27 – 2.2.28), получены следующие значения положений секций: центр общей стороны секций должен находиться на расстоянии x04 1.2 L (рис.2.5.10), а параллельные ей стороны секций – на расстояниях 0.11Lсекции , x02 0.39 L, x03 0содержат .51L .x01Если катушек более одного витка, то в указанных точках должны располагаться центры секций. При этом область с нелинейностью градиента ±1% составляет вдоль 0.80YLи 0.95 оси X,L вдоль оси вдоль оси Z.0.56 L Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 13 РАСЧЕТ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.5.11. Область линейности поля системы поперечного градиента
