Презентация по теме «Векторы

Учитель математики
Громова Т.М.
Общие понятия
1. Скалярные и векторные величины
Величины, которыми характеризуются различные явления и
процессы, происходящие в окружающем нас мире - природе,
технике, обществе, - делятся на 2 группы.
Одни из них - время, температура, объём тела, потенциал
точки электрического поля, масса тела и другие характеризуются
только числом каких-либо эталонных единиц. Такие величины в
математике называются скалярными.
Другие величины - скорость, ускорение, сила, давление,
импульс, напряжённость электрического поля и другие кроме числа
эталонных единиц характеризуются и направлением. Такие
величины называются векторами.
2. Векторная величина в математике
Любую векторную величину в математике будем называть
просто вектором. Вектор изображается направленным отрезком
A
B
Рис. 1.
и обозначается : AB, a, F, т.е. или двумя заглавными буквами
латинского алфавита, или одной строчной буквой этого алфавита,
или одной заглавной буквой латинского алфавита со стрелкой в
верху.
Замечание. Обозначение векторной величины одной буквой
- заглавной - латинского алфавита широко используется в
прикладных дисциплинах : физике, механике, электро радиотехнике, гидравлике и т.д.
Например :
E - напряжённость электрического поля;
F - внешняя сила, действующая на тело;
K - импульс (k=m*v).
3. Длина вектора, нулевой вектор.
Длиной вектора называется длина соответствующего
ему

 
отрезка; записывается длина вектора так : AB  a или P , F .
Можно длину вектора обознать и следующим образом : F, P, E, a,
V и т.д.; например, если в условии той или иной задачи на тело
действует, скажем, сила в 100 н, то в данных этой задачи надо

записать: F
 100 Н ; допускается и другая запись: F=100 н.
Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с
концом ; AA, O - нулевые векторы.
4. Коллинеарные, равные векторы.
Два или несколько векторов называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямойили нескольких параллельных


a
c
m
b

d

e
Рис. 2.
n


   

Совокупность векторов a , b , c , d , e - совокупность
коллинеарных векторов, расположенных на параллельных прямых
m и n.
Коллинеарные векторы одного направления называются
сонаправленными; коллинеарные векторы противоположных
направлений называются конаправленными.
На рис. 2 изображены коллинеарные векторы, из них -


 
 
 
a  c , a  e , c  e , b  d , векторы одного направления,
сонаправленные,
 
 
 

 

a  d ; b  e ; c  d ; a  b ; d  c  векторы
противоположных направлений, конаправленные.
Два сонаправленных вектора называются равными, если они
имеют равные длины, т.е.
 




m  n  m  n и m  n .
Знак  указывает на справедливость обратного утверждения, а
именно : если два вектора сонаправленные и длины их одинаковы,
то они равны.
5. Свободные и связанные векторы
Определение 1. Вектор, началом которого может служить
любая точка пространства, называется свободным.
Замечания. 1). Выбирая за начало данного вектора
произвольную точку пространства, мы проводим из этой точки
вектор, равный данному, т.е. сонаправленный и такой же длины
(рис. 3).
B
A
Рис. 3.
2). В математике рассматриваются преимущественно свободные
векторы.
Определение 2. Вектор, начало которого строго
фиксированная точка, называется связанным.
Замечания.
1). Начало связанного вектора можно переносить в любую точку
прямой, на которой он располагается (рис. 4).
2). Связанные векторы - сила, скорость тела (точки),
напряжённость поля и др. - это объекты физики, механики,
электрорадиотехники, аэро-гидро-динамики.
A1
B1
A
B
Рис. 4.
A2
B2
Действия над векторами
Над векторами можно производить следующие действия.
1. Сложение
а) Сложение двух векторов можно осуществить по правилам
параллелограмма или треугольника.
Пусть даны два вектора a и b, изображённых на рис. 5.
a
Рис. 5.
Требуется найти их сумму.
По правилу параллелограмма (рис. 6).
Суммарный вектор с
изображается диагональю
параллелограмма,
построенного на данных
векторах как на сторонах.
a
a
Рис. 6.
По правилу треугольника (рис. 7).
Суммарный вектор с есть
третья сторона треугольника, у
a
которого две другие - векторы
слагаемые a и b .



a
Рис. 7.
Величина суммарного вектора с находится по формуле.
Из рис. 6 независимо от правила, т.к. рассматриваем один и тот
же треугольник, имеем :
2

2
2

c  a  b  2 a * b * cos  или
2

2
2

c  a  b  2 a * b * cos(180O  ) 
2

2
2

 c  a  b  2 a * b * cos  

c
2


a
2

 b
2


 2 a * b * cos 
(1)
Здесь a - угол мужду слагаемыми векторами.

Если известны a и , то c можно найти и по теореме
синусов (Рис. 7):



b
a
c


.
( 2)
sin 
sin 
sin 
б) Сложение трёх и более векторов.
Три и более векторов складываются по правилу многоугольника.
Пусть требуется сложить векторы a, b и с изображённых на
рис. 8.
Рис. 8.
Процесс сложения этих векторов показан ниже на рис. 9.
Рис. 9.
Векторы слагаемые располагают так, чтобы начало второго
вектора совпало с концом первого, начало третьего - с концом
второго и т.д.
Суммарный вектор есть вектор, соединяющий начало первого
с концом последнего.
2. Вычитание.
Разность двух векторов находится также по правилу
параллелограмма или треугольника.
Пусть даны два вектора m и n, расположенных как показано на
рис. 10.
m
Рис. 10.
Требуется найти
.
По правилу параллелограмма
(рис. 11, а).
По правилу треугольника
(рис. 11, б).
m
m
а)
б)
Рис. 11.
1. Умножение векторов.
а) Умножение вектора на скаляр.
При умножении вектора на скаляр получается новый вектор,
сонаправленный данному, если скаляр - число положительное, и
конаправленный, если скаляр - число отрицательное, т.е.
 




a * k  b ; b  a  k 0 и b  a  k  0 (рис. 12).
Так, если
и k=2, то
Рис. 12.
б) Умножение вектора на вектор.
10. При умножении вектора на вектор в одних случаях
получается скаляр (число), и такое произведение векторов
называется скалярным; записывается такое произведение так :
, где  - некоторое действительное число, по определению
скалярного произведения оно равно произведению длин векторов
сомножителей на косинус угла между ними, т.е.
 
 
a * b    a * b * cos 
(3)
где  - угол между векторами, который показан на рис. 13

Рис. 13.
20. В других случаях при умножении вектора на вектор может
получиться новый вектор, такое произведение двух векторов
называется векторным. Обозначается оно так :
при этом
вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы сомножители a и b (рис. 14) и его длина

 
c  a * b * sin 
(4)


Рис. 14.
В качестве примера скалярного произведения двух векторов
может служить работа (скаляр), равная произведению силы,
действующей на тело, на его перемещение, т.е.
 
F * S  A  .
Пример векторного произведения - момент силы - произведение
силы на плечо её действия :
 

F *r  M.
Разложение вектора на составляющие
Разложить вектор на составляющие - значит представить его в
виде суммы двух, если он находится на плоскости, и в виде суммы
трёх, если он расположен в пространстве.
Вектор на плоскости
Вектор в пространстве
Рис. 15.

 
c  a  b,
векторы и называются
векторами
составляющими.
Рис. 16.
  
  
d  p  c , но p  a  b , отсюда
   
d  a  b  c.
и
- составляющие.
В прикладных дисциплинах - физике, механике и др. науках довольно часто приходится решать задачи, связанные с
разложением вектора (силы, скорости) на составляющие; по
существу это обратная задача сложению векторов, когда данный
вектор заменяется двумя, тремя векторами.
Замечание.
1. Если на плоскости даны три произвольных неколлинеарных
вектора
то всегда можно подобрать такие два числа m и n,
что будет выполняться равенство:



c  m* a  n *b 
условия компланарности векторов
и
2. Если в пространстве задаются четыре произвольных
неколлинеарных вектора
то существуют такие числа m, n и
k, для которых выполняется равенство:




d  m* a  n *b  k * c 
формула разложения вектора по трём некомпланарным векторам.
3. Практические задачи связаны в основном с разложением
данного вектора или по двум взаимно перпендикулярным
направлениям - горизонтальному (по оси OX) и вертикальному
(по оси OY), или по трём взаимно перпендикулярным
направлениям - двум в горизонтальной плоскости (осям OX и OY) и
одному в вертикальной плоскости (оси OZ).
Компланарные векторы
Два или несколько векторов называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости.
Ясно, что любые два вектора компланарны; три вектора, среди
которых имеются два коллинеарных, также компланарны (объясните
почему), а три произвольных вектора могут быть как
компланарными, так и не компланарными.
Для примера, возмём параллелепипед (рис. 17) и на его рёбрах
построим векторы
C1
B1
A1
D1
B
C
A
D
Рис. 17.
Здесь векторы DB, DB1, DD1 - комплинарны, так как они
лежат в одной плоскости DBB1, комплинарны и векторы DC и DA.
Векторы AA, DC и DB некомплинарны, так как (видно из рис.)
они лежат в одной плоскости.
Рассмотрим признак комплинарности трёх векторов.
Если вектор с можно разложить по векторам a и b, т.е.
представить в виде



c  m * a  n *b,
где
m и n - некоторые числа, то векторы a, b и с комплинарны.
Докажем этот признак.
B1
C
B
O
A
A1
a
Рис. 18.
Будем считать, что векторы a и b не колинеарны (если они
колинеарны, то компланарность векторов a и b и с очевидна).
Отложим от произвольной точки векторы OA=a и OB=c (рис. 18).
Векторы OA и OB лежат в одной плоскости
OAB.

 Очевидно,
что в этой же плоскости лежат векторы OA1  m * OA и


OB1  n * OB, а следовательно, и их сумма - вектор




OC  m * OA  n * OB, равный вектору с. Итак, векторы OA  a ,
 


OB  b и OC  c лежат в одной плоскости, т.е. векторы a, b и с
компланарны.
Проекция вектора на ось.
Проекцией вектора AB на ось называется длина отрезка этой
оси, взятая с соответствующим знаком (+ или -), заключённого
между проекциями начала и конца вектора на заданную ось.
На рис. 19
l - ось проекций;
AB - проектируемый на ось вектор;
 - угол, который вектор AB составляет с осью l;
A1B1 - проекция вектора AB на ось l, что сокращённо можно
записывать так : A1B1=пр1 AB
a
B
A


A1
B2
B1
Рис. 19.
Из рис. 19 имеем:


A1 B1  пр1 AB  AB2  AB * cos 


A1 B1  пр1 AB   AB * cos 
(5)
Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины
данного вектора на косинус угла между осью и вектором.
Скалярное произведение 2-х векторов, его
свойства.
1. Определение. Скалярным произведением двух
векторов a и b называется число, равное произведению
этих векторов на косинус угла между ними, т.е. если
даны 2 вектора и , изображённых a и b на рис. 25, то их
скалярное произведение
 
 
a * b    a * b * cos 

a
Рис. 25.
2. Свойства скалярного произведения
2    
 2 2
0
1.a  a * a  a * a * cos 0  a  a или
2
 2 2
a  a  a (21)
скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора.
 
 
2.ab  a * b  0 ( 22)
- скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных
векторов равно нулю.
   
3.a * b  b * a (23)
- если поменять местами векторы сомножители, то их скалярное
произведение не изменится (переместительный закон скалярного
произведения).
  
   
4.a * (b  c )  a * b  a * c (24)
- при умножении вектора на сумму векторов скалярно,
необходимо умножить скалярно данный вектор на векторы
слагаемые и результаты сложить (распределительный закон).

  
 
5.(m * a ) * b  a * (m * b )  m * (a * b ) (25)
- сочетательный закон по отношению к скалярному множителю m.
6. Скалярные произведения ортов (базовых векторов):
 
2
i *i  i
 1 (см. свойство 1).
 
 
Аналогично j * j  k * k  1
 
 
 
i * j  i * k  j * k  0 (26)
7. Скалярное произведение 2-х векторов, заданных своими
координатами.








Пусть a  x1 * i  y1 * j  z1 * k и b  x2 * i  y2 * j  z 2 * k .
Найдём их скалярное произведение:






 
a * b  ( x1 * i  y1 * j  z1 * k ) * ( x2 * i  y2 * j  z 2 * k ) 
 
 
 
 x1 * x2 * (i * i )  x1 * y2 * (i * j )  x1 * z 2 * (i * k ) 
 
 
 
 y1 * x2 * ( j * i )  y1 * y2 * ( j * j )  y1 * z 2 * ( j * k ) 
 
 
 
 z1 * x2 * (k * i )  z1 * y2 * (k * j )  z1 * z 2 * (k * k ) 
 (см. свойство 6)  x1 * x2  y1 * y2  z1 * z 2 ,
т.е. получили
 
a * b  x1 * x2  y1 * y2  z1 * z2 ,
(27)
- скалярное произведение векторов, координаты которых
известны, равно сумме произведений их одноимённых координат.
Угол между векторами.
При решении прикладных задач - в физике, электронике и т.д. - с
помощью векторо часто приходится находить угол между
векторами. Пусть 2 вектора a и b заданы координатами, т.е.








a  x1i  y1 j  z1k и b  x2 i  y2 j  z 2 k .
Требуется найти угол между ними.
Решение.
Обозначим угол между векторами буквой , который требуется
найти.


Воспользуемся
определением
скалярного
произведения
формулой




a *b
a * b  a * b * cos   cos   
 , но
a *b
 
a * b  x1 * x2  y1 * y2  z1 * z 2  формула (18)

a 

x1  y1  z1 , b 
2
2
2
2
2
x2  y 2  z 2
2
 формулы (130)
cos  
  arccos
x1 * x2  y1 * y2  z1 * z2
2
2
2
2
x1  y1  z1 *
2
x2  y2  z2
x1 * x2  y1 * y2  z1 * z 2
2
2
2
2
2
x1  y1  z1 * x2  y2  z 2
2
2
( 28)
Пример
Найти угол между векторами a (4; -10; 1) и b (11; -8; -7)
Решение.
Для вычисления угла (обозначим его через ) между данными
векторами воспользуемся формулой (28).
cos  
x1 * x2  y1 * y2  z1 * z2
2
2
2
x1  y1  z1 *
x1; y1; z1- координаты вектора a;;
x2; y2; z2- координаты вектора b.;
2
2
x2  y2  z2
2
, где
Подставляя их значения в формулу получим
4 *11  (10) * (8)  1* (7)
117
1
2
cos  



;
2
16  100  1 * 121  64  69 117 * 2
2
2
cos  

2
2 
  arccos
  450
2
4
Векторное произведение 2-х векторов, его
свойства.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется
третий вектор с, определяемый следующим образом.
1. Длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на
синус угла между ними, т.е.



c  a * b * sin 
2. Вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы
сомножители а и b, направление его определяется по правилу
буравчика.
Свойства векторного произведения
 
 
1.a * b  b * a , т.е. (29)
от перемены местами векторов сомножителей векторное
произведение изменяется на противоположное.


 
2.a  b  a * b  0


 
a  b  a * b  0 
(30)
векторное произведение двех коллинеарных векторов равно нулю.




 
3.(ma ) * b  a * (mb )  m * (a * b ) 
(31)
сочетательный закон по отношению к скалярному множителю m.
 

   
4.a * (b  c )  a * b  a * c 
(32)
распределительный закон для векторного произведения вектора на
сумму векторов.
5. Векторные произведения ортов:
 
 
 
i * i  j * j  k * k  0, т.к. это векторные
произведения двух коллинеарных векторов (угол между ними 00)
  
 
  

i * j  k ; k *i  j; j * k  i ;
  
 
  

j * i  k ; i * k   j ; k * j  i . (33)
Доказать эти равенства самостоятельно, используя определение
векторного произведения и принятое в математике их расположение
     
i k ; i j ; j k ;



i  j  k 1

k

i

j
6. Векторное произведение двух векторов, заданных
координатами.
Пусть известны два вектора а и b, которые расположены в
ДПрСК, т.е.
 






a  x1 * i  y1 * j  z1 * k b  x2 * i  y2 * j  z2 * k .


Требуется найти их векторное произведение, т.е. найти a *b.
Решение.






 
a * b  ( x1i  y1 j  z1k ) * ( x2i  y2 j  z2 k ) 
 (воспользуемся свойством распределительности :
суммы векторов умножаются как многочлены) 
 
 
 
 x1 * x2 (i * i )  x1 * y2 (i * j )  x1 * z 2 (i * k ) 
 
 
 
 y1 * x2 ( j * i )  y1 * y2 ( j * j )  y1 * z 2 ( j * k ) 
 
 
 
 z1 * x2 (k * i )  z1 * y2 (k * j )  z1 * z 2 (k * k ) 
     
 (по 5  му свойству : i * i  j * j  k * k  0

    
  
i * j  k , i * k   j , j * i  k ,
        
j *k  i , k *i  j, k * j  i ) 






x1 * y2 k  x1 * z 2 j  y1 * x2 k  y1 * z 2 i  z1 * x2 j  z1 * y2 i 



 ( y1 * z 2  y2 * z1 )i  ( x1 * z 2  x2 * z1 ) j  ( x1 * y2  x2 * y1 )k
Итак, отбрасывая промежуточные операции, получаем :



 
a * b  ( y1 * z2  y2 * z1 )i  ( x1 * z2  x2 * z1 ) j  ( x1 * y2  x2 * y1 )k (34)
или



  
a * b  (c )  X * i  Y * j  Z * k где
X  ( y1 * z2  y2 * z1 ), Y  ( x1 * z2  x2 * z1 ), Z  ( x1 * y2  x2 * y1 )
Формулу (34) можно записать также в символической, легко
заполняемой форме, если воспользоваться понятием определителя
3-го порядка.
  
i j k
  
a * b  c  x1 y1 z1 . (35)
x2 y 2 z 2
Для практических вычислений можно рекомендовать такой
порядок :
1) Составляем таблицу из двух строк и трёх столбцов,
подписывая координаты 2-го вектора (множителя) под
координатами 1 - го вектора (множимого) :
x1 y1 z1
x2 y 2 z 2
(350 )
2) Для получения первой координаты произведения X
закрываем в этой таблице первый столбец и вычисляем
остававшийся определитель 2-го порядка
X 
y1 z1
y2 z 2
 y1 * z 2  y2 * z1 (36)
  
Чтобы получить вторую координату вектора c  a *b ,
закрываем второй столбец и оставшийся определитель берём с
обратным знаком, т.е.
Y 
x1 z1
x2 z 2
 ( x1 * z 2  x2 * z1 )
(37)
Наконец, для получения третьей координаты вектора с
закрываем в нашей таблице третий столбец и берём оставшийся
определитель 2-го порядка со своим знаком, т.е.
Z 
x1 y1
x2 y2
 x1 * y2  x2 * y1 (38)
Примеры.
1) Дано :
       
a  2i  4i  8k b  5i  i  7k
   и вычислить 
Найти a
*b  c
c.
Решение.




 
c  a * b )  X * i  Y * j  Z * k где
X, Y, Z - координаты вектора c. Для их нахождения составляем
таблицу координат векторов - сомножителей
x1 y1 z1
x2 y 2 z 2
X 
Z
48
17
34
51

348
517

 28  8  20; Y  
38
57
 ( 21  40)  19;
 3  20  17.
Таким образов,


   
a * b  c  3i  19 j  17k ;

2
2
2
c  x y z 
9  (19)  (17)  25,8.
2
Пример №2.
Дан  ABC, т.е. A(1; 2; 3), B(3; 4; 5), C(2; 4; 7).
Найти его площадь а величину угла А.
2
Решение.
1. Изобразим произвольно треугольник ABC
B
C
A
n
D
2. Введём векторы AB=m и AC=n.
3. Найдём координаты этих векторов :
 
m  AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )  (2;2;2),


по аналогии n  AC  (1;2;4).
4. Найдём векторное произведение векторов m*n : по формуле (35)
имеем
  
i j k
 2 2  2 2 2 2
  
m*n  p  2 2 2  i *
 j*
k

2 4
14
12
12 4




 4i  6 j  2k , координаты вектора p( 4;6;2).
5. Вычислим длину вектора p

p 
x 2  y 2  z 2  16  36  4 
56.
Длина вектора р численно равна площади параллелограмма,
построенного на векторах m=AB и n=AC как на сторонах, т.е.
получим, что площадь параллелограмма ACDB равна
но
2
56  2 14ед ,
S ABC
S ACDB


2
14ед 2 .
Чтобы определить величину угла А, воспользуемся формулой



p  m * n * sin A

p
sin A  

m*n


2
2
2
2
2
2
p  56 ; m  x1  y1  z1  2  2  2  12.

2
2
2
2
2
2
n  x2  y2  z2  1  2  4  21.
окончательно получаем, что
56
56
2
2
sin A 


 A  arcsin
.
3
3
12 * 21
12 * 21