а 2

Владивостокский Государственный Университет
Экономики и Сервиса
Кафедра Сервиса и Технической Эксплуатации Автомобилей
Теоретическая механика
Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭА
Чубенко Елена Филипповна
2009
Тема 8
Поступательное и вращательное
движение плоского тела
2
План занятия
•
•
•
•
1. Поступательное движение твердого тела
2. Вращательное движение твердого тела
3. Угловая скорость и угловое ускорение
4. Скорости и ускорения точек вращающегося тела
3
Введение
• Целью занятия является изучение поступательного и
вращательного движения твердого тела и его кинематических
характеристик
• Материал занятия содержит основные определения и
расчетные формулы для определения скоростей и ускорений
твердого тела при поступательном и вращательном движении
4
Ключевые понятия
•
•
•
•
1. Поступательное движение
2. Вращательное движение
3. Угловая скорость и угловое ускорение
4. Линейные скорости и ускорения при вращательном движении
твердого тела
5
Поступательное движение
В кинематике, как и в статике, мы будем рассматривать все
твердые тела как абсолютно твердые, т. е. будем считать, что
расстояние между двумя любыми точками тела остается во
все время движения неизменным
6
Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:
1) задание движения и изучение кинематических характеристик
движения всего тела в целом; 2) изучение движения каждой из
точек тела в отдельности.
Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.
Поступательным называется такое движение твердого тела,
при котором любая прямая, проведенная в этом теле,
перемещается, оставаясь параллельной самой себе.
Поступательное
движение
не
следует
смешивать
с
прямолинейным. При поступательном движении тела траектории
его точек могут быть любыми кривыми линиями.
7
Приведем примеры поступательных движений.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги
движется поступательно. При этом траектории его точек будут
прямыми линиями.
2. Спарник при вращении кривошипов также движется
поступательно (любая проведенная в нем прямая остается
параллельной самой себе). Точки спарника движутся при этом по
окружностям.
Свойства поступательного движения определяются следующей
теоремой: при поступательном движении все точки тела
описывают одинаковые (при наложении совпадающие)
траектории и имеют в каждый, момент времени одинаковые
по модулю и направлению скорости и ускорения.
8
Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее
поступательное движение относительно системы отсчета Охуz.
Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых
в момент времени t определяются радиусами-векторами rА и rВ
проведем вектор АВ, соединяющий эти точки. Тогда, как легко
видеть,
rВ = rА —АВ
(76)
9
При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками
твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как
тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все
время движения тела остается постоянным (АВ=сonst). Вследствие
этого, как видно из равенства (76) , траектория точки В получается
из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на
постоянный вектор АВ. Следовательно, траектории точек А и В
будут
действительно
одинаковыми
(при
наложении
совпадающими) кривыми.
Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе
части равенства (76) по времени. Тогда получим:
drВ/dt= drА/dt+dАВ/dt
10
Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю.
Производные же от векторов rА и rВ по времени дают скорости
точек А и В. В результате находим, что
VА=VВ,
т. е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени
одинаковы и по модулю и по направлению. Беря от обеих
частей полученного равенства производные по времени, найдем:
dVА/dt= dVВ/dt или
аА=аВ
Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент
времени тоже одинаковы по модулю и направлению.
Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найденных
результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а
также скорости и ускорения в любой момент времени будут
одинаковы. Таким образом, теорема доказана.
11
Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела
вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки.
Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится
к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.
При поступательном движении общую для всех точек тела
скорость V называют скоростью поступательного движения тела, а
ускорение а—ускорением поступательного движения. Векторы V и
а можно, очевидно, изображать приложенными в любой точке тела.
Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл
только при поступательном движении. Во всех остальных случаях
точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и
ускорениями и термины “скорость тела” или “ускорение тела” для
этих движений теряют смысл.
12
Вращательное движение
твердого тела. Угловая скорость
и угловое ускорение
Вращательным называется такое движение твердого тела,
при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу
(или неизменно с ним связанные), остаются во все время
движения неподвижными.
Проходящая через неподвижные
точки А и В прямая АВ называется осью вращения.
13
Так как расстояния между точками твердого тела должны
оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном
движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут
неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать
окружности. плоскости которых перпендикулярны к оси вращения,
а центры лежат на этой оси.
Для определения положения вращающегося тела проведем через
ось вращения Az две полуплоскости: полуплоскость / —
неподвижную и полуплоскость //, врезанную в само тело и
вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой
момент времени будет однозначно определяться взятым с
соответствующим знаком углом φ между этими полуплоскостями,
который назовем углом поворота тела. Мы будем считать угол φ
положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в
направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя,
смотрящего с положительного конца оси Az, и отрицательным,
если по ходу часовой стрелки. Измеряется угол φ всегда в
радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени,
надо знать зависимость угла j от времени t, т. е.
14
φ =f(t)
(77)
Уравнение (77) выражает закон вращательного движения
твердого тела.
Основными кинематическими характеристиками вращательного
движения твердого тела являются его угловая скорость ω и
угловое ускорение ε.
Если за промежуток времени t=t1—t тело совершает поворот на
угол φ=φ1-φ, то средняя угловая скорость тела за этот промежуток
времени будет численно равна
ωср= φ /t
Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется
величина, к которой стремится значение ωср, когда промежуток
времени t стремится к нулю:
ω =lim  φ /t = dφ/dt
(78)
15
Таким образом, угловая скорость тела в данный момент
времени численно равна первой производной от угла
поворота по времени. Равенство (78) показывает также, что
величина ω равна отношению элементарного угла поворота dφ к
соответствующему промежутку времени dt. Знак ω определяет
направление вращения тела. Легко видеть, что, когда вращение
происходит против хода часовой стрелки, ω >0, а когда по ходу
часовой стрелки, то ω< 0.
Размерность угловой скорости радиан/время или/время, Так как
радиан—величина безразмерная; в качестве единицы измерения
обычно применяется 1/сек.
Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора ω,
численная величина которого ω равна dφ /dt и который направлен
вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно
происходящим против хода часовой стрелки . Такой вектор сразу
определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и
направление вращения вокруг этой оси.
16
Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела
с течением времени.
Если за промежуток времени t=t1—t угловая скорость тела
изменяется на величину ω =ω1-ω, то среднее угловое ускорение
тела за этот промежуток времени будет численно равно:
εср=ω / t
Угловым ускорением тела в данный момент времени t называется
величина, к которой стремится значение εср, когда промежуток
времени t стремится к нулю; следовательно,
ε=lim ω / t =dω /dt=d2φ/dt2
(79)
17
Итак, угловое ускорение тела в данный момент времени
численно равно первой производной от угловой скорости или
второй производной от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения будет 1/время2; в качестве
единицы измерения обычно применяется 1/сек2.
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение
тела называется ускоренным, а если убывает — замедленным.
Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины w и
e имеют одинаковые знаки, и замедленным—когда разные.
18
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно
также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси
вращения. При этом направление ε совпадает с направлением ω ,
когда тело вращается ускоренно и противоположно ω при
замедленном вращении.
19
Скорости и ускорения точек
вращающегося тела
Установив в предыдущих параграфах характеристики движения
всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его
точек.
20
Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на
расстоянии h от оси вращения Аг . При вращении тела точка М
будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой
перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси.
Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол
dφ, то точка М при этом совершит вдоль своей траектории
элементарное перемещение ds=h dφ . Тогда скорость точки будет
равна отношению ds к dt, т. е.
V=ds/dt=h dφ /dt=hω
(80)
Скорость V в отличие от угловой скорости тела называют еще
линейной или окружной скоростью точки М.
Таким образом, линейная скорость точки вращающегося
твердого тела численно равна произведению угловой
скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.
21
Направлена линейная скорость по касательной к описываемой
точкой М окружности или перпендикулярно к плоскости,
проходящей через ось вращения и точку М.
Так как для всех точек тела w имеет в данный момент одно и то же
значение, то из формулы (80) следует, что линейные скорости
точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от
оси вращения.
Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами
аτ=dV/dt,
аn=V2/r
В нашем случае r =h. Подставляя сюда значение V из равенства
(80), получаем:
аτ =h dω /dt=hε, аn=h2ω 2/h=hω2
(81)
22
Касательное ускорение аτ направлено по касательной к траектории
(в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в
обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное
ускорение аn всегда направлено по радиусу h к оси вращения.
Полное ускорение точки М будет равно
а2= а2τ+ а2n=h2 ε2+h2 ω4
или
а2 =h2(ε2+ω4)2 (82)
23
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой
точкой окружности определяется углом μ который вычисляется по
формуле
tgμ =| аτ | /аn
подставляя сюда значения at и an из равенств (82), получаем:
tgμ =|ε | /ω
(83)
Так как ε и ω имеют в данный момент для всех точек тела одно и то
же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела
пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в
данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами
описываемых ими окружностей.
Формулы позволяют определить скорость и ускорение любой точки
тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной
точки от оси вращения. По этим же формулам можно, зная
движение одной точки тела, найти движение любой другой его
точки, а также характеристики движения всего тела в целом.
24
Вопросы для самопроверки
•
•
•
•
•
1. Что такое вращательное движение?
2. Что такое поступательное движение?
3. Как определяется угловая скорость?
4. Как определяется угловое ускорение?
5. По каким зависимостям рассчитываются линейные скорости
и ускорения вращающегося твердого тела?
25
Задания для самопроверки
• Выполнить в интегрированной обучающей среде АВАНТА
задание Определение скоростей и ускорений твердого тела
• Решить задачи 5.3 – 5.16
26
Рекомендуемая литература
• Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., Высшая
школа, 2004
• Гернет М.М. Курс теоретической механики. СПб, Питер-пресс,
2007
• Никитин Н.Н. Теоретическая механика. М., ВШ, 2007
• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., ИВОН, 2006
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.,
ВШ, 2006
27