Тема №3: Потенциальное векторное поле.

Тема №3: Потенциальное векторное поле.
• Потенциал электрического поля,
эквипотенциальные поверхности. Работа сил
электрического поля. Циркуляция вектора
напряженности электростатического поля по
замкнутому контуру.
• Формулы для напряженности и потенциала
точечного заряда, бесконечной равномерно
заряженной прямой линии, бесконечной
равномерно заряженной плоскости. Связь
между напряженностью и потенциалом.
Понятие градиента скалярного поля.
Формула для работы сил поля при
перемещении заряда.
Потенциальность электростатического поля
Работа определяется только расстояниями от источника
до начальной и конечной точки траектории. Такое
силовое поле в механике называется потенциальным.
2
Qq Qq
A12   dA  k (

)
r1
r2
1
AL   F  dl  q  El dl  0
L
L
Циркуляция векторного поля
Интеграл по любому замкнутому контуру от проекции вектора
напряженности электростатического поля на касательную к контуру
тождественно равен нулю.
Циркуляция определяется следующим образом. В каждой точке
контура L берется проекция вектора E на касательную к этому
контуру и интегрируется вдоль всего контура:
•
E
dl

0
l

L
Градиент скалярной функции координат
Градиент функции, зависящей от координат (x,y,z) это вектор, декартовы компоненты которого являются
пространственными производными функции f :
f
f
f
grad f (r ) 
i
j
k
x
y
z
Напряженность электростатического поля – (с
точностью до знака) может быть истолкована как
градиент некоторой функции координат, называемой
потенциалом электростатического поля
E(r )   grad  (r )
Потенциал поля в данной точке наблюдения численно
равен потенциальной энергии пробного заряда, помещаемого
в данную точку, отнесенной к величине этого заряда
Q
 (r )  ke
r
W (r )
 (r ) 
q
Чтобы найти разность потенциалов между двумя
точками, достаточно проинтегрировать модуль
напряженности электростатического поля по любой
силовой линии между эквипотенциальными
поверхностями, которым принадлежат эти две точки
 (r1 )   (r2 ) 
2
E
l
1
dl
• Рассмотрим в пространстве, где имеется
электростатическое поле, мысленную поверхность,
перпендикулярную его силовым линиям. На этой
поверхности, очевидно, касательная к ней
компонента Е равна нулю. Следовательно
потенциалы всех точек этой поверхности одинаковы.
Такие поверхности называются
эквипотенциальными
Поле равномерно заряженной бесконечной

E

плоскости
2 0
 - поверхностная плотность заряда.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии
x
x
x1 и x 2 от плоскости


x2  x1 
1   2   Edx  
dx 
2 0
2 0
x
x
2
2
1
1