PPT-2

Лекция 2
ОДНОЧАСТИЧНОЕ
ПРИБЛИЖЕНИЕ
d
1


mv  e E  vB 
dt
c



m  m0 1  v / c
2

2 1 / 2
E
1 A
 e
c t
B  rotA
.
d 

 L /  xi   L / xi
dt 

L  m0 c (1  v / c )
2
(v<<c)
2
2 1/ 2
 evA / c  e
L  mv / 2  evA / c  e
2
.
H   L   pi x i
.
pi  L /  xi
2
 2 2

e


2
H   m0 c  c  p  A    eΦ


c




2
(v<<c)
1 
e 
H
 p  A   eΦ
2m 
c 
dpi / dt  H / xi ,
dxi / dt  H / pi
В случае трансляционной симметрии
pz 
L
.
 m z
.
e
Az  const
c
z
В случае аксиальной симметрии
L
e
p z  .  m   rA  const
c

.
Если поле не зависит от времени
  mc  eΦ  const
2
(v<<c)
mv 2

 eΦ  const
2
B=const, E=0, v=const, m=const, v II  const
d
e
mv   v  B
dt
c
v   ω B r
eB
ωB  
mc
циклотронная
частота
eB
ωB 
mc
Радиус ларморовской окружности
rL  v B
Магнитный момент «ларморовского кружка»
2

mv
JS 1 ev 
2


rL 
c
c 2rL
2B
2

2
mv
μ
B
2B
E=const, E  B
v
E
d

EB 
c
B
2
1

  v
E'   E  v d B / 1 
c

  c
2
d
2
1/ 2



0
FB
v
F
d

FB 
c
eB
2
Адиабатическое приближение
rL B rII B rL E
 B1 B  B1 E
,
,
,...,
,
 1
B x B x B x
B t E t
rII  mcvII / eB
dr
1
 VII h 
dt
B
c E / B  v
2
  eE

V
2
 B

 VII h h 
h  
2 B 
  m
d
dr mV2 B
 eE 
dt
dt
2 B t
d
0
dt
B
h
B
h h 
N
Rc
d
dr mV2 B
 eE 
dt
dt
2 B t

dp II
 eE  B h
dt
dr
1
 VII h 
dt
B
2
  eE

V
2
 B

 VII h h 
h  
2 B 
  m
электрический дрейф
FE  eE
центробежный дрейф
градиентный дрейф
mvII2 N
FN 
Rc
v
F
d
FB  B

FB 
c
eB
2
2
II
4
mcv
B, (B)B
V 
eB
N
d
B
d
V
2

3
mcv
BB

2eB
Случай сильных поперечных электрических полей
v
E II  B,
c
v
 1
c
.
mc
VdW   2 WB 
eB
где
EB 
Wc
B2
.
W
W  r 
   W
t  t 
.
mc E
2
B=B0
dr
 VdE 
dt
eB 2
A  B0 ye x
   E 0 / k  cos kx   E y y
..
.
x   sin x  y
..
.
y  Vdr  x
I
Адиабатические инварианты
 p  p1 ,..., pn ;    t 
Функция Гамильтона H  p, q,  
осциллирующей динамической системы, зависящей от
медленно меняющегося параметра   t, содержит время t и
не
сохраняется.
Функция
J(p,q,)
называется
адиабатическим инвариантом системы, если при малых 
величина J(t)= J[p(t),q(t),(t)] мало меняется за время t1/
(изменения  и H при этом конечны). При фиксированном 
проходящие через p0, q0 линии уровня энергии
H  p, q,    H  p0 , q0 ,   ограничивают некоторую
область,
площадь которой 2I  p0 , q0 ,  
и есть адиабатический
J (t )  J [ p(t ), q(t ),  (t )]
инвариант, где
- переменная
действия или действие. Из адиабатической инвариантности
величины не следует, вообще говоря, что она мало меняется
за неограниченное время при фиксированном малом . Это
связано с возможностью накопления малых изменений
адиабатического инварианта.
Магнитные ловушки
E=0, B / t  0
  rL / L  1
v
питч-угол

B

v II  v  2B / m
2

1/ 2
vII=0, =/2, v=v
Области сильного магнитного поля
называются магнитными зеркалами или
магнитными пробками
   cr  arcsin Bmin / Bmax 1 / 2
Если ,
угол раствора конуса потерь
   cr частица уходит из ловушки

pdq


- адиабатический
инвариант
Эффективная потенциальная энергия U=B
Магнитное поле Земли как магнитная ловушка,
движение частиц в радиационных поясах Земли
Вращение вокруг силовой
линии магнитного поля
 1  2B1
колебания между пробками
2
дрейф в неоднородном
магнитном поле вокруг
оси ловушки
3
 1   2   3
Три адиабатических инварианта
I1  
(1-й инвариант)
 B l  
I 2  2mv 1  2  dl
Bmax 
1
2
(2-й инвариант) I 2   p II dl
I 3   A rd
(3-й инвариант)
т.к.
2
L
.
e
e
p z  .  m   rA  const , m   rA
c
c

.
1/ 2
Радиационные пояса Земли
Проблемы удержания частиц в магнитных ловушках
Токамак
Шир
магнитного
поля
Стелларатор
Точность сохранения
адиабатических инвариантов
Критерий Арнольда
Опыты Родионова
  rL / Rc   cr
Нелинейный резонанс продольных колебаний между
магнитными пробками и ларморовским вращением
_
_
  2n

- усредненная по продольным
колебаниям ларморовская частота,
 - частота продольных колебаний
n - порядок резонанса
 1   2  n  1
Отдельные нелинейные резонансы (в отличие от
линейного случая параметрического резонанса) приводят _
лишь к ограниченным колебаниям и сохранению частот , 
Эти колебания называются фазовыми.

 
 A exp   sin 0

 
A – множитель, зависящий от параметра системы
0
- фаза вращения по ларморовскому кружку в
момент прохождения через медианную плоскость
 - функция 0
Вдали от резонансов 0
быстро изменяется (размешивание по фазам) и изменения  не накапливаются.
При наличии резонанса величина  испытывает большие, но ограниченные (из-за
нелинейности) колебания.
Переход движение от динамического
к стохастическому.
В аксиально-несимметричной
магнитной ловушке
Диффузия Арнольда
2
D    / 
  2n  m d  0
D  exp  exp b /  
 зависит от параметров системы частица-поле, b - от питч-угла частицы