практика 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА 2015

Основные формулы
n
Принцип суперпозиции электростатических полей
Напряженность поля:
точечного заряда
E
q
40 r 2

E
20 r

равномерно заряженной
E

плоскости
2 0
между двумя заряженными

E
бесконечными
0
параллельными плоскостями
бесконечно длинной
заряженной нити
Линейная плотность
зарядов
Объемная плотность
зарядов
Поверхностная плотность
зарядов
dq
 ,
dl
dq

dV
dq

,
dS
  i
E   Ei
i 1
Потенциал поля:
q
создаваемый точечным  
40 r
зарядом
металлической полой сферы радиусом
R на расстоянии r от центра сферы
q
при r ≤ R

40 R
при r > R

q
40 r
Работа перемещения
заряда в электрическом
поле из точки 1 в точку 2
2
A  q  Ei dl
A  q(1  2 )
1
Связь между напряженностью
E
и потенциалом
Электрический момент диполя p
Момент сил, действующий со
стороны внешнего поля
  grad ,


p  ql
 

 
M  p, E
1.
Два точечных заряда q1 = 1 нКл и q2 = – 2 нКл находятся в воздухе на
расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал  поля,
создаваемого этими зарядами в точках:
а) А – удаленной от заряда q1 на расстояние r1 и от заряда q2 на расстояние r2;
б) В и С – находящихся на прямой, проходящей через заряды q1 и q2 и расположенных:
точка В на расстоянии r3 от заряда q2 к заряду q1, точка С на расстоянии r4 от заряда q1
Решение:
а)
N
E   Ei
БЛОК 1 СУПЕРПОЗИЦИЯ

E1
i 1
A

E1 C
r1

E2
r4
d
q1

E2
 
B E1 E 2
r2
r3

EA
q2
E
E1 
E2 
E A  E12  E22  2 E1 E2 cos 
q
40r 2
q1
40r12
q2
40 r22
1.
cos  
r12
 r22
1
EÀ 
40
2r1r2
  i
q1
40 (d  r3 )
q1
2

q1  q2
q12 q22
 4  2 2 2 cos 
4
r1
r2
r1 r2
q1
q2
А 

40r1 40r2
q

40r
б)
EB 
d
2
q2
4 r
2
0 3
;
q2
q1
B 

40 (d  r3 ) 40 r3
q2
q2
q1
EC 

; C 

2
2
40 r4 40 (d  r4 )
4 0 r4 4 0 (d  r4 )
Три концентрических проводящих сферы
радиусом R, 3R и 5R
находятся в вакууме. Внутренняя сфера имеет заряд q, внешняя 2q.
Определить заряд средней сферы, если известно, что она заземлена.
2.
Решение:
0  1  2  3

,
q
q
40 r
qx
2q
0


40 3R 40 3R 40 5 R
1 2
q x  3q    2,2q
3 5
3R
5R
R q
2q
3.
Тонкий стержень длины l равномерно заряжен зарядом –q. Найти потенциал и
напряженность в точке С, лежащей на оси стержня на расстоянии от середины
стержня x0.
Решение:
l
q
dq  dx
l
d 
C
dx
dq
x0
40 r
r  x0  x
l
q
2
x0  l
dx
q
2


ln

40l  l x0  x 40l x 0  l
2
2
x
3.
l
C
d
Ex  
dx0
dx
x0
E y  Ez  0

q
40l
ln
x0  l
2
x0  l
2


d
q  1
1 
Ex  


dx0 40l  x0  l
x0  l 
2
2

x
4.
Тонкий стержень длины l равномерно заряжен зарядом –q. Найти потенциал и
напряженность в точке С, лежащей на оси стержня на расстоянии от середины
стержня x0.
Решение:
l
q
dq  dx
l
d 
C
dx
dq
x0
40 r
r  x0  x
l
q
2
x0  l
dx
q
2


ln

40l  l x0  x 40l x 0  l
2
2
x
4.
l
C
d
Ex  
dx0
dx
x0
E y  Ez  0

q
40l
ln
x0  l
2
x0  l
2


d
q  1
1 
Ex  


dx0 40l  x0  l
x0  l 
2
2

x
5.
Найти силу действующую на заряд q0
длинной l, зарядом q.
со стороны заряженного стержня
Решение:
q
dq  dx
l
dF 
q0
q0 dq
dF 
4 0 r 2
l
dx
4 0l 0 ( 3 l  x ) 2
0
2
3
r  l  x0
2
6.
Тонкий стержень длины l равномерно заряжен зарядом q. Найти потенциал и
напряженность в точке С, лежащей на расстоянии l от конца стержня.
Решение:
q
dq  dx
l
d 
dq
40 r
2
l
r  l  ( x0  )
2
2
l

q
2
4 0l l
dx
2
l
l  ( x0  )
2
2
2
6.
d
E
dx0
l

q
2

4 0l  l
dx
2
l
l  ( x0  )
2
2
2
7.
Найти потенциал в точке С, отстоящей на расстоянии l от стержня согласно
рис. Длина стержня l, заряд q.
Решение:
q
dq  dx
l
d 
dq
40 r
2
l
r  l  ( x0  )
2
2
l

q
4
4 0l 3l
dx
2
l
l  ( x0  )
2
2
4
8.
Найти напряженность поля в центре окружности, если поле создается 2-мя
заряженными дугами, согласно рисунка
1)dl1  Rdl
dq   dl1  R d
d E  d Ex  d E y
dE 
kdq
R2
 dE
x
0
l
k Rd
k
dE y  dE cos  
cos  
cos  d
2
R
R

k
E
R
6
 cos  d

6
В
одной плоскости с бесконечной заряженной нитью с линейной
плотностью  под углом  к нити расположен тонкий стержень длины l, по
которому равномерно распределен заряд q. Расстоянии от середины стержня
до нити x0. Найти силу, действующую на стержень при предельных углах 0 и 90.
9.

Er 
20 r
Решение:

,

O
dl

dF
x
dx
q
dq  dl
l
 
dF  Edq
dx
dl 
sin 
qdx
dF 
20 xl sin 
x
x0
 2 sin
 
 
sin 
dx
q
2
F

ln

20l sin  x  l sin x 20l sin  x0  l sin 
0
2
2
q
x0  l
x0  l
Три точечных заряда q, q, -2q расположены в вершинах
равностороннего треугольника со стороной a. Определите максимальное
значение напряженности и потенциала на расстоянии r>>a.
10.
Решение:
q

p1
2q
a
l

q
-2q
a
3
la
2


p  Ql
p  qa 3

p2
1

p
2
1   2   2   6
p  2 p1 cos    qa 3
 2
10.
A
E

r

l
-q


p
p
40 r 3

q
1  3 cos 2 
p
40 r
2
cos 
=0
Emax
2p

40 r 3
 max 
p
40 r 2
11. Положительные заряды q1 и q2 находятся на расстоянии r1 друг от друга в вакууме.
Определите работу А, которую нужно совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r2
Решение:
БЛОК 2 ЭНЕРГИЯ И РАБОТА
A  q(1  2 )  q(2  1 )
A   A
1 
q1
40 r1
2 
q1
40 r2
q1q2  1 1 
  
A 
40  r2 r1 
12. Найти потенциальную энергию системы трех точечных зарядов q, 2q, -3q:
а) расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной a;
б) расположенных на одной линии на расстоянии a друг от друга.
Определить работу внешних сил, которую нужно затратить, чтобы преобразовать одну
систему в другую
q
Решение:
а)
q 2q q(3q) 2q(3q)
7q 2
W1 



40 a 40 a
40 a
40 a
б)
q 2q
q(3q) 2q(3q)
11q 2
W2 



40 a 40 2a
40 a
80 a
a
2q
q
a
a
a
-3q
2q a -3q
11q 2
7q 2
3q 2
A   A  (W1  W2 )  W2  W1  


80 a 40 a 80 a
13.
Найти работу по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2, находящиеся на
расстоянии l между двумя разноименными заряженными параллельными плоскостями
с плотностью заряда .

Решение:
1 способ
2 способ
A  q(1  2 )
A  Fr cos 
1  2  El
r cos   l

E
0
F  qE

Aq l
0
1
q
l

F

2
-
4.1. Диполь с электрическим моментом p находится в однородном
электрическом поле напряженностью E.
Вектор p составляет с
направлением силовых линий угол  Определите произведенную
внешними силами работу по повороту диполя на угол  по направлению к
силовым линиям
14.
Диполь с электрическим моментом p находится в однородном электрическом
поле напряженностью E. Вектор p составляет с направлением силовых линий угол 0.
Определите произведенную внешними силами работу по повороту диполя на угол  по
направлению к силовым линиям.
Решение:
q
E
q

0
p
1 способ
-q
A  W2  W1
W   pE cos 
A  pE (cos  0  cos  )
E
p
-q
2 способ
dA  Md  pE sin d

A  pE  sin d  pE (cos  0  cos  )
0
6.1. Три концентрических проводящих сферы
радиусом R, 2R и 3R
находятся в вакууме. Внутренняя сфера имеет потенциал  , внешняя -2.
Определить заряд средней сферы, если известно, что она заземлена.
Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 и R2 несут
соответственно заряды q1 и -q2 Найти напряженность Е поля в точках,
отстоящих от центра сфер на расстояниях r1, r2, r3. Построить график Е (r).
15.
Решение:
Е3
БЛОК 3 ТЕОРЕМА ГАУССА
1. Область I (r1 < R1):
q2
E1 r   0
 E dS  0
n
q1 ;
S1
2. Область II (R1 < r2 < R2):
 En dS 
S2
q1
0
q1
Е2 
0 S2
E2 r  

III
R2
S1
0
S2
q1
40 r
r1
I
II
q1
q1
E2 
40 r22
2
Е2
S3
r3
R1
r2
15.
3. Область III (r3 > R3):
Е3
q1  q2
E3 
40 r32
Е2
q2
q1 ;
Учтем, что q2 < 0
E3 
III
q1  q2
S2
q1  q2
40 r
R2
S1
40r32
E3 r  
r1
I
II
2
S3
r3
R1
r2
15.
функция E (r) в точках r = R1, r= R2 терпит разрыв.
E
0
R1
R2
r
Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом
R = 1см,
равномерно заряженным с линейной плотностью  = 20 нКл/м. Определить
разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях
0,5 см и 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.
16.
Решение:
d
E
dr
r2
 2  1    Edr
r1

E
20 r
 ; dr

r2
 2  1  

ln

20 r r
20 r1
r2
1
r1  R  a1  1,5см r2  R  a2  3см
1  2  250В
11.1 На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной
плотностью  = 10 нКл/м. Найти потенциал , созданный распределенным зарядом в
точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на
расстояние l. Определите также работу по перемещению заряда из точки A в точку
В, которая расположена на расстоянии l справа от стержня.
Электрическое поле создано длинными коаксиальными цилиндром
радиусом R, равномерно заряженным с объемной плотностью  = ar и
внешним цилиндром радиусом 5R с поверхностной плотностью . Определить
распределение напряженности поля (построить качественный график) и
разность потенциала между точками: 1 (R/2) и 2 (R), 3 (3R) и 4 (5R), 4 (5R) и
5 (10R).
17.
Решение:
1. Напряженность
R
5R
1.1 Гауссова поверхность r<R
;
2rlE1 
1
0
r
1
r
  (r )dV    ar 2rldr
0 0
0
ar 2
E1 
3 0
 = ar
12.1 Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной
нити, если работа сил поля по перемещению заряда q = 1 нКл с расстояния
r1 = 5 см до r2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.

17.
1.2 Гауссова поверхность R<r<5R
R
q1   ar 2rldr
R
5R
0
2rlE 2 
1
0
R
1
R
  (r )dV    ar 2rldr
0 0
0
3
aR
E2 
3 0 r
;
 = ar

17.
1.3 Гауссова поверхность r>5R
2 rlE3 
1
0
R
1
0
0
  (r )dV  
R
q1   ar 2rldr
 2 Rl 
1
0
q2   10Rl
0
R
1
0
0
 ar 2 rldr  
q1
R
aR
5R
E3 

3 0 r  0 r
 2 Rl
5R
3
q2
 = ar

17.
2. Разность потенциалов
2.1 при r<R
r2
    Edr
r1
R
2
 ( R 2)   
0
R
ar 2
aR3
dr  
C
3 0
72 0
2
3
r2
2
ar
   
dr
3 0
r1
R
5R
1
ar
aR
 ( R)   
dr  
C
3 0
9 0
0
7aR 3
 21  
72 0
2
 = ar

17.
2.2 при R<r<5R
r2
aR 3
aR 3 r2
   
dr  
ln
3 0 r
3 0 r1
r1
R
4
5R
3
aR 3 5
 43  
ln
3 0 3
 = ar
5

17.
2.3 при r>5R
R
4
5R
3
 aR 3 5R 
aR 3  15R r2
dr  
    

ln
3 0 r  0 r 
3 0
r1
r1 
r2
 = ar
aR 3  15R 10 R
aR 3  15R
54  
ln

ln 2
3 0
5R
3 0
5

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Электрическое поле. Основные характеристики.
Потенциал и его связь с напряженностью. Работа электростатического поля и теорема о
циркуляции.
Поток вектора напряженности и теорема Остроградского – Гаусса в вакууме и веществе. Вектор
электрического смещения.
Дифференциальные формы основных законов электростатики.
Граничные условия для вектора напряженности
Метод точечных зарядов. Пример.
Электроемкость. Конденсаторы. Метод эквивалентного конденсатора.
Электрический диполь.
Проводники в электрическом поле.
Диэлектрики в электрическом поле. Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики.
Характеристики поля в веществе. Диэлектрические параметры.
Энергия и плотность энергии электрического поля.
Электрический ток. Основные законы. Уравнение непрерывности.
Электронная теория проводимости
Эквивалентные цепи. Правила Кирхгофа.
Законы Ома и Джоуля – Ленца в интегральном и дифференциальном виде.
Электрический ток в вакууме и газах, газовые разряды. Эмиссия.
Электрический ток в электролитах.
Контактные и термоэлектрические явления
Магнитное поле и его свойства. Закон Био-Савара-Лапласа.
Контур с током в магнитном поле. Работа при перемещении замкнутого контура в магнитном
поле. Взаимодействие элементов тока.
Магнитное поле и его свойства. Силовая характеристика магнитного поля. Поток. Теорема
Гаусса для магнитного поля. Примеры.
Закон Био – Савара – Лапласа. Пример. Закон полного тока. Пример.
Движение заряженной частицы в магнитном поле. Сила Лоренца. Эффект Холла
Явление само- и взаимоиндукции. Правило Ленца. Токи при размыкании и замыкании
цепи.Трансформаторы. Применения явления электромагнитной индукции
Магнитном поле в веществе. Намагниченность. Восприимчивость. Проницаемость.
Классификация магнетиков.
Теория магнетизма. Диамагнитный эффект. Вектор намагниченности. Теорема о циркуляции.
Работа и энергия магнитного поля. Индуктивность.
Уравнения Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения.
Уравнения Максвелла. Физический смысл. Следствия.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРАКТИКИ ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
1. Явление электростатической индукции
2. Индуцированные заряды
3. Свойства проводников в электрическом поле
4. Электрическая емкость
5. Плоский конденсатор
6. Сферический конденсатор
7. Цилиндрический конденсатор
1. Метод точечных зарядов ВАРИАНТ 1.
2. Три одинаковых положительных заряда Q1=Q2=Q3=1 нКл расположены по
вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q4 нужно
поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны
уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
3. На отрезке прямого провода длиной l равномерно распределен заряд с линейной
плотностью . Определить потенциал в точке С, расположенной на расстоянии l от
середины отрезка и перпендикулярно ему.
1. Основные параметры электростатического поля и связь между ними. ВАРИАНТ 2.
2. Два точечных заряда Q1 =1 мкКл и Q2 =−1 мкКл расположены на расстоянии l = 0,1 м .
Определить силу F , действующую на точечный заряд Q0 = 0,1 мкКл , удаленный на
расстояние x1 = 0,06 м от первого и x 2 =0,08 м от второго заряда.
3. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью  .
Определить потенциал в точке С, расположенной на расстоянии l от торца и перпендикулярно
отрезку.
1. Потенциал. Работа. Энергия. ВАРИАНТ 3.
2. Четыре точечных одинаковых заряда Q=10 нКл размещены по вершинам квадрата
со стороной b = 0,1 м (рис). Заряды в вершинах 1 и 2 – положительные, а в
вершинах 3 и 4 – отрицательные. Определить: 1) напряженность электрического
поля в центре квадрата; 2) потенциал в той же точке поля.
3. Бесконечная равномерно заряженная плоскость имеет поверхностную плотность
электрических зарядов  = 91 мкКл/м2. Над ней находится медный шарик с зарядом 4
мкКл. Какой радиус r должен иметь шарик, чтобы он парил над плоскостью?
1. Циркуляция. Поток. Метод Остоградского-Гаусса. ВАРИАНТ 4.
2. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных зарядов Q1 = 10 нКл, Q2 = 20 нКл
и Q3 = – 30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной а =
10см.
3. В одной плоскости с бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (τ) расположен
стержень под углом α=30o к нити. Стержень считать заряженным равномерно зарядом Q2,
длина стержня l0 . Расстояние от нити до ближайшей точки стержня x0. Определить силу F ,
действующую на стержень.
1. Метод точечных зарядов ВАРИАНТ 1.
2. Три одинаковых положительных заряда Q1=Q2=Q3=1 нКл расположены по
вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q4 нужно
поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны
уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
3. На отрезке прямого провода длиной l равномерно распределен заряд с линейной
плотностью . Определить потенциал в точке С, расположенной на расстоянии l от
середины отрезка и перпендикулярно ему.
1. Основные параметры электростатического поля и связь между ними. ВАРИАНТ 2.
2. Два точечных заряда Q1 =1 мкКл и Q2 =−1 мкКл расположены на расстоянии l = 0,1 м .
Определить силу F , действующую на точечный заряд Q0 = 0,1 мкКл , удаленный на
расстояние x1 = 0,06 м от первого и x 2 =0,08 м от второго заряда.
3. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью  .
Определить потенциал в точке С, расположенной на расстоянии l от торца и перпендикулярно
отрезку.
1. Потенциал. Работа. Энергия. ВАРИАНТ 3.
2. Четыре точечных одинаковых заряда Q=10 нКл размещены по вершинам квадрата
со стороной b = 0,1 м (рис). Заряды в вершинах 1 и 2 – положительные, а в
вершинах 3 и 4 – отрицательные. Определить: 1) напряженность электрического
поля в центре квадрата; 2) потенциал в той же точке поля.
3. Бесконечная равномерно заряженная плоскость имеет поверхностную плотность
электрических зарядов  = 91 мкКл/м2. Над ней находится медный шарик с зарядом 4
мкКл. Какой радиус r должен иметь шарик, чтобы он парил над плоскостью?
1. Циркуляция. Поток. Метод Остоградского-Гаусса. ВАРИАНТ 4.
2. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных зарядов Q1 = 10 нКл, Q2 = 20 нКл
и Q3 = – 30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной а =
10см.
3. В одной плоскости с бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (τ) расположен
стержень под углом α=30o к нити. Стержень считать заряженным равномерно зарядом Q2,
длина стержня l0 . Расстояние от нити до ближайшей точки стержня x0. Определить силу F ,
действующую на стержень.