Document 4735338

I. Электростатика
Предметом изучения электростатики являются свойства
неподвижных электрических зарядов.
1. Электрический заряд , свойства электрического заряда
1) Существует два типа электрических зарядов – положительные и
отрицательные. Такое разделение зарядов имеет условный,
исторический характер.
Положительные заряды – подобны зарядам, возникающим на
стекле, потертом о кожу.
Отрицательные заряды – подобны зарядам, возникающим на
эбоните, потертом о мех, или на янтаре, потертом о шерсть.
Янтарь по-гречески - “электрон”, отсюда и происхождение слова
электричество.
2) Имеются наименьшие по величине элементарные положительный
и отрицательный заряды. Модули этих зарядов равны. Носителем
элементарного положительного заряда является протон.
Носителем элементарного отрицательного заряда является
электрон. У некоторых частиц заряд равен нулю (нейтрон, фотон).
3) Американский физик Милликен доказал, что заряд любого тела
кратен элементарному заряду
. Об этом говорят, как о
дискретности или квантованииqзаряда.
  Ne
4) Величина заряда не зависит от его движения. Заряд любой
частицы одинаков во всех инерциальных системах отсчета,
поэтому заряд релятивистски инвариантен.
5) Суммарный заряд электрически изолированной системы не
меняется. Под электрически изолированной системой понимается
система, через границы которой не проникают другие заряды.
Опыт показывает, что в такой системе алгебраическая сумма
положительных и отрицательных зарядов остается постоянной –
в этом состоит закон сохранения заряда.
6) В процессах взаимодействия элементарных частиц электрические
заряды могут исчезать или возникать. Но при этом всегда
одновременно возникают или исчезают пары элементарных
частиц с противоположными зарядами, равными по абсолютной
величине.
Например, электрон и позитрон при столкновении
аннигилируют, превращаясь в фотоны.
Возможен и обратный процесс - фотон в сильном поле ядра
может превратиться в пару частиц электрон + позитрон. В обоих
процессах полный заряд системы до и после реакции совпадает (в
данном случае он равен нулю).
Единицей электрического заряда в международной системе
единиц СИ является Кулон (Кл).
Кулон – это заряд, проходящий через поперечное сечение
проводника за 1 сек при силе тока в 1 Ампер.
Заряд электрона равен e = -1.6·10-19 Кл.
Заряд протона равен 1.6·10-19 Кл.
2. Закон Кулона
В 1785 году французский физик Шарль Кулон установил закон,
которому подчиняется сила взаимодействия между точечными
неподвижными зарядами.
Точечный заряд – это заряженное тело, размерами которого
можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до
других заряженных тел.
Кулон использовал крутильные весы. Меняя величины
зарядов шаров и расстояние между ними, он определял
силу взаимодействия через угол поворота коромысла,
висящего на упругой проволоке. Величина силы
взаимодействия в вакууме двух неподвижных точечных
зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии
оказалась равной
q 1q 2
F12 = k 2
r
(1.2.1)
r,
где
к - коэффициент, равный
1
9 м
k=
= 9 10
;
4 ε 0
ф
ε 0 = 8.85 10
-12
ф
м
Ф - фарада
электрическая постоянная
Для одноименных зарядов F12 > 0 , что соответствует
взаимному отталкиванию зарядов. Для разноименных зарядов
F12 < 0 , что отвечает взаимному притяжению зарядов.
Кулоновская сила взаимодействия направлена вдоль прямой
линии, соединяющей заряды, поэтому кулоновская сила –
центральная сила. Поскольку центральные силы являются
консервативными, то кулоновские силы – консервативные силы.
Экспериментально установлено, что закон 1/r2 выполняется по
крайней мере в диапазоне расстояний между зарядами от 10-13 см
до нескольких километров.
Запишем закон Кулона в векторном виде.
Обозначим через
r12
q1 с зарядом q2
q1 действует на заряд q2 равна
вектор, соединяющий заряд
Тогда сила, с которой заряд
q1q 2 r12
F12 = k 2
= F12 e12
r r
r12
e12 =
единичный вектор
r
. .
На рисунке показаны
положительные
F21
силы
для
e12
q1 > 0
r12
случая,
когда
F12
q2 > 0
(1.2.2)
оба
заряда
В согласии с третьим законом Ньютона на заряд q1 со стороны
заряда q2 действует такая же по абсолютной величине, но
противоположная по направлению сила
F21 = -F12 = -F12 e12 = F12e21 = F21e21
r21
e21 = -e12 = ;
r
r21 = -r12 ;
F12 = F21
Опыт показывает, что сила взаимодействия двух зарядов не зависит
от присутствия третьего заряда. Поэтому для системы зарядов qi (i =
1,…,N) закон Кулона можно применять к каждой паре зарядов.
Отсюда следует, что результирующая сила, действующая на какой-то
заряд, равна векторной сумме сил со стороны всех зарядов системы
N
F =  Fi
(1.2.3)
i=1
Эта формула выражает собой принцип суперпозиции кулоновских сил.
Сила Кулона зависит от расстояния между зарядами по тому
же закону (1/r2), как и сила гравитации. Сравним величины этих сил
на примере 2-х электронов.
q2
m2
FKulon = k 2 ;
FGravit = G 2 ;
m = 9.11  10-31 кг
r
r
FKulon
kq 2
9  109 (1.6  10-19 )2
42
=
=
≈
4

10
FGravit Gm 2 6.672  10-11 (9.11  10-31 )2
Следовательно,
кулоновская
сила
превосходит
гравитационную силу в 4 миллиона биллион биллион биллион раз.
Поскольку все вещества состоят из электронов, протонов и
нейтронов, то именно электростатическое взаимодействие между
ними объясняет большинство физических свойств веществ.
При этом отрицательные и положительные заряды
практически полностью компенсируют друг друга как в
макроскопических телах, так и на уровне атомов и молекул (кроме
ионов и радикалов). То есть все тела в целом электронейтральны.
При трении тел друг о друга возникает разделение зарядов.
Оно связано с тем, что в различных веществах, ядра удерживают
электроны с разной силой.
Запасенная в результате трения электрическая энергия
выделяется, например, при ударе молнии.
Разделение зарядов возможно и в пределах одного тела, в
этом случае оно называется поляризацией. Поляризация
возникает за счет не полной компенсации электрических
моментов отдельных молекул или диполей, из которых состоит
вещество.
3. Электрическое поле. Напряженность
электрического поля.
Согласно современным представлениям взаимодействие между
зарядами осуществляется посредством электрического поля. Это
взаимодействие передается не мгновенно, а с конечной скоростью,
равной скорости света. Данное утверждение составляет основу
теории близкодействия.
Любой заряд q меняет свойства окружающего пространства
за счет созданного им электрического поля. Это поле проявляет себя
через силы, действующие на другие заряды.
Поместим в поле заряда
Пусть
r
q
qпроб .
заряде q,
другой, пробный заряд
радиус-вектор, начало которого находится на
а
конец – на заряде qпроб.
Будем считать, что величина пробного заряда настолько мала,
что его влиянием на положение изучаемого заряда
пренебречь.
q
можно
Со стороны заряда
q
на пробный заряд действует сила Кулона
q
F = q проб (k 2 er ) ;
r
r
er =
r
единичный
вектор
Поделим силу Кулона на величину пробного заряда
E=
F
qпроб
q
q
= k 2 er = k 3 r
r
r
(1.3.1)
Полученный вектор E называется напряженностью электрического
поля в точке пространства с радиус-вектором r . Вектор E одинаков
для всех пробных зарядов, поэтому он характеризует интенсивность
электрического поля, созданного зарядом q.
Напряженность электрического поля E является силовой
характеристикой электрического поля, она равна силе, действующей
на единичный, пробный положительный заряд.
Для положительного заряда q вектор E направлен радиально от
заряда, для отрицательного заряда – радиально в сторону заряда.
E
+
E
-
Если дана система зарядов qi (i = 1,…,N), то согласно принципу
суперпозиции электрических полей (1.2.3), напряженность
электрического поля системы зарядов равна векторной сумме
напряженностей полей, созданных отдельными зарядами
qi
E = k 3 ri =  E i
i ri
i
(1.3.2)
Если заряд распределен непрерывно по некоторому объему
c плотностью
ρ( r ) = ρ(x, y, z)
V
то этот объем можно разбить на малые элементарные объемы
dV = dx  dy  dz
заряды которых
dq = ρ( r )dV = ρ(x, y, z)  dx  dy  dz
можно считать точечными зарядами.
Поэтому напряженность, созданная протяженным зарядом в
некоторой точке пространства с радиусом вектором r' , равна сумме
напряженностей от всех элементарных частей и, следовательно,
сводится к интегралу по объему V, занимаемому зарядом
(r' - r)  ρ(x, y, z)  dx  dy  dz
E(r') = k 
3
| r' - r |
(1.3.3)
V
Единицей
напряженности
электрического
поля
является напряженность в такой точке пространства, в
которой на пробный точечный заряд величиной
действует сила, равная
1 Кл
1Н
Н В
[ E] =
=
Кл м
;
B - вольт
Можно считать, что электрическое поле полностью
описано, если вектор напряженности E задан в каждой точке
пространства. Совокупность этих векторов образует поле
вектора напряженности электрического поля.
Для наглядного изображения электрического поля
используют силовые линии напряженности E . Эти линии
проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке
пространства совпадала с направлением вектора E , а густота
линий была равна модулю вектора E .
Под густотой линий понимается число силовых линий,
пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярную к
линиям.
На рисунке показаны силовые линии системы из двух зарядов
противоположных знаков. Силовые линии начинаются на
положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах
или уходят на бесконечность. В каждой точке пространства вектор
напряженности E имеет лишь одно направление и одно значение,
поэтому силовые линии электрического поля никогда не пересекаются.
4. Электрическое поле диполя
Электрический диполь – это система из двух одинаковых по
модулю разноименных точечных зарядов (+q) и (-q) , расстояние
между которыми много меньше расстояний до точек, в которых
определяется поле.
l
Найдем электрическое поле, созданное
o
-q
+q
диполем в некоторой удаленной от него
O


точке А с использованием принципа
суперпозиции. Проведем вектор l от
r
r
r+
отрицательного заряда к положительному
заряду. Этот вектор называется
Eплечом диполя. Выберем начало
координат О посередине расстояния
A
между зарядами и введем векторы
.
l
r- = r +
2
l
r+ = r 2
E
E+
p = ql
Вектор
называется дипольным моментом или
электрическим моментом диполя. Прямая, проходящая через оба
заряда называется осью диполя. Угол 
 - это угол между осью
диполя и направлением на заданную точку А.
Напряженность суммарного поля диполя равна сумме
напряженностей полей, созданных двумя зарядами
E = E+ + Eq
E+ = k 3 r+
r+
q
E - = -k 3 rr3
+ -
3
- +
3 3
+ -
r+ r(r r - r r )
E = kq( 3 - 3 ) = kq
r+ rr r
(1.4.1)
Пусть точка А удалена от диполя на достаточно большое
расстояние, при котором выполняются неравенства
| r+ |
|l |
| r- |
|l |
Учтем это при расчете суммарной напряженности E .
Вычислим квадраты и кубы расстояний, пренебрегая малыми
слагаемыми
2
l
l
l
2
2
r = (r-  r- ) = (r + )(r + ) = r  (l  r)+  r + (l  r)
2
2
4
2
l
l
l
r+2 = (r+  r+ ) = (r - )(r - ) = r 2  (l  r)+  r 2 - (l  r)
2
2
4
(l  r) 3/2
3 (l  r)
3
2
3/2
3
3
r- = (r + (l  r))  r (1 + 2 )  r (1 +
)
2
r
2 r
3 (l  r)
3
3
r+  r (1 )
2
2 r
2
-
Тогда можем записать
3 (l  r)
l
3 (l  r) l
3
r r = r (1 +
)(r - )  r (r +
r- )
2
2
2 r
2
2 r
2
3 (l  r)
l
3 (l  r)
l
3
3
3
r+ r- = r (1 )(r + )  r (r r+ )
2
2
2 r
2
2 r
2
(l  r)
3
3
3
r- r+ - r+ r-  r (3 2 r - l)
r
3 (l  r)
3 (l  r)
3 3
6
6
r+ r-  r (1 +
)(1 )r
2
2
2 r
2 r
3
- +
3
Подставим эти выражения в формулу для напряженности (1.4.1)
kq (l  r)
k (p  r)
E = 3 (3 2 r - l) = 3 (3 2 r - p)
r
r
r
r
Представим радиус-вектор от диполя до точки наблюдения А в виде
r = r  er ; er - орт вдоль вектора r
(p  r)
Тогда
r = (p  er )er = pcos(  )er
2
r
и получаем
k
E = 3 ( 3pcos( )er - p )
r
Этой формулой дается
напряженность поля
диполя в произвольной, но
достаточно удаленной от него точке.
Общий вид силовых линий
диполя показан на рисунке.
(1.4.2)
Найдем величину вектора напряженности
E = [(E  E)]
1/2
k
= 3 [(3pcos(  )er - p)  (3pcos(  )e r - p)] 1/2 
r
k
= 3 [9p 2 cos 2 (  ) - 6pcos(  )(er  p) + p 2 ] 1/2
r
Учтем, что
(er  p) = pcos(  )
Тогда
kp
2
1/2
E  3 [3cos ( ) + 1]
r
(1.4.3)
Из формулы (1.4.3) следует, что напряженность поля диполя
1/r3, то есть убывает быстрее чем
одиночного заряда 1/r2. Это связано с
убывает с расстоянием по закону
напряженность поля
частичной компенсацией полей двух противоположных по знаку
зарядов. Чем ближе заряды, тем меньше дипольный момент p , тем
слабее напряженность поля диполя E . Если бы заряды находились в
одной точке, то их поле вообще бы отсутствовало.
Найдем поле в точках, расположенных на оси диполя. Для них
o
o
0
угол равен либо , либо 180 . Соответственно cos   1 .

Когда

p
 0 вектор er = , а когда
p
  180
p
er = p
.
Поэтому напряженность поля на оси диполя слева и справа от
него совпадает с направлением дипольного момента и дается одной и
той же формулой
2k
E= 3 p
r
Теперь найдем поле диполя в точках на линии,
перпендикулярной к оси диполя и проходящей через его центр.
   / 2 , cos  0 , поэтому
l,p
k
o
-q
E=- 3 p
O
r
r
Для таких точек
+q
-
Следовательно, в этих точках
напряженность поля
противоположна по направлению
дипольному моменту.
r
E-
.A
E
E+
r+