Лекция 1. Электростатическое поле в вакууме

Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Электростатика и постоянный ток
Степанова Екатерина Николаевна
доцент кафедры ОФ ФТИ ТПУ
Тема 1. Электростатическое поле в вакууме
1.1. Электрический заряд. Закон сохранения заряда
1.2. Взаимодействие электрических зарядов в
вакууме. Закон Кулона
1.3. Электростатическое поле. Напряженность поля
1.4. Сложение электростатических полей. Принцип
суперпозиции
1.5. Электростатическое поле диполя
1.6. Взаимодействие диполей
2
1.1. Электрический заряд. Закон сохранения заряда
Электростатика – раздел, изучающий статические
(неподвижные) заряды и связанные с ними
электрические поля.
Перемещение зарядов либо отсутствует, либо
происходит так медленно, что возникающие при
движении зарядов магнитные поля ничтожны. Сила
взаимодействия между зарядами определяется только
их взаимным расположением.
Энергия электростатического взаимодействия – это
потенциальная энергия.
3
Несмотря на обилие различных веществ в
природе,
существуют
только
два
вида
электрических зарядов: заряды подобные тем,
которые возникают на стекле, потертом о шелк, и
заряды, подобные тем, которые появляются на
янтаре, потертом о мех.
Первые были названы положительными,
вторые - отрицательными зарядами.
Назвал их так Бенджамин Франклин в 1746 г.
Известно,
что
одноименные
заряды
отталкиваются,
разноименные
–
притягиваются.
4
Закон
сохранения
фундаментальных
заряда
–
один
законов
из
природы,
сформулированный в 1747 г. Б. Франклином и
подтвержденный
в
1843
г.
М.
Фарадеем:
алгебраическая сумма зарядов, возникающих при
любом электрическом процессе на всех телах,
участвующих в процессе всегда равна нулю.
ИЛИ:
суммарный
электрический
заряд
замкнутой системы не изменяется.
5
Электрические заряды не существуют сами по себе, а
являются внутренними свойствами элементарных частиц –
электронов, протонов и др.
Опытным путем в 1914 г. американский физик Р.
Милликен показал что электрический заряд дискретен.
Заряд q любого тела составляет целое кратное от
элементарного электрического заряда:
q =  ne
где n – целое число; е = 1,61019 Кл.
Электрон и протон являются соответственно
носителями
элементарных
отрицательного
и
положительного зарядов.
6
Например, наша Земля имеет отрицательный
заряд 6105 Кл - это установлено по измерению
напряженности
электростатического
поля
в
атмосфере Земли.
Большой вклад в исследование явлений
электростатики внес знаменитый французский
ученый Ш. Кулон. В 1785 г. он экспериментально
установил закон взаимодействия неподвижных
точечных электрических зарядов.
7
Кулон Шарль Огюстен
(1736 – 1806) – французский физик
и военный инженер.
Работы
относятся
к
электричеству,
магнетизму,
прикладной
механике.
Сформулировал законы трения,
качения и скольжения. Установил
законы упругого кручения.
Исходя из этого в 1784 г. Кулон построил прибор для
измерения силы – крутильные весы и с помощью их открыл
основной закон электростатики – закон взаимодействия
электрических зарядов на расстоянии, названный в
последствии его именем.
8
1.2. Взаимодействие электрических
зарядов в вакууме. Закон Кулона
Точечный заряд (q) - заряженное тело, размеры
которого пренебрежительно малы по сравнению с
расстоянием до других заряженных тел, с которым
оно взаимодействует.
9
В результате опытов Кулон установил, что
сила взаимодействия точечных зарядов в вакууме
пропорциональна
величине
зарядов
и
обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними,
причем
одноименные
заряды
отталкиваются,
а
разноименные – притягиваются.
F k
q1  q2
r
2
здесь k – коэффициент пропорциональности, зависящий
от системы единиц.
10
В векторной форме закон Кулона выглядит так:



q1q2 r12
F1  k0 2
 F2
r12 r12
где
F1 – сила, действующая на заряд q1
F2 – сила, действующая на заряд q2
r – единичный вектор, направленный от
положительного заряда к отрицательному.
11
В
электростатике
взаимодействие
зарядов
подчиняется третьему закону Ньютона: силы
взаимодействия между зарядами равны по величине и
направлены противоположно друг другу вдоль
прямой, связывающей эти заряды
12
Если заряды не точечные, то в такой форме закон
Кулона не годится – нужно интегрировать по объему.
Вся совокупность фактов говорит, что закон Кулона
справедлив при 107 – 10-15 м.
Внутри ядра действуют уже другие законы, не
кулоновские силы.
В системе СГС единица заряда выводится именно из
закона Кулона:
1 ед. СГС – такой заряд, который действует на равный
ему по величине другой заряд на расстоянии 1 см с
силой в 1 дн (дину). Здесь k = 1, т.е.
13
F
q1q2
r
2
.
В системе СИ единица заряда 1 Кл = 1А 1с,
поэтому здесь k  1:
2
1
Н

м
k
 9 10 9
40
Кл 2
где: ε0 – электрическая постоянная; 4 здесь
выражает сферическую симметрию закона Кулона.
14
Электрическая постоянная относится к числу
фундаментальных физических констант и равна
2
Кл
12
12 Ф
 0  8,85 10
 8,85 10
2
м
Нм
Элементарный заряд в СИ:
Отсюда следует, что
e  1,6 10
19
Кл.
1 Кл  6,25 10 e.
18
Поскольку элементарный заряд мал, мы как бы не
замечаем его дискретности (заряду 1 мкКл
соответствует ~ 1013 электронов).
15
1.3. Электростатическое поле (ЭП).
Напряженность ЭП
Почему заряды взаимодействуют? Имеет место борьба
двух теорий:
теория дальнодействия – Ньютон, Ампер
теория близкодействия – Фарадей, Максвелл и т.д.
Для электростатического поля справедливы обе эти
теории.
Вокруг заряда всегда есть электрическое поле,
основное свойство которого заключается в том, что
на всякий другой заряд, помещенный в это поле,
действует сила.
16
17
Электрические и магнитные поля – частный случай
более общего – электромагнитного поля (ЭМП).
Они могут порождать друг друга, превращаться друг в
друга. Если заряды не движутся, то магнитное поле не
возникает.
ЭМП – есть не абстракция, а объективная реальность –
форма
существования
материи,
обладающая
определенными физическими свойствами, которые мы
можем измерить.
Не существует статических электрических полей, не
связанных с зарядами, как не существует «голых», не
окруженных полем зарядов.
18
Силовой характеристикой поля, создаваемого зарядом
q, является отношение силы, действующей на заряд, к
величине этого заряда, называемое напряженностью
электростатического поля, т.е.
F
q
E 
q 40 r 2
Или в векторной форме

E

q r
40 r 2 r
здесь r – расстояние от заряда до точки, где мы изучаем это
поле.
19
Тогда
При q = +1


F  qE
 
FE
Вектор напряженности электростатического поля
равен силе, действующей в данной точке на помещенный в
нее пробный единичный положительный заряд.
Единица
измерения
напряженности
электростатического поля – ньютон на кулон (Н/Кл) или
вольт на метр.
Н
В
E   или
Кл
м
1 Н/Кл – напряженность такого поля, которое на
точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н.
20
1.4. Сложение электростатических полей.
Принцип суперпозиции
Если
поле
создается
несколькими
точечными
зарядами, то на пробный заряд q действует со
стороны заряда qk такая сила, как если бы других
зарядов не было.
Результирующая сила:



1 qqk rk
F
  Fk
2
k 40 rk rk
k
– это принцип суперпозиции или независимости
действия сил
21



т.к. F  qE , то E – результирующая напряженность
поля в точке, где расположен пробный заряд, так же
подчиняется принципу суперпозиции:
  

Е  Е1  Е 2  ...   Е k .
k
Напряженность результирующего поля, системы
точечных зарядов равна векторной сумме
напряженностей полей, созданных в данной точке
каждым из них в отдельности (принцип
суперпозиции).
22
Пример 1.
  


Е  Е1  Е 2  Е 3  ...   Е k, т. е.
 

Е  Е  Е
k
k


Е  Е


Е   Еk
и
Е  2Е сos
задача симметрична.
23
х
В данном случае:
1
q
E  E 
4 0  2 l 2 
 r  
4

и
l/2
l
cos 
Следовательно,
Е
x
1
4 0

 2 l2 
2  r  
4

ql
3
l2 2
.
 2
 r  
4

24
Пример 2.
Найдем напряженность электростатического поля
Е, создаваемую двумя положительными зарядами q1
и q2 в точке А, находящейся на расстоянии r1 от
первого и r2 от второго зарядов.
25
E1 
q1
E2 
q2
4 0r22
4
Воспользуемся теоремой косинусов:
E
где
E12

E22
2
r
0 1
1
 2 E1E2 cos 
40
2
q1
r14
r12  r22  r 2
cos 
.
2r1r2

2
q2
r24
2q1q2
 2 2 cos ,
r1 r2
26
Если поле создается не точечными зарядами, то
используют обычный в таких случаях прием. Тело
разбивают
на
бесконечно
малые
элементы
и
определяют напряженность поля создаваемого каждым
элементом, затем интегрируют по всему телу:
где

dE
заряженным


Е   dE,
– напряженность поля, обусловленная
элементом.
Интеграл
может
быть
линейным, по площади или по объему в зависимости от
формы тела.
27
Для
решения
подобных
задач
пользуются
соответствующими значениями плотности заряда:
dq
– линейная плотность заряда, измеряется в [Кл/м];

dl
dq
– поверхностная плотность заряда, [Кл/м2];

dS
dq

– объемная плотность заряда, [Кл/м3].
dV
28
Пример 3.
Определим напряженность электрического поля в
точке А на расстоянии х от бесконечно длинного,
линейного, равномерно распределенного заряда.
Пусть λ – заряд, приходящийся на единицу длины.
29
Считаем, что х – мало по сравнению с длиной проводника.
Элемент длины dy несет заряд
dq = dyλ.
Создаваемая
этим
элементом
напряженность
электрического поля в точке А:
1
dy
dE 
.
2
2
40 ( x  y )
30

Вектор dE имеет
проекции dEx и dEy
причем
dE x  dE cos θ;

dE
dE y  dE sin .
Т.к. проводник бесконечно длинный, а задача

симметричная, то у – компонента вектора dE
обратится в ноль (скомпенсируется), т.е.
E y   dE sin   0
31

cosdy
Тогда E  E x   dEcos 

40 x 2  y 2
Теперь выразим y через θ.
Т.к. y  xtg,
xd
То dy 
cos 2 
и
2
x
(x2  y 2 ) 
cos 2 
тогда

2
 1

E
cosd 
.

40 x 
20 x

2
32
Таким образом, напряженность электрического
поля линейно распределенных зарядов изменяется
обратно пропорционально расстоянию до заряда.
33
1.5. Электростатическое поле диполя
Электрический
диполь
система
двух
одинаковых по величине, но разноименных точечных
зарядов, расстояние между которыми значительно
меньше расстояния до тех точек, в которых
определяется поле системы
Плечо диполя – вектор, направленный от
отрицательного заряда к положительному и численно
равный расстоянию между зарядами.
34
35
Пример 1.
Найдем Е в точке А на прямой, проходящей через центр
диполя и перпендикулярной к оси.
1
E  E 
40
q
q

2
2
4

r
l
0
2  
r  
2
т.к. l << r
36
Из подобия заштрихованных треугольников можно записать:
E

E
l
1
l2 2
 2
r  


4


l

r
отсюда
l
ql
E  E 
.
3
r 4πε0 r
37
Обозначим вектор:


Р  ql
– электрический момент диполя (или дипольный
момент) – произведение
положительного заряда

диполя на плечо
 l.

Направление P совпадает с направлением l , т.е. от
отрицательного заряда к положительному.
Тогда, учитывая что
P
E 
3
40 r
ql  P получим:
или


P
E 
3
40 r
38
Пример 2.
На оси диполя, в точке В

E|| 
2ql
40 r 3
или


2P
E|| 
.
3
40 r
39
Пример 3.
В произвольной точке С
P
2
E
3
cos
  1,
3
40 r
где   1  2
При:

1  2  ,
2
P
E1 
;
3
40 r
1  2  0,
2P
Е2 
40 r 3
40
Из
приведенных
примеров
видно,
что
напряженность электрического поля системы зарядов
равна геометрической сумме напряженностей полей
каждого
из
зарядов
в
отдельности
(принцип
суперпозиции).
41