Монохроматическое поле

Описание световых волн
Основы оптики
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Основные свойства световых
полей
Световое поле – электромагнитное поле в оптическом
диапазоне частот 1014  1015 Гц
Особенности оптического диапазона:


в оптическом диапазоне выполняются законы геометрической оптики
в оптическом диапазоне свет очень слабо взаимодействует с веществом
рентгеновское
излучение
ультрафиолетовое
излучение
видимый свет
инфракрасное излучение
 , мкм
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
…
40.0
3
Параметры уравнений Максвелла
Вектор электрической напряженности поля:
E  E(r, t )
E  вольт / м
Вектор магнитной напряженности поля:
H  H(r, t )

H  А/ м
где t – время, r – радиус-вектор
Электрическая индукция:
D  D(r, t )
D  кл / м2
Магнитная индукция:
B  B(r, t )
B  вебер / м 2
4
Параметры уравнений Максвелла
Объемная плотность заряда:
   (r, t )
   кл / м3
Поверхностная плотность тока:
J  J(r, t )
J  А / м2
Электрическая и магнитная проницаемость среды:
   (r)
   (r)
5
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла:

  E  B
(1)


  H  D  J (2)
 D  
(3)
D E
B  0
B   H (6)
(4)
(5)
уравнения (5-6) – материальные уравнения
6
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла в классических обозначениях:

rotE   B
(1)
rotH  D  J
(2)
divD  
(3)
divB  0
(4)

Уравнения Максвелла для диэлектрической среды:

  E  B
(1)
H  D
(2)
D  0
(3)
B  0
(4)

7
Скорость света в среде
Для вакуума из уравнений Максвелла можно получить:
1
 0 0 
c

где c  3 10 км – скорость распространения электромагнитного
с
излучения в вакууме,  0 и  0 – электрическая и магнитная постоянные в
вакууме
8
Для линейных сред электрическая и магнитная
постоянные не зависят от интенсивности света
8
Взаимное расположение векторов
Вектор электрической напряженности (E)
перпендикулярен вектору магнитной напряженности (H), и
оба они перпендикулярны направлению распространения
света (S)
E
S
H
9
Пример из тестов
Уравнения Максвелла не учитывают:





вторых производных напряженности поля
магнитных и электрических свойств среды
поляризации поля
зависимости характеристик среды от энергии поля
плотности энергии поля
Установите соответствие между названием группы
уравнений Максвелла и их выражениями:


(1)   E   B
  H  D J
(2) – скалярные уравнения
(2)   D  
 B  0
(4) – уравнения для диэлектрической среды
D  E
B  H
(3)

(4)   E   B
 D  0
(1) – векторные уравнения

H  D
 B  0
(3) – материальные уравнения
10
Вывод волнового уравнения
Уравнение для ротора электрического поля:

E  B  
B
 H

t
t
Векторно домножим это уравнение на  :
    D 



 H
    E      
       H     

  
t 

t

  t   t 
2

 2E
    2  E    2
t
 t

Воспользовавшись математическими тождествами,
получим:
2
    E  2 E   
 E
t 2
11
Волновое уравнение для
электрической составляющей поля
Электрическое поле в диэлектрической среде:
D  0
Электрическое поле в однородной среде:
E  0
Волновое уравнение для электрической составляющей
поля:
2

E
 2E    2
t
или
2E
 E 
0
2
t
2
12
Волновое уравнение для
электрической составляющей поля
Векторное уравнение распадается на три скалярных:
 Ex 
 
E   Ey 
 
 Ez 
 2
 2Ex
  Ex   
2

t

 2Ey
 2
 E y   
2

t

 2 Ez
 2
  Ez     t 2

13
Волновое уравнение для
магнитной составляющей поля
Волновое уравнение для магнитной составляющей поля:
 2H
 H  
 t2
2
Векторное уравнение распадается на три скалярных:
Hx 
 
H  Hy 
 
 Hz 
 2
 2H x
 H x   
2

t

 2H y
 2
 H y   
2

t

 2H z
 2
 H z     t2

14
Волновое уравнение
в общем виде
Волновое уравнение в общем виде:
 2V
 V   2
t
2



где V  x, y, z, t  – любая из составляющих электрического вектора
(возмущение поля в точке пространства в какой-то момент времени),
 2V – вторая производная возмущения по пространственным
координатам,
 2V – вторая производная возмущения по времени
 t2
15
Скорость света в среде
Скорость распространения волны для диэлектриков
связана с электрической и магнитной постоянной:
 
1
2
или:
1


Отношение скорости света в вакууме к скорости света в
среде называется показателем преломления данной
среды по отношению к вакууму:
n
c



 0 0
16
Волновое уравнение
для одной оси координат
Общий вид волнового уравнения:
1  2V
V 2 2
 t
2
Волновое уравнение для одной оси координат:
 V 1  2V
 2 2
 x  t
17
Пример из тестов
Волновое уравнение описывает:





распространение плоских волн в однородной линейной среде
распространение гармонического поля в однородной линейной среде
распространение векторного поля в неоднородной среде
распространение светового поля в однородной линейной
диэлектрической среде
распространение светового поля в любой однородной диэлектрической
среде
Вывод волнового уравнения основывается на том, что:





длина волны считается бесконечно малой величиной
оптические среды не являются магнитными
оптические характеристики среды не зависят от длины волны,
пространственных координат и напряженности поля
в оптических средах отсутствуют свободные электрические заряды
размеры оптических неоднородностей считаются пренебрежимо малыми
по сравнению с длиной волны
18
Монохроматическое поле
Монохроматическое поле – это поле, зависящее от
времени по гармоническому закону:
V (r, t )  a (r ) cos( t   0 (r ))

где a(r) – амплитуда возмущения (функция пространственных
координат),  – циклическая частота изменения поля во времени,
 0 (r ) – фаза поля (функция пространственных координат)

V
a
t
T
19
Монохроматическое поле
Характеристики монохроматического поля:

период колебаний T

частота:


c   Гц
1
T
1
циклическая частота:
 рад 
с 

  2

длина волны (пространственный период):
   T 

[c]
 
  2
 
[мм], [мкм], [нм]

V
a
t
волновое число:
k
2




T
20
Спектр видимого излучения
УФ
ИК
 , нм
400
450
500
550
600
650
700
21
Монохроматическое поле
Не зависят от показателя преломления:



частота
циклическая частота
период колебаний
Меняются в зависимости от показателя преломления:


длина волны
волновое число
Длина волны и волновое число в некоторой среде:


0
где
n
k  k0 n
0 – длина волны в вакууме, k0 

c
– волновое число в вакууме
22
Монохроматическое поле
Волновое возмущение:
V (r, t )  a (r ) cos k0 ct  E (r )
где E r  – это эйконал поля:
E
0
k0

0
0
2
нм
23
Монохроматическое поле
Оптическая длина луча nl – это произведение показателя
преломления n на геометрическую длину пути l
Приращение эйконала равно оптической длине луча:
E  nl

если фаза изменяется на 2 , то эйконал изменяется на 0:
  2  E  0

если фаза изменяется на
    E 

0
2
если фаза изменяется на
 

2
 E 
0
4
 , то эйконал изменяется на 0 :
2
0

, то эйконал изменяется на
:
4
2
24
Комплексная амплитуда
Экспоненциальное представление комплексных чисел:
ei  cos   i sin 
 где cos – действительная часть, sin  – мнимая часть
Монохроматическое поле – это действительная часть от
функции:



V (r, t )  Re a (r )  e  k 0 ct  E (r )   Re a (r )  eik0 E (r )  e ik0 ct


где a (r )  eik0 E (r ) зависит только от пространственных координат,
e ik0 ct зависит только от времени
25
Комплексная амплитуда
Комплексная амплитуда поля:
ik E (r )
U (r )  a(r )  e 0

где a (r )  U (r ) – вещественная амплитуда
Однородная волна – волна, у которой вещественная
амплитуда не зависит от пространственных координат
Эйконал поля:
E (r ) 

1
arg U (r )
k0
где arg U (r )   0 (r ) – фаза поля
26
Комплексная амплитуда
При сложении полей их комплексные амплитуды
складываются, а временной экспоненциальный
множитель можно вынести за скобки и не учитывать :
U   U1  U 2

где V1 (r, t )  U1 (r )  e  ik 0 ct – поле 1, V2 (r, t )  U 2 (r )  e  ik 0 ct – поле 2
27
Пример из тестов
Комплексная амплитуда:





входит в уравнения Максвелла для напряженности электрического поля
характеризует поле как функцию от эйконала
заменяет собой понятие эйконала
характеризует амплитуду и фазу поля
является функцией от времени и пространственных координат
Чем определяется фаза светового поля?





величиной пройденного оптического пути
количеством пространственных периодов, для которых амплитуда
постоянна
отставанием во времени по отношению к начальному колебанию
величиной, обратно пропорциональной пройденному оптическому пути
квадратному корню из суммы квадратов пройденных оптических путей
28
Уравнение Гельмгольца
Уравнение Гельмгольца:

2
 k 2  U  0
или
 2U  n 2 k 02U  0
29
Интенсивность поля
Поле меняется во времени с частотой:
  10 15 сек 1 T  10 15 сек
Время инерции приемника излучения:
  10 15 сек
Регистрируется усредненная во времени величина –
интенсивность поля
Интенсивность равна квадрату модуля комплексной
амплитуды:
2
I  U  UU *
30
Наблюдаемые величины при
сложении полей
Суммарная интенсивность при сложении двух полей:
I  U
2
 U U *  U 1  U 2 U 1*  U 2*   U 1U 1*  U 2U 2*  U 1U 2*  U 2U 1* 
 a12  a 22  a1 a 2 e i 1  2   a1 a 2 e  i (1  2 )  I 1  I 2  2 I 1 I 2  cos   I 

где U1  a1e
i 1
– поле 1, U 2  a2 e
i 2
– поле 2
Уравнение интерферограммы:
I   I1  I 2  2 I1 I 2  cos  



где   1   2 
2 E
0
– разность фаз поля
интерференция – явление, возникающее при сложении двух полей
интерферограмма – картина, наблюдаемая при интерференции
31
Сложение когерентных полей
Разность фаз (эйконалов) двух когерентных полей
остается постоянной за время инерции приемника


суммарная интенсивность определяется уравнением интерферограммы
картина распределения интенсивности представляет собой чередование
темных и светлых полос
Регистрируемая картина взаимодействия двух полей,
одно из которых референтное, называется голограммой


голограмма – это запись полной информации о поле, то есть его
комплексной амплитуды
референтное (эталонное) поля – имеет известную картину фаз
32
Сложение некогерентных полей
Некогерентные поля – разность фаз меняется
случайным образом много раз за время регистрации
При регистрации суммарной интенсивности ее значения
по времени усредняются:
I   I1  I 2  2 I1I 2  cos 

I1 , I 2 постоянны, cos    0
Сложение двух некогерентных полей:
I   I1  I 2
33
Пример из тестов
При сложении когерентных полей:





интенсивность зависит от отношения комплексных амплитуд слагаемых
интенсивность гармонически зависит от разности фаз слагаемых
интенсивность не зависит от разности фаз
интенсивность убывает пропорционально квадрату расстояния
интенсивность убывает с увеличением разности фаз
34
Пример из тестов
В результате когерентного сложения двух полей
u1 x, y exp i1 x, y  и u1 x, y exp i 2 x, y  появилось суммарное
поле с результирующей фазой:

 x, y   1 x, y    2 x, y 

 x, y   1 x, y    2 x, y 

 x, y   ln exp i1 x, y   exp i 2 x, y 

 x, y   1 x  y    2 x  y 

 x, y   1 x, y * 2 x, y 
35
Квазимонохроматическое и
полихроматическое поле
Квазимонохроматическое поле – поле, близкое к полной
монохроматичности
Полихроматическое поле U (r, t ) – сумма (суперпозиция)
монохроматических составляющих
Интенсивность полихроматического поля:
I
2
 I    S    d
S  
1

где I ( ) – распределение интенсивности
монохроматической составляющей по длинам
волн, S ( ) – весовая спектральная функция,
1 , 2 – реальные границы диапазона
излучения
I  
1
2
36
Плоские волны
Плоские волны имеют плоские волновые фронты
Волновой фронт – это поверхность в пространстве, на
которой эйконал поля (или фаза) имеет одинаковые
значения:
E r   const

направление распространения света перпендикулярно волновым
фронтам
Направление
распространения
y
…
E4
x
E3
z
E2
E1
37
Направление волнового фронта
Вектора, показывающего направление волнового фронта:

S – единичный вектор направления (орт) S  1
 k – волновой вектор
2  2 
k k 
    n
  0 
 где k – волновое число
 q – оптический лучевой вектор q  n
 q x   X   n cos x 
    

q   q y    Y    n cos y 
  Z  

q
n
cos

 z   
z 
 где X, Y, Z – направляющие косинусы,
q x q y – пространственные частоты плоской волны
38
Плоские волны
Уравнение плоской волны:
U r   U 0  eik 0 E ( r )
Эйконал плоской волны:
E r   q  r   xX  yY  zZ

при таком описании эйконала волновой фронт плоский и
перпендикулярен оптическому лучевому вектору
39
Сферические волны
Сферические волны имеют волновой фронт в виде
концентрических сфер
Уравнение сферической волны:
U r  
U 0 ik0 E r 
e
r
Уравнение эйконала сферической волны:
y
x
E r   n  r

где r  x  y  z – длина
радиус-вектора точки в пространстве
2
2
2
E1
E2
z
…
40
Пример из тестов
Сферическая волна – это:





волна, имеющая сферический волновой фронт и постоянную в пространстве
амплитуду
волна, амплитуда которой убывает пропорционально расстоянию, а эйконал
увеличивается пропорционально расстоянию
волна со сферическим волновым фронтом постоянной кривизны
волна, представляющая собой сферу с началом координат в центре
кривизны
волна, распространяющаяся во всех возможных направлениях
Плоская волна – это:





волна, имеющая произвольное направление распространения в
пространстве
незатухающая волна, имеющая конкретное направление распространения,
заданное направляющими косинусами
волна, распространяющаяся в одной плоскости
волна, амплитуда которой убывает пропорционально расстоянию
волна, амплитуда которой постоянна в плоскости распространения