Лекция № 12 Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны. Алексей Викторович Гуденко 26/11/2012 План лекции 1. 2. 3. 4. Ток смещения. Ток смещения в конденсаторе и при стекании заряда с шара. Система уравнений Максвелла. Волновое уравнение для плоской электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга и импульс плоской электромагнитной волны. Давление света. Индуктивность Ф = 1/c LI L – индуктивность (коэффициент самоиндукции) Соленоид: B = µH = 4πµi/c = 4πµIN/ℓc Ф1 = BS = (4πµNS/ℓc) I Ф = NФ1 = (1/c) (4πµN2S/ℓ) I = 1/c LI L = (4πµN2S/ℓ) СГС: [L] = см СИ: [L] = Гн (Генри) = 109 см Энергия соленоида I(0) = I0 εинд = IR -1/c2 LdI/dt = IR dI/I = - c2Rdt I = I0e-t/τ , τ = L/c2R ([R] = c/см) W = ∫I2Rdt = LI2/2c2 = IФ/2c = Ф2/2L W = IФ/2c = 4πiℓ BS/8πc = (HB/8π) V w = HB/8π – плотность магнитной энергии w = µH2/8π = HB/8π = B2/8πµ Стекание заряда с шара во внешнюю среду. Заряд шара q. Какое поле индуцируется при стекании заряда? Из симметрии – B ≡ 0, но тогда j ≡ 0 (rot B = 0) jсм = 1/4π ∂D/∂t = 1/4πr2 ∂q/∂t = - j j + jсм = 0 Конденсатор Ток смещения в заряжающемся конденсаторе: jсм = 1/4π ∂D/∂t = (1/4π)∂(4πσ)/∂t = 1/s ∂q/∂t Iсм = jсмs = ∂q/∂t = I ∫Hdℓ = (4π/c) (I + Iсм) Вне конденсатора ∫Hdℓ = (4π/c)I (Iсм = 0) Внутри конденсатора ∫Hdℓ = (4π/c) Iсм (I = 0) Ток смещения Уравнение непрерывности: ∂ρ/∂t + divj = 0 Ток смещения: divD = 4πρ ∂ρ/∂t = (1/4π)div∂D/∂t = div {(1/4π) ∂D/∂t} = divjсм (1/4π) ∂D/∂t = jсм – плотность тока смещения div(j + jсм) = 0 Магнитное поле создаётся как электрическими токами j, так и токами смещения jсм: rotH = 4π/c (j + jсм) = (4π/c) j + 1/c ∂D/∂t Система уравнений Максвелла в интегральной форме Источники электрического поля – электрические заряды или переменные магнитные поля Источники магнитного поля – движущиеся заряды или переменные электрические поля r r ∫ DdS = 4π ∫ ρdV S V r r ∫ BdS = 0 S r r r 1 ∂B r ∫L Edl = − c ∫S dt dS r r r 4π 1 ∂D r ∫L Hdl = c I + c dt dS Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме 1. 2. 3. 4. Теорема Гаусса для электрического поля: r divD = 4πρ Теорема о циркуляции для электрического поля: r r 1 ∂B rotE = − c dt Теорема Гаусса для магнитного поля: Теорема о циркуляции для магнитного поля: r divB = 0 r r 4π r 1 ∂D rotH = j+ c c dt Материальные уравнения 1. Определение вектора электрической индукции: Линейные диэлектрики: r r r D = E + 4πP r r P = αE , α − поляризуемость r r D = εE , ε = 1 + 4πα − диэлектрическая проницаемость 2. Определение вектора напряжённости магнитного поля: Для линейных магнетиков: r r r B = H + 4πPm r r Pm = κH , κ − магнитная восприимчивость r r B = µH , µ = 1 + 4πκ − магнитная проницаемость 3. Закон Ома: r r j = λE Граничные условия D2 n − D1n = 4πσ E 2t = E1t B2 n = B1n 4π H 2t − H 1t = iN c Электромагнитные волны Волновое уравнение: ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2 Для упругих волн в стержне: ∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2 Из уравнений Максвелла: ∂E µ ∂H =− E = Ex(z); H = Hy(z) ∂z c ∂t Волновое уравнение: ∂H ε ∂E 2 2 ∂ E εµ ∂ E =− = ∂z c ∂t ∂z 2 c 2 ∂t 2 ∂ 2 H εµ ∂ 2 H = 2 2 ∂z c ∂t 2 v = c / εµ Решение волнового уравнения: E = E0 cos(ωt − kz ) H = H 0 cos(ωt − kz ) Вектор Пойнтинга плоской волны Для амплитуд: ε E0 = µ H 0 В бегущей плоской волне электрическая энергия в любой момент равна магнитной: Плотность полной энергии: Поток энергии: εE 2 µH 2 = 8π 8π εµ EH εE 2 µH 2 w = wE + wH = + = 8π 8π 4π c S = vw = EH 4π Вектор Пойнтинга – плотность потока энергии: r c r r S= E×H 4π Импульс электромагнитного поля. Давление света Импульс релятивисткой частицы: p = (W/c2)v r r Плотность импульса r wv S 1 r r g= 2 = 2 = E×H электромагнитного поля: 4πc c c Давление света: wc I P = cg = w = = c c Если коэффициент отражения R, то: Давление солнечного света: P = (1 + R) I c = 1,5 кВт/м 2 P = I / c = 5 ⋅ 10 −6 Па I c