Лекция № 12 Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны. Вектор Пойнтинга. Алексей Викторович Гуденко 11/12/2014 План лекции 1. 2. 3. 4. Ток смещения. Ток смещения в конденсаторе и при стекании заряда с шара. Система уравнений Максвелла. Волновое уравнение для плоской электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга и импульс плоской электромагнитной волны. Давление света. Стекание заряда с шара во внешнюю среду. Заряд шара q. Какое поле индуцируется при стекании заряда? Из симметрии – B ≡ 0, но тогда j ≡ 0 (rot B = 0) jсм = 1/4π ∂D/∂t = 1/4πr2 ∂q/∂t = - j j + jсм = 0 Конденсатор Ток смещения в заряжающемся конденсаторе: jсм = 1/4π ∂D/∂t = (1/4π)∂(4πσ)/∂t = 1/s ∂q/∂t Iсм = jсмs = ∂q/∂t = I ∫Hdℓ = (4π/c) (I + Iсм) Вне конденсатора ∫Hdℓ = (4π/c)I (Iсм = 0) Внутри конденсатора ∫Hdℓ = (4π/c) Iсм (I = 0) Ток смещения Уравнение непрерывности: ∂ρ/∂t + divj = 0 Ток смещения: divD = 4πρ ∂ρ/∂t = (1/4π)div∂D/∂t = div {(1/4π) ∂D/∂t} = divjсм (1/4π) ∂D/∂t = jсм – плотность тока смещения div(j + jсм) = 0 Магнитное поле создаётся как электрическими токами j, так и токами смещения jсм: rotH = 4π/c (j + jсм) = (4π/c) j + 1/c ∂D/∂t Система уравнений Максвелла в интегральной форме Источники электрического поля – электрические заряды или переменные магнитные поля Источники магнитного поля – движущиеся заряды или переменные электрические поля DdS 4 dV S V BdS 0 S 1 B L Edl c S t dS 4 1 D L Hdl c I c t dS Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме 1. 2. 3. 4. Теорема Гаусса для электрического поля: divD 4 Теорема о циркуляции для электрического поля: 1 B rotE c t Теорема Гаусса для магнитного поля: Теорема о циркуляции для магнитного поля: divB 0 4 1 D rotH j c c t Материальные уравнения 1. Определение вектора электрической индукции: Линейные диэлектрики: D E 4P P E , поляризуемость D E , 1 4 диэлектрическая проницаемость 2. Определение вектора напряжённости магнитного поля: Для линейных магнетиков: B H 4Pm Pm H , магнитная восприимчивость B H , 1 4 магнитная проницаемость 3. Закон Ома: j E Граничные условия D2 n D1n 4 E 2t E1t B2 n B1n 4 H 2t H 1t iN c Электромагнитные волны Волновое уравнение: ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2 Для упругих волн в стержне: ∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2 Из уравнений Максвелла: E H E = Ex(z); H = Hy(z) z c t Волновое уравнение: H E 2 E 2 E z c t z 2 c 2 t 2 2 H 2 H 2 2 z c t 2 v c / Решение волнового уравнения: E E 0 cos(t kz) H H 0 cos(t kz) Вектор Пойнтинга плоской волны Для амплитуд: E0 H 0 В бегущей плоской волне электрическая энергия в любой момент равна магнитной: Плотность полной энергии: Поток энергии: E 2 H 2 8 8 EH E 2 H 2 w wE wH 8 8 4 c S vw EH 4 Вектор Пойнтинга – плотность потока энергии: c S EH 4 Импульс электромагнитного поля. Давление света Импульс релятивисткой частицы: p = (W/c2)v Плотность импульса wv S 1 g 2 2 EH электромагнитного поля: 4c c c Давление света: wc I P cg w c c Если коэффициент отражения R, то: Давление солнечного света: P (1 R ) I c 1,5 кВт/м 2 P I / c 5 10 6 Па I c Свет отражается от поверхности Плоская волна падает на плоскую поверхность воды, показатель преломления n = ε1/2 (μ = 1) – – Коэффициент отражения R = ? Коэффициент прохождения (прозрачности) T = ? Граничные условия: E0 – Er = Et → E0 – Er = Et → H0 + H t = Ht E0 + Er = nEt Er = E0(n – 1)/(n + 1) → амплитудные коэффициенты: Et = 2E0/(n + 1) r = Er/E0 = (n – 1)/(n + 1) t = Et/E0 = 2/(n + 1) → энергетические коэффициенты: R = Er2/E02 = r2 = (n – 1)2/(n + 1)2 ≈ 2% T = EtHt/E02 = nEt2/E02 = 4n/(n + 1)2 ≈ 98%