ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Чужков Юрий Петрович Доцент каф. физики
реклама
ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Чужков Юрий Петрович Доцент каф. физики Канд. физ.мат. наук Тема занятий 1. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия 2. Потенциал. Разность потенциалов 3. Связь между напряженностью и потенциалом 4. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности 5. Вычисление потенциалов простейших электростатических полей 6.Решение задач Напряженность и потенциал Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электростатическое поле. Нами была рассмотрена одна из характеристик электростатического поля – напряженность поля E F E q Напряженность электростатического поля равна силе, действующей в данной точке на помещенный в нее пробный единичный заряд Напряженность поля – силовая характеристика поля; векторная величина Другой характеристикой электростатического поля является потенциал –энергетическая характеристика. Работа сил электростатического поля • В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q0 действует сила qq 1 F F 40 r 0 2 e 2 dr 1 α +q0 r r1 dl r2 dA Fdl Fdl cos Fdr dl cos dr +q qq0 dA 2 dr 40 r 1 Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу r2 qq0 dr qq0 1 1 A12 F 2 40 r1 r 40 r1 r2 2 dr 1 α +q0 r r1 +q dl Работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения r2 Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально. Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю dA 0 L Теорема о циркуляции вектора E . Потенциальная энергия. Потенциал. Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль потенциальной энергии A12 W1 W2 qq0 qq0 A12 40 r1 40 r2 Сопоставляя формулы для работы, получаем выражение для потенциальной энергии заряда q0 в поле заряда q qq0 W 40 r 1 Потенциал. Разность потенциалов q1 q2 q0 q4 q3 Если поле создается системой n точечных зарядов q1 ,q2 ,….qn , то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q0 , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия Wзаряда q0 в этом поле равна сумме потенциальных энергий каждого из зарядов n n i 1 i 1 W Wi q0 qi 40 ri Отношение W/q0 не зависит от q0 и является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом: W q0 Потенциал электростатического поля – скалярная величина Задача 1 В вершинах правильного шестиугольника со стороной 0,1 м расположены точечные заряды в следующей последовательности: q1 = - 2 нКл; q2 = +4 нКл; q3 = +7 нКл; q4 = - 6 нКл; q5 = - 5 нКл; q6 = + 3 нКл Определить потенциал в центре шестиугольника (в точке 0). q1 =-2нКл q1 =-2нКл q3 = +7 нКл q6 = + 3 нКл 0 q5 = - 5 нКл q4 = - 6 нКл Варианты ответов: 1) 38 В; 2) 72 В; 3) 90 В; 4)124 В Задача 1 qi k i ri qi 40 i ri 1 Решение: k = 9∙109 9 10 9 2 4 7 6 5 3 10 9 q1 = - 2нКл q1 = + 4нКл q3 = +7 нКл q6 = + 3 нКл 0 q5 = - 5 нКл q4 = - 6 нКл Варианты ответов: 1) 38 В; 2) 72 В; 3) 90 В; 4)124 φ = 90В Задача2 Задача 2 В вершинах правильного шестиугольника со стороной 0,1 м расположены точечные заряды в следующей последовательности: q1 = - 5 нКл; q2 = +4 нКл; q3 = -2 нКл; q4 = +3 нКл; q5 = - 4 нКл; q6 = -2 нКл Определить направление вектора Е в центре шестиугольника (в точке 0 q1 = - 5 нКл q2 = +4 нКл q3 = -2 нКл q6 =-2нКл q5 = - 4нКл Варианты ответов: 1) вверх; 3) вниз; 2) вправо; 4) влево q4 = +3 нКл Задача 2 Решение q1 = - 5 нКл q2 = +4 нКл q3 = -2 нКл q6 =-2 нКл q5 = - 4нКл q4 = +3 нКл W q0 Потенциал. Разность потенциалов Потенциал φ в какой- либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен 1 q 4 0 r Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности qi 40 i ri 1 Потенциал. Разность потенциалов Физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому принято считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю. Когда говорят “потенциал такой - то точки” – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность. Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками: A12 W1 W2 q1 q 2 q1 2 Если перемещать заряд q0 из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля A q0 Потенциал. Разность потенциалов A q0 Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля на бесконечность. A q0 Формулу можно использовать для установления единиц потенциала. За единицу φ принимают потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице. В системе СИ единица потенциала 1В = 1Дж/1Кл Связь между напряженностью и потенциалом F 2 dr 1 α +q0 r r1 dl r2 Работа, совершенная силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке, равна dA Fl dl El qdl С другой стороны dA qd +q d E dl В трехмерном пространстве E grad E i j k y z x Знак минус говорит о том, что вектор напряженности поля направлен в сторону уменьшения потенциала. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности • Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением E . • Напряженность равна разности потенциалов на единицу длины силовой линии. • В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Эквипотенциальная поверхность – поверхность, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности E E E E -q +q E +q φ = const E E E Расчет потенциалов простейших электростатических полей Применение теоремы Остроградского – Гаусса позволило получить формулы расчета напряженности поля для тел простейшей формы. Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля 2 x2 1 x1 d Edx EdS q S E x2 1 2 Edx x1 Приведем примеры расчета потенциалов простейших полей. i i 0 d dl Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости σ > 0 E E φ E 2 0 x1 x2 x2 x1 x1 1 2 Edx 1 2 0 x2 dx 2 0 x2 x1 2 0 x Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей σ>0 σ<0 d E 0 φ 0 x2 1 2 Edx x1 1 2 x1 x2 x x2 x1 d 0 dx 0 x2 - x1 = d Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра E λ> 0 1 2 0 r R r>R E r2 r1 r1 1 2 Edr dr 20 r r2 1 2 ln 20 r1 φ r<R φ r = R r1 E=0 1 2 E 0 r2 r2 r 1 ln 20 R Внутри цилиндра напряженность поля равна нулю, т.к. нет зарядов (заряды – на поверхности ) Поле равномерно заряженной сферической поверхности q E 40 r 2 q> 0 R E φ φ ~ 1/r E 0 1 2 r2 R, r2 r1 1 2 rR E ~ 1/r2 r1 r2 r2 1 r dr 40 r 2 r1 q 40 R r1 r r2 q q 1 1 40 r1 r2 R 0 1 q 4 0 r Поле объемно заряженного шара ρ 3q 4R 3 E R Внутри шара r<R φ ~ 1/r E~r 0 E На поверхности и вне шара E ~ 1/r2 R Разность потенциалов шара r 3 0 r2 3 2 80 R 3q 8 0 R 4 0 R 3 q φ E qr 1 q 40 r 2 1 q 4 0 r r q r r1 1 2 2 40 2 R 3 2 2 Выводы из полученных соотношений: С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей. Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через замкнутую поверхность. Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат. Линии напряженности поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Спасибо за внимание!
