Курс: Общий физический практикум Склярова Елена Александровна Сегодня: _________________ 2009 г.

Сегодня: _________________ 2009 г.
Курс: Общий физический практикум
Склярова Елена Александровна
Сегодня: ___________________ 2009 г.
Лекция №3
Тема: Численное моделирование
Содержание лекции:
1. Численное моделирование
2. Модели физических процессов
а) динамика материальной точки (падение тел)
б) задача Кеплера
Значение компьютеров в физике
4 категории использования компьютеров в физике:
1.
2.
3.
4.
Численный анализ
Символьные преобразования
Моделирование
Управление в реальном времени
В численном анализе вычислениям предшествует
выяснение упрощающих физических принципов
2x + 3y = 18
x–y =4
x = 6, y = 2
Значение компьютеров в физике
С применением компьютера все большее значение
приобретают в теоретической и экспериментальной
физике аналитические преобразования.
aх2 + bx + c = 0
Решение:
 b  b2  4ac
x
2a
Численное моделирование
Аналогии между вычислительным
и лабораторным экспериментом
Лабораторный
эксперимент
Образец
Вычислительный
эксперимент
Модель
Физический прибор
Программа для компьютера
Калибровка
Тестирование программы
Измерение
Расчет
Анализ данных
Анализ данных
Задача об остывании кофе
Природа переноса тепла от кофе к окружающему
пространству сложна и в общем случае включает
в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и
теплопроводности. В том случае, когда разность температур
между объектом и окружающей средой не очень велика,
скорость изменения температуры объекта можно считать
пропорциональной этой разности температур.
Это утверждение более строго можно сформулировать
на языке дифференциального уравнения:
dT
 r (T  Ts )
dt
- закон теплопроводности Ньютона
где Т - температура тела, ТS – температура окружающей
среды, r – «коэффициент остывания».
«Коэффициент остывания» зависит от механизма
передачи, площади тела, находящегося в контакте со
средой и тепловых свойств самого тела.
Задача об остывании кофе
Множество процессов, происходящих в природе,
описываются дифференциальными уравнениями,
важно уметь решать эти уравнения.
Рассмотрим уравнение первого порядка вида
dy
 g (x)
dx
В общем виде аналитического решения уравнения не
существует.
Алгоритм Эйлера
Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard
Euler) — выдающийся математик,
внёсший значительный вклад в развитие
математики, а также механики, физики,
астрономии и ряда прикладных наук.
Эйлер — самый продуктивный
математик в истории, автор более чем
800 работ по математическому анализу,
дифференциальной геометрии, теории
чисел, приближённым вычислениям,
небесной механике, математической
физике, оптике, баллистике,
кораблестроению, теории музыки и др.
Многие его работы оказали значительное
влияние на развитие науки.
Леонард Эйлер
(1707-1783)
Алгоритм Эйлера
Типичный метод численного решения
дифференциальных уравнений включает в себя
преобразование дифференциального уравнения в конечно
разностное.
Проанализируем уравнение
dy
 g (x)
dx
Положим, что при х = х0 функция y принимает значение y0.
Поскольку уравнение описывает изменение функции y
в точке х0, то можно найти приближенное значение функции y в
близлежащей точке
х1 = х0 + х,
если приращение аргумента х мало.
В первом приближении предполагается, что функция g(x)
Или скорость изменения y, постоянна на отрезке от х0 до х1.
Алгоритм Эйлера
В этом случае приближенное значение функции y в точке
х1 = х0 + х определяется выражением
y1  y ( x0 )  y  y ( x0 )  g ( x0 )x
Повторим процедуру еще раз и найдем значение y в точке
х2= х1 + х
y2  y ( x1  x)  y ( x1 )  g ( x1 )x
Это правило можно обобщить и вычислить приближенное
значение функции в любой точке хn= х0 + nх по
итерационной формуле
yn  yn1  g ( xn1 )x
- метод касательных (метод Эйлера).
Алгоритм Эйлера
В методе Эйлера предполагается, что скорость
изменения функции y на отрезке от хn-1 до хn постоянна, а
наклон касательной вычисляется в начальной точке
отрезка.
Графическая интерпретация метода Эйлера
Алгоритм Эйлера
Пример:
dy
 2x
dx
С начальным условием y = 1 в точке х = 1.
Находим приближенное значение функции y в точке х = 2.
Выбираем х = 0.1, тогда число шагов равно
n = (2-1)/ х =10.
Если после проведенных вычислений окажется, что
выбранная величина приращения слишком велика, нам
придется повторить вычисления с меньшим
значением х .
Алгоритм Эйлера
y1 = y0+ х (наклон) =1+0,1(2)=1,2.
x
y
g(x)=2x
yn-1+0.1 (наклон)
1.00
1.00
2.00
1.00+0.10(2.00) = 1.20
1.10
1.20
2.10
1.20+0.10(2.20) = 1.42
1.20
1.42
2.40
1.42+0.10(2.40) = 1.66
1.30
1.66
2.60
1.66+0.10(2.60) = 1.92
1.40
1.92
2.80
1.92+0.10(2.80) = 2.20
1.50
2.20
3.00
2.20+0.10(3.00) = 2.50
1.60
2.50
3.20
2.50+0.10(3.20) = 2.82
1.70
2.82
3.40
2.82+0.10(3.40) = 3.16
1.80
3.16
3.60
3.16+0.10(3.60) = 3.52
1.90
3.52
3.80
3.52+0.10(3.80) = 3.90
2.00
3.90
Программа для компьютера
Алгоритм для компьютера:

Выбираются начальные условия, величина шага и
количество итераций.

Определяется y и наклон в начальной точке отрезка.

Вычисляется значение y в конечной точке отрезка и
печатается результат.

Шаги 2 и 3 повторяются требуемое число раз.
ПАДЕНИЕ ТЕЛ
Опыты Галилея с падающими
телами
Галилей впервые выяснил,
что тяжелые предметы падают вниз
так же быстро, как и легкие. Чтобы
проверить
это
предположение
Галилео Галилей сбрасывал с
Пизанской башни в один и тот же
момент пушечное ядро массой 80 кг
и
значительно
более
легкую
мушкетную пулю массой 200 г. Оба
тела имели примерно одинаковую
обтекаемую форму и достигли
земли одновременно. До него
господствовала
точка
зрения
Аристотеля, который утверждал, что
легкие тела падают с высоты
медленнее тяжелых.
ПАДЕНИЕ ТЕЛ
Рассмотрим одномерное движение, для описания
которого нужна только одна пространственная
координата.
Известно, что мгновенные координату y(t), скорость
u(t) и ускорение а(t) материальной точки можно
определить как:
И
dy(t )
υ(t ) 
dt
du (t )
a (t ) 
dt
(1)
(2)
ПАДЕНИЕ ТЕЛ
Второй закон движения Ньютона:
1
a(t )  F ( y,u , t )
m
(3)
где F – равнодействующая сила,
m – инертная масса.
В общем случае сила зависит от координаты,
скорости и времени.
ПАДЕНИЕ ТЕЛ
Для описания движения материальной точки необходимо
решить систему двух дифференциальных уравнений
первого порядка (1) и (2).
Уравнения (1) и (2) объединяют в одно дифференциальное
уравнение второго порядка относительно координаты:
2
d y (t ) F

2
m
dt
(4)
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
В отсутствие сопротивления воздуха все тела
независимо от их массы, размеров и состава на
одинаковом расстоянии от земной поверхности имеют
одинаковое ускорение.
Такое идеализированное движение, при котором
сопротивлением воздуха пренебрегают называется
«свободным падением».
g = 9.8 м/с2 .
y=0
y
u (t )  u0  gt
h
(5a)
(5б)
1
y (t )  y0  u 0t  gt
2
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
В соответствии с законом тяготения сила Ньютона,
действующая на тело массой m равна:
GMm
gm
F

2
( R  y)
(1  y / R) 2
(6)
где y – расстояние от поверхности Земли, R – радиус
Земли, G - постоянная всемирного тяготения, М –масса
Земли, g = GM/R2.
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
Другой важной модификацией задачи о свободном
свободном падении является учет тормозящей силы,
обусловленной сопротивлением воздуха. Направление этой
тормозящей силы должно быть противоположно скорости
движения тела.
Рассмотрим сначала падение материальной точки.
тормозящая сила Fd направлена вверх, как показано на рис.,
то полную силу, действующую на материальную точку,
можно записать в виде
F  Fg  Fd  mg  Fd
Fd
(7)
u
mg
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
В общем случае зависимость Fd
от скорости
необходимо
определять
эмпирически,
проводя
конечную серию наблюдений положения тела.
1 способ: измерение координаты у как функции t и
получении зависимости скорости и ускорения от
времени.
2 способ: для функции Fd предполагается
определенный вид зависимости от скорости u, и эта
формула используется для нахождения функции y(t).
Если
значения
функции
y(t)
согласуются
с
экспериментальными, то предложенная зависимость
Fd(u) считается экспериментально подтвержденной.
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
Наиболее общими зависимостями силы
сопротивления от скорости являются
Fd (u )  k1u
Fd (u )  k2u
(8а)
2
k1 и k2 зависят от свойств среды и геометрии тела.
(8б)
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
Ввиду того, что функция Fd(u) возрастающая,
существует предельная, или установившаяся, скорость,
соответствующая условию Fd = Fg и нулевому ускорению.
Эту скорость можно найти из (7) и (8).
В результате получим:
или
mg
u1 
k1
(9а)
1/ 2
 mg 

u2  
 k2 
соответственно для линейного и квадратичного случаев.
(9б)
СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПАДАЮЩЕЕ ТЕЛО
Используя (8) и (9), выпишем Fd для линейного и
квадратичного случаев:
u 
u 
Fd  k1u1    mg 
 u1 
 u1 
2
u 
u 
Fd  k u    mg 
 u2 
 u2 
(10а)
2
2
2 2
(10б)
Отсюда равнодействующую силу, действующую на
падающее тело, можно записать в виде
 u
F1 (u )  mg1  
 u1 
(11а)
 u2 
F2 (u )  mg1  2 
 u2 
(11б)
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Поскольку аналитически решить уравнения движения (4)
d 2 y (t ) F

2
m
dt
с равнодействующей силой, определяемой выражением
 u2 
F2 (u )  mg1  2 
 u2 
не просто, мы вынуждены прибегнуть к численным
методам.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Метод Эйлера просто обобщается на случай
решения дифференциального уравнения
второго порядка.
1. переписываем уравнение (4) в виде системы двух
дифференциальных уравнений первого порядка (1) и (2).
2. Обозначим через ∆t шаг по времени, тогда момент
времени tn, соответствующий n-му шагу, равен
tn = t0 + n∆t
(12)
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Обозначим также через an, un и yn значения ускорения,
скорости и координаты на n-ном шаге,
an = an(yn, vn, tn).
Прямое обобщение метода Эйлера принимает вид
un+1 = un + an∆t
(13а)
и
yn+1 = yn + un∆t
(13б),
где un+1 – скорость в конечной точке интервала –
вычисляется через an – производную скорости в начальной
точке этого интервала.
Аналогично yn+1 – координата в конечной точке интервала
вычисляется через un – производную координаты в
начальной точке интервала.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Использованный алгоритм численного решения
дифференциального уравнения не является
единственным.
Например, одно простое изменение выражений (6)
состоит в том, чтобы определять yn+1 через un+1 – скорость
в конечной точке интервала, а не в начальной точке.
Запишем такой модифицированный метод Эйлера в
следующем виде:
и
un+1 = un + an∆t
(14а)
un+1 = yn + un+1∆t
(14б).
Движение тел в поле тяжести Земли
g - ускорение свободного падения
в поле тяжести Земли.
Подставляя t из первого
уравнения во второе, находим
уравнение траектории движения
снаряда:
Y = X tgj - (g/2v2)(1 + tg2j) X2
Если пушка расположена в точке с
координатами (0, 0, 0), то снаряд
будет двигаться по траектории,
которая описывается
следующими уравнениями:
X = (vcosj)t
Y = (vsinj)t - gt2/2,
где v - скорость снаряда вдоль
ствола пушки, j - угол между
стволом пушки и горизонтом (ось
X), t - время,
Из этого уравнения находим
максимальную дальность стрельбы Xmax (при этом Y=0) и максимальную высоту полёта Ymax
(первая
производная
Y
по
координате X равна нулю):
Xmax = v2sin(2j)/g
Ymax = v2sin2j/2g
Из первого уравнения видно, что
максимальная дальность полёта
снаряда достигается при стрельбе
под углом j, равном 45°.
ДВУМЕРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Рассмотрим тело массой m с начальной скоростью u0,
направленной под углом 0 к горизонту (рис а). На
материальную точку действуют сила тяжести и
тормозящая сила, равные соответственно mg и Fd, а
направление последней противоположно скорости u
(рис. б).
Запишем уравнение движения Ньютона для компонент
х и y:
du x
m
  Fd cos 
dt
(15а)
m
du y
dt
 mg  Fd sin 
(15б)
ДВУМЕРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
u
y
u
h

0
x
Fd
mg
a
б
Рис.1. Мяч бросают с высоты h под углом к горизонту с
начальной скоростью u0 (а).
Сила тяжести и тормозящая, действующие на материальную
точку (б).
ДВУМЕРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Пример: Определить максимальное расстояние от точки бросания, на
которое улетит круглый стальной шар радиусом  4 см.
Предположим, что для тела такого размера и характерной скорости
(например, ядра)
Fd  k 2u 2
Поскольку ux
переписать в виде
= ucos , а uy = usin , уравнения (15) можно
du x
  Auu x
dt
du y
(16а)
dt
  g  Auu y
А = k2/m. Заметим, что уравнения (16а)
изменения ux, uy содержат модуль скорости:
где
u  u u
2
2
x
(16б)
и (16б), описывающие
2
y
Следовательно, невозможно найти вертикальную составляющую движения
падающего тела, не зная горизонтальную
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
Задача возникла из известного
экспериментального наблюдения,
что если на вибрирующей
поверхности станка лежат разные
предметы, то при определённой
частоте эти предметы как бы
"зависают" над поверхностью на
определённой высоте. В общем
случае они будут не синхронно
подпрыгивать на разные высоты и
такого эффекта не будет. Однако при
некоторых частотах и амплитудах
колебаний вибрирующей
поверхности предметы будут
подпрыгивать на постоянную
высоту. Так как большее время они
проводят в наивысшей точке
траектории, то для глаза кажется, что
предметы как бы "зависли" в этом
положении.
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
В каком случае все предметы
будут подпрыгивать на одинаковую
высоту? Ну, например, когда удар
абсолютно упругий, время полёта
кратно целому числу полупериодов
и предметы касаются поверхности в
её наивысшей (или низшей) точке.
H = a + g(nT)2/8
где T = 1 Гц - период колебаний, a = 1
дюйм - амплитуда колебаний
поверхности, n -целое число, g =
386,22 дюйм/с2
В этом случае предметы как бы
отскакивают от неподвижной
поверхности (её скорость в момент
удара равна нулю). Такой случай для
n=1 показан на рисунке (синяя
кривая - тело, красная поверхность). Высота подскока
H=49,3 - точка равновесия.
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
А что будет, если мы отпустим тело с высоты, чуть меньшей, чем
точка равновесия. Ну, например, с высоты Н=37,3 дюйма? Начнутся
колебания (высоты подскока) относительно положения равновесия.
При такой ситуации предметы не будут "зависать" на определённой
высоте. Если на поверхность бросить горсть разных частиц, то над
поверхностью будет наблюдаться полный хаос (см. рисунок). Да и
абсолютно упругий удар - это нереально. Поэтому следующим шагом
нужно рассмотреть влияние потерь энергии при ударе.
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
Введём в систему потери
энергии, равные 10% при
каждом ударе. Отпустим груз с
высоты Н=37,3 дюйма. Мы
видим, что подскоки
практически прекратились.
Увеличим амплитуду
колебаний поверхности в 10
раз (до 10 дюймов). Мы видим,
что подскоки не исчезают, но
постоянная высота подскоков
не устанавливается.
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
Увеличим коэффициент потери энергии при ударе, а груз
отпустим с высоты 194 дюйма. Если при отскоке тело теряло более
30% энергии, то происходила стабилизация амплитуды подскока на
уровне чуть меньшем, чем 70 дюймов. Причём при разных
коэффициентах отражения (0,6 - 0,5 - 0,3 - 0,1) подскоки стягивались
к одному и тому же периодическому движению, при котором
возможно наблюдения эффекта "зависания" предметов над
поверхностью.
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
Такая ситуация не
изменяется при небольших
вариациях частоты. На
рисунке видно в какие
моменты происходят отскоки несколько в стороне от
максимального смещения
поверхности. Ясно, что
отрицательная обратная связь
возникает за счёт
нелинейности синусоиды.
Если тело прилетает к
поверхности чуть раньше, чем
в установившемся состоянии,
то поверхность ударяет по
нему чуть сильнее, и
наоборот. Замена синусоиды
на пилообразные колебания
поверхности приводила к
исчезновению эффекта.
ПРЫГАЮЩИЙ ШАРИК
При некоторых значениях
частоты удаётся даже
наблюдать второе устойчивую
высоту подскока (см. рисунок).
Третье устойчивое положение
в принципе тоже можно
наблюдать, но группы
становятся довольно
размытыми. Однако не при
всех амплитудах и частотах
колебаний поверхности, а
также начальных условий
такая устойчивая высота
подскока существует
УДАР С ЧАСТИЧНОЙ ПОТЕРЕЙ ЭНЕРГИИ
Промежуток времени, в
течение которого длится удар,
обычно очень мал (на
практике ~10-4..10-5 с), а
развивающиеся на площадках
контакта соударяющихся тел
силы (т. н. ударные или
мгновенные) очень велики. За
время удара они изменяются в
широких пределах и достигают
значений, при которых
средние величины давления
(напряжений) на площадках
контакта имеют порядок 104 и
даже 105 атм. Ввиду малости
времени удара, импульсами
всех неударных сил, таких,
например, как сила тяжести, а
также перемещениями точек
тела за время удара
пренебрегают.
УДАР С ЧАСТИЧНОЙ ПОТЕРЕЙ ЭНЕРГИИ
Процесс соударения двух тел можно разделить
на две фазы:
1) сближение соприкасающихся тел и
2) их расхождение.
В первой фазе кинетическая энергия тел переходит в
энергию деформации, а во второй фазе, накопленная
энергия деформации полностью или частично переходит в
кинетическую энергию тел.
Для совершенно упругих тел механическая энергия к
концу удара восстанавливается полностью и скорость их
сближения до удара равна относительной скорости
расхождения.
Наоборот, удар совершенно неупругих тел закончился
бы на 1-й фазе и два тела двигались бы вместе (с нулевой
относительной скоростью).
УДАР С ЧАСТИЧНОЙ ПОТЕРЕЙ ЭНЕРГИИ
При ударе реальных тел механическая энергия к концу удара
восстанавливается лишь частично вследствие потерь на
образование остаточных деформаций, нагревание тел и др. Для
учёта этих потерь вводится т. н. коэффициент восстановления K,
который считается зависящим только от физ. свойств
материалов тел
K = | v01-v02 | / | v11-v12 |
где v01, v02 - скорости тел до столкновения, а v11, v12- их скорости
после столкновения. Если одно из тел - массивный отражатель,
скорость которого v не изменяется в результате удара, то
K = (V - v)/(u + v)
где v - скорость отражателя, u - скорость налетающего тела, V скорость тела после отражения.
УДАР С ЧАСТИЧНОЙ ПОТЕРЕЙ ЭНЕРГИИ
Можно также ввести коэффициент k потерь энергии при
отражении от неподвижного массивного тела.
k=W/W0,
где W0 - кинетическая энергия налетающего тела, W - кинетическая
энергия после удара в системе отсчёта, связанной с массивным
отражателем. При этом K=k. Значение k определяется
экспериментально, например, измерением высоты h, на которую
отскакивает шарик, свободно падающий на горизонтальную плиту
из того же материала, что и шарик, с высоты Н; в этом случае k=
h/Н. По данным опытов, при соударении тел из дерева k=0,25, из
стали - 0,30, из слоновой кости - 0,79, из стекла - 0,88. В
предельных случаях при совершенно упругом ударе k=1, а при
совершенно неупругом k = 0. Зная скорость u, с которой тело
налетает на отражатель, движущийся со скоростью v и
коэффициент k (или K), можно найти скорость тела V после
столкновения:
V = v(1+k1/2) + uk1/2 = v(1+K) + uK
УДАР С ЧАСТИЧНОЙ ПОТЕРЕЙ ЭНЕРГИИ
На анимации изображён
следующий
эксперимент.
Шарик,
движущийся
со
скоростью u = 5 м/с, налетает
на
массивную
стенку,
движущуюся ему навстречу со
скоростью v = 2 м/с.
k = W/W0 = 0,64.
Скорость, с которой он
отскакивает от стенки равна
V = v(1+k1/2) + uk1/2 = 7,6 м/с.
Тот же ответ можно получить
используя
коэффициент
восстановления
K = (V-v)/(u+v) = 0,8
Теоретическое рассмотрение стационарных
высот подскока
В состоянии с установившейся высотой подскока при
каждом ударе потери энергии в тепло компенсируются
подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности.
При этом скорость u, с которой тело падает на поверхность,
должна быть равна скорости V, с которой тело отражается
от поверхности.
u = v(1+k1/2) + uk1/2
(1)
Отсюда
v = u (1-k1/2)/(1+k1/2)
(2)
Другое условие, налагаемое на скорость отскока u,
следует из того, что время полёта t=2u/g должно быть
кратно периоду колебания плоскости Tn. Поэтому
u = gTn/2
(3)
Таким образом, в стационарном состоянии скорость
поверхности в момент удара равна
v = (gTn/2) (1-k1/2)/(1+k1/2)
(4)
Теоретическое рассмотрение стационарных
высот подскока
Колебания поверхности происходят по гармоническому
закону с амплитудой A и угловой частотой w.
x = Acos(wt)
(5)
Дифференцируя по времени, найдём скорость плоскости
v:
v = -Awsin(wt)
(6)
Приравнивая скорость из (4) и (5), находим условия, при
которых стационарные состояния могут существовать:
(gT2n/4pA)(1-k1/2)/(1+k1/2)  1
(7)
Например, при Т=1с и k=0,5 первое стационарное
состояние (с n=1) может существовать, если амплитуда
колебаний A > 13,3 см.
Теоретическое рассмотрение стационарных
высот подскока
Высота подскока в стационарном состоянии H равна
сумме высоты подскока от поверхности g(nT)2/8 и
собственно смещению поверхности в вертикальном
направлении x в момент удара. Из (4)-(6) находим
H = g(nT)2/8 + (A2 - (gT2n/4p)2(1-k1/2)2/(1+k1/2)2)1/2
(8)
Если Т=1 с, A=25,4 см (10 дюймов) и k=0,5, то H= 56,7
дюйма. Интересно, что зависящий от k член в (8) даёт
уменьшение высоты подскока лишь на 2%.
Компьютерное моделирование: Т=1 с, A=25,4 см (10
дюймов), k=0,52±0,01. Шарик радиуса 10 дюймов
сбрасывался на плоскость с высоты 200 дюймов. Колебание
плоскости происходило по синусоидальному закону. В
результате высота подскока устанавливалась равной 67±3
дюйма, что с учётом радиуса шарика совпадает с
теоретическими оценками.
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода