8. Энергия электрического поля

Лекция № 8
Энергия электрического поля
Электрический ток
Алексей Викторович
Гуденко
30/10/2014
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Электрическая энергия системы зарядов.
Электрическая энергия проводника и
конденсатора.
Энергия электрического поля.
Постоянный электрический ток.
Закон Ома
Закон Джоуля-Ленца
Переходные процессы в цепях с конденсатором
Демонстрации

Плоский конденсатор
Взаимная энергия системы зарядов


Энергия взаимодействия двух зарядов:
1
W  q1 21  q212  (q1 21  q212 )
2
Энергия взаимодействия системы зарядов:
qi q k
1
W  
2 i  k rik

Для непрерывного распределения зарядов:
1
W    (r ) (r )dV
2V
Энергия заряженного шара.
Энергия плоского конденсатора

Металлический шар:
1
q2
WR  q 
2
2R

Плоский конденсатор:
1
1
q q 2 C 2
WC  (q11  q2 2 )  q(1   2 ) 


2
2
2
2C
2
Плоский конденсатор



Ёмкость: C  q / 
Плоский конденсатор – две близко
расположенные пластины с зарядами q и –q
Поле в конденсаторе: E  4 / 
4d

Напряжение на конденсаторе   Ed 

Ёмкость конденсатора: C  q /   S
4d

4qd

S
Плоский конденсатор


Ёмкость плоского
конденсатора:
+q
S
C
4d
Единицы измерения ёмкости:
C  q / 
[C ]  Ф(Фарада)
Кл 3  10 9
1Ф 

 9  1011 см 
В 1 / 300
1
12
1см 
Ф

10
 1пФ
11
9  10
E
-q
d
Плотность энергии в конденсаторе
q SEd 4SEd DE
WC 



V  wV
2
2
8
8
2
DE E
w

8
8
Энергия электростатического поля





div (D)  D  divD   DE  divD



1
divD
divD  4  divD  4   

2
8

1
1
W   dV 
divDdV 

2V
8 V


1 
1
DE
DEdV 
div (D)dV  
dV   wdV


8 V
8 V
8
V
V
Энергия электростатического поля

Плотность энергии:

DE
w
8

 
 div(D)dV   DdS  0
V
 ~ 1 / r; D ~ 1 / r 2 ; D ~ 1 / r 3 ; S ~ r 2  (DS ) ~ 1 / r  0


 

2
DE ( E  4P) E E
PE
w



8
8
8
2
Энергия заряженного шара


Шар, равномерно заряженный по поверхности:


R
E2
1
q 2
q2
2
W   wdV  
dV 
( 2 ) 4 r dr 

8
8 0 r
2R
R
r
Шар, равномерно заряженный по объёму:
W  W (r  R)  W (r  R)
r  R  Wr  R
r  R  Wr  R
R
R
R


R
2
E2
1
qr 2
q
2
  wdV  
dV 
(
)
4

r
dr 
3

8
8 0 R
10 R
0
0
2
E2
1
q 2
q
2
  wdV  
dV 
(
)
4

r
dr 
2

8
8 0 r
2R
R
r
q2
q 2 3q 2
W


10 R 2 R 5R
Постоянный электрический ток





Электрический ток – это упорядоченное движение
зарядов.
Сила тока – количество заряда, переносимого
через сечение проводника в единицу времени: I =
dq/dt
Плотность тока – количество заряда, переносимого
в единицу времени через единичную площадку: j =
dI/dS
j = enu – e - заряд носителя, n – концентрация, u –
средняя скорость упорядоченного движения
(дрейфовая скорость)
Для медных проводов технически допустимая
плотность тока j = 10 А/мм2
Закон Ома


Дифференциальная форма:
плотность тока пропорциональна
напряжённости электрического поля
j = λE = (1/ρ)E,
λ – проводимость среды
ρ – удельное сопротивление
Интегральная форма:
I = U/R,
R = ρℓ/S – сопротивление проводника
Удельное сопротивление меди







ρ ~ 1,7 10-6 Ом см =
Оценка λ = 1/ρ ~ ne2τ/m ~ 4 1017 c-1 =
n ~8,5 1022 см-3
τ ~ 100а/v ~ 2 10-6/108 = 2 10-14c
me = 9.11 10-28 г
5 км медного провода d = 1см имеет
сопротивление R = 1 Ом
1 м толщиной d ~ 0,1мм – 2 Ом
Сопротивление Земного шара



Металлические шары r1 = r2 ~ 1 см
Удельное сопротивление почвы ρ1 = ρ2 ~ 103 Ом см
(ρcu ~ 1,7 10-6 Ом см = 1,9 10-18 с)
Сопротивление земли между шарами???
Ω
ρ2
ρ1
r1
r2
Сопротивление Земного шара


I = ∫j1dS = ∫E1/ρ1dS = 4πq1/ρ1 
φ1 = q1/r1 = Iρ1/r1
φ2 = -q2/r2 = -I ρ2/r2
Δφ = I(ρ1/4π r1 + ρ2/4π r2) 
R = Δφ/I = 1/4π(ρ1/r1 + ρ2/r2) = ρ/2πr ~ 160 Ом
Закон Джоуля-Ленца


Дифференциальная форма:
Мощность тепла, выделяемая током в
единице объёма
w = jE = ρj2 = E2/ρ
Интегральная форма
W = IU = RI2 = U2/R
Соотношения между электрическими
единицами СИ и СГСЭ


Заряд:
1 Кулон = 1 Кл = 3.109 единиц СГСЭ
Потенциал:
1 Вольт = 1 В = 1/300 единиц СГСЭ
1 В = 1 Дж /1 Кл = 107 эрг/3 109 = 1/300 единиц СГСЭ потенциала