Колебания - Томский политехнический университет

Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и
экспериментальной физики
ПОСТНИКОВА ЕКАТЕРИНА ИВАНОВНА
кандидат педагогических наук, доцент
07.05.2016
1
ФИЗИКА
КОЛЕБАНИЙ
И ВОЛН
07.05.2016
2
Гармонические колебания
Колебания (колебательные движения)изменения состояния, обладающие той или
иной степенью повторяемости во времени.
Колебания могут иметь различную физическую
природу.
Колебания различают:
•по характеру физических процессов
•по характеру зависимости от времени.
По характеру
физических процессов:
Механические
колебания маятников, струн,
частей машин и механизмов,
сооружений, волнение жидкостей
По характеру
зависимости от
времени:
Электромагнитные
колебания переменного
электрического поля в цепи,
колебания векторов Е и В
Электромеханические
колебания мембраны телефона,
диффузора электродинамика
Периодические
Непериодические
По способу возбуждения
колебаний:
Свободные
Параметрические
Система,
совершающая
колебательной системой.
Вынужденные
Автоколебания
колебания,
называется
Колебания называются периодическими, если
значения физических величин, изменяющихся
в процессе колебаний, повторяются через
равные промежутки времени.
Периодические процессы можно представить
как наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания – колебания, при
которых колеблющаяся величина изменяется со
временем по закону синуса или косинуса.
Периодом колебаний (Т) называется
наименьший промежуток времени, через
который повторяются значения всех физических
величин, характеризующих колебательное
движение.
Частота периодических колебаний – число
полных колебаний, совершаемых в единицу
времени:
1
 
T
Механические гармонические
колебания
Рассмотрим прямолинейные гармонические колебания
материальной точки вдоль оси х около положения
равновесия, совпадающего с началом координат х = 0.
Зависимость координаты х от времени t задается
уравнением
0
x  A cos(t   )
А – максимальное значение колеблющейся величины, называется
амплитудой колебаний, ω – круговая (циклическая) частота,
t   0  – фаза колебаний в момент времени t.
Скорость колеблющейся точки меняется по
закону:
dx

  A sin( t   0 ) 
dt
 A cos(t  0   )
2
Ускорение:
d
2
a
  A cos(t   0 ) 
dt
 A cos(t   0   )
2
07.05.2016
11
Сила, действующая на точку массой m:
F  ma  m x
2
Отсюда:

модуль силы пропорционален смещению
материальной точки из положения
равновесия;

направления силы и смещения
противоположны.
Следовательно, сила всегда направлена к
положению равновесия.
Такие силы называют возвращающими.
Зависимость F  ma  m 2 x характерна для
упругой силы.
Силы другой физической природы,
удовлетворяющие тому же виду зависимости,
называют квазиупругими.
Кинетическая энергия материальной
точки, совершающей гармонические
колебания:
m
m A
2
Ек 

sin t   0  
2
2
2
2
2
m A
1  cos2t   0 .

4
2
2
Потенциальная энергия материальной
точки, совершающей гармонические колебания
под действием упругой силы F:
m x
Е p   Fdx 

2
0
2
2
m A
2

cos t   0  
2
x
2
2
m A
1  cos2t   0 .

4
2
2
Полная энергия:
m A
E  Ек  Е p 

2
2
k A

 const ,
2
2
где
k  m .
2
2
07.05.2016
17
Гармонический осциллятор
Осциллятор – система, совершающая
свободные колебания.
Свободные (собственные) колебания совершаются за
счет первоначально сообщенной энергии при
последующем отсутствии внешнего воздействия на
колебательную систему.
Классический осциллятор – механическая
система, совершающая колебания около
положения устойчивого равновесия (например,
пружинный маятник).
Дифференциальное уравнение гармонического
осциллятора
x   x  0
2
Решение этого уравнения:
x  A cost   0 
Здесь x – колеблющаяся величина.
Математический маятник
Идеализированная система, состоящая из
материальной точки массой m, подвешенной на
невесомой нерастяжимой нити, и совершающей
колебания под действием силы тяжести.

g
,
l
l
T  2
.
g
Физический маятник
Твердое тело, совершающее под действием силы
тяжести
колебания
вокруг
неподвижной
горизонтальной оси, проходящей через точку О, не
совпадающую с центром масс тела С. Точку О
называют точкой подвеса.
T  2
L
,
g
где L - приведенная длина
физического маятника.
Приведенная длина физического маятника –
это длина такого математического маятника,
период колебаний которого совпадает с
периодом колебаний данного физического
маятника.
J
L ,
ml
J – момент инерции маятника относительно оси,
проходящей через точку подвеса.
Пружинный маятник
Тело массы m, подвешенное на абсолютно
упругой
пружине
и
совершающее
прямолинейные гармонические колебания под
действием упругой силы F = -kx, где k –
коэффициент жесткости пружины.
k
Уравнение движения: x 
х  0.
m

k

,
m
m
T  2
.
k
Сложение гармонических колебаний
Способ представления колебаний с помощью
вращающегося вектора амплитуды
x  A cos( ωt  φ 0 )
07.05.2016
x0  A cos φ 0
25
Сложение двух одинаково
направленных колебаний
Сложение гармонических колебаний
одного направления и одинаковой
частоты
x1  A1 cos(t  1 ) 

x2  A2 cos(t  2 )
Разность фаз этих колебаний не зависит от
времени t, т.е. (φ1 – φ2) = const, такие колебания
называются когерентными
A
A
φ
2
φ
2
φ
A
φ
2
– φ
1
1
Для
нахождения
результирующего
колебания
воспользуемся методом
векторных диаграмм.
1
0
x
x  Acos(t   ), где
A  A  A  2 A1 A2 cos( 2  1 ),
2
2
1
2
2
A1sin1  A2 sin 2
tg 
.
A1cos1  A2 cos 2
Если колебания синфазны:
φ2 – φ1 = ±2mπ,
следовательно, А = А1 + А2, происходит усиление
результирующего колебания.
Если колебания в противофазе: φ2 – φ1 = ±(2m +1)π,
следовательно, А = |А1 – А2|, происходит ослабление
результирующего колебания.
Некогерентные колебания: ω1 ≠ ω2, т.е. разность
фаз колебаний
(ω1 + φ1 – ω2 – φ2) ≠ const и изменяется с течением
времени t.
При наложении таких колебаний получаются
негармоническое результирующее колебание.
Если амплитуды двух гармонических колебаний,
направленных вдоль одной прямой, одинаковы
А1 = А2 = А, а их частоты мало отличаются друг от
друга Δω = ω2 – ω1 << ω1, то результирующее сложение
этих колебаний получается с периодически
изменяющейся амплитудой Аб.
Периодические
изменения
амплитуды
от
минимального значения до максимального называются
биениями.
Уравнения колебаний
имеют вид :

x1  Acost ,
x2  Acos(   )t.
Уравнение результирующего колебания
x  x1  x2  Acost  cos(   )t  


 2
 
  
 2Acos
t
t   cos 
t 
2 
 2 
 2


 

 2 Аcos
t  cost.
2

Аб
07.05.2016
30
Результирующее колебание можно рассматривать как
гармоническое с частотой , амплитуда Аб которого
изменяется по периодическому закону:

Аб  2 А cos
t.
2
Частота изменения Аб в два раза больше частоты
изменения косинуса (т.к. берется по модулю), т.е.
частота биений равна разности частот складываемых
колебаний:
   .
б
Период биений
07.05.2016
2
Тб 
.

31
07.05.2016
32
Гармонические
колебания
совпадают
по
направлению и имеют кратные циклические частоты
ω, 2ω, 3ω и т.д. В результате их сложения получаются
периодические негармонические колебания с периодом
Т = 2π ∕ ω.
В свою очередь, любое сложное периодическое
колебание S = f(t) можно представить в виде суммы
простых гармонических колебаний с циклическими
частотами, кратными основной циклической частоте ω0
= 2π ∕ Т, где Т – период колебаний:
A0
S  f t  
 A1cos0 t  1   A2 cos20 t   2   ...  An cosn0 t   n  
2
A0 

  An cosn0 t   n ,
2 n1
34
Такое представление периодической функции f(t) называется
разложением функции в ряд Фурье или гармоническим
анализом сложного периодического колебания.
Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим
колебаниям с циклическими частотами ω0, 2ω0, 3ω0 …
называются первой (основной), второй, третьей и т.д.
гармониками сложного периодического колебания S = f(t).
Совокупность этих гармоник образуют спектр колебаний
S = f(t).
В простейших случаях спектр может состоять из
небольшого числа гармоник.
Часто под спектром колебаний понимают спектр
(совокупность) его частот.
07.05.2016
35
Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний
Сложение колебаний с одинаковыми
частотами
Пусть точка одновременно движется вдоль осей x и y:
x  A1cos( t  1 ),
y  A2 cos( t   2 ).
x 2 y 2 2 xy
2
 2
cos 2  1   sin  2  1 .
2
A1 A2 A1 A2
Рассмотрим несколько частных случаев:
1) Фазы колебаний равны.
x = A1 sin t;
y = A2 sin t.
x A1

y A2
или
A2
y
x
A1
Такие колебания называют линейнополяризованными.
2) Разность фаз равна π.
x = A1 sin (t + ) = - A1 sin t;
y = A2 sin t.
x
A1

y
A2
или
A2
y
x
A1
В обоих случаях амплитуда результирующего
колебания равна:
2
2
1
2
А А  А
3) Разность фаз равна π/2.


x  A1 sin  t    A1 cost ;
2

y  A2 sin t.
x
 cost;
A1
y
 sin t.
A2
2
2
y
x


1
2
2
A1
A2
Такие колебания называют эллиптически
поляризованными.
Сложение колебаний с разными
частотами
Если частоты складываемых колебаний относятся
друг к другу как целые числа, то траектория
результирующего движения оказывается замкнутой, а
само движение – периодическим.
Прочерчиваемые точкой замкнутые траектории,
образующиеся при целочисленных отношениях частот
складываемых взаимно-перпендикулярных колебаний
называют фигурами Лиссажу.
Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения амплитуд,
частот и начальных фаз складываемых колебаний.
Отношение частот складываемых колебаний
равно отношению числа пересечений фигуры
Лиссажу
с
прямыми,
параллельными
осям
координат.
y
y
0
φ
p ∕ k = 1 ∕ 2
0
x
1
– φ
2
x
= π ∕ 2
p ∕ k = 2 ∕ 3
По виду фигур можно определить неизвестную
частоту по известной, или определить отношение
частот складываемых колебаний.
Фигуры Лиссажу при
07.05.2016
ω1  ω 2
45
Затухающие колебания
Затухающие колебания – колебания,
амплитуда которых из-за потерь энергии
реальной колебательной системой с течением
времени уменьшается.
Свободные колебания реальной системы
всегда затухают. Причиной затухания
механических колебаний является трение,
электрических колебаний – тепловые потери в
проводниках.
Закон затухания колебаний определяется
свойствами колебательных систем.
Обычно рассматриваются линейные системы –
идеализированные реальные системы, в которых
параметры, определяющие физические свойства
системы, в ходе процесса не изменяются.
Линейными системами являются, например,
пружинный маятник, колебательный контур,
индуктивность, емкость и сопротивление которого не
зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих
колебаний линейной системы:
2
d S
dS
2
 2
 0 S  0, 1
2
dt
dt
S – колеблющаяся величина,
δ = const – коэффициент затухания,
ω0 – собственная циклическая частота колебательной
системы (т.е. в отсутствие потерь энергии, δ = 0).
Решение уравнения в виде
S  e u t . 2
t
07.05.2016
48
Для пружинного маятника массой m,
совершающего малые колебания под действием
упругой силы, сила трения пропорциональна
скорости:
Fтр  r  rx,
r- коэффициент сопротивления.
Дифференциальное уравнение затухающих
колебаний маятника:
2
d x
dx
m 2 r
 kx  0
dt
dt
x  A0 e
r

t
2m
 sin( t   0 )
r
где
  - коэффициент затухания;
2m
       r
2
0
2
2
0
- циклическая частота затухающих
колебаний.
2
4m
2
Амплитуда затухающих колебаний:
A  A0 e
 t
Промежуток времени , в течение
которого амплитуда затухающих колебаний
уменьшается в e раз, называется временем
релаксации:
 
1

Затухающее колебание не является
периодическим, и тем более гармоническим.
T 
2


2
 
2
0
2
Характеристики колебательной
системы:
Декремент затухания:
At 
T
e .
At  T 
Логарифмический декремент затухания:
A(t )
T
1
  ln
 T  
A(t  T )

Ne
Ne – число колебаний, совершаемых за время t = τ, в
течение которого амплитуда А уменьшается в е раз.
Добротность:
0

Q   N e 


T0 2

Q равна с точностью до π числу колебаний Ne,
совершаемых системой за время релаксации τ.
Q равна произведению 2π на отношение энергии W(t)
колебательной системы в момент времени t к убыли
этой энергии за промежуток времени от t до t + T:
W t 
Q  2
.
W t   W t  T 
Вынужденные колебания
Вынужденные
колебания
–
незатухающие колебания, возникающие под
действием периодической силы, изменяющейся
по гармоническому закону:
X t   X 0 cos t
Для механических колебаний роль X(t) играет
внешняя вынуждающая сила
F  F0 cos t
Для простейшего пружинного маятника, на
который действует внешняя сила:
mx  kx  rx  F0 cos t
Дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний маятника:
x  2x   x 
2
0
F0
m
cos t
Амплитуда установившихся вынужденных
колебаний:
F0
m
A
2
2 2
2 2
(0   )  4 
Сдвиг
фаз
между
вынуждающей силой:
смещением
 2 

  arctg 2
2 
 0   
и
В установившемся режиме вынужденные
колебания являются гармоническими,
происходят с частотой внешней гармонической
силы.
В случае установившихся колебаний при
некоторой частоте внешней силы – резонансной
частоте ωрез
– амплитуда смещения достигает
максимального значения:
 рез    2
2
0
2
Явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных колебаний при приближении частоты
вынуждающей силы к частоте, равной или близкой
собственной
частоте
колебательной
системы,
называется механическим резонансом.
F0
Amax 
F0
m 02
m
2
2
2 0  
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
07.05.2016
61
Квазистационарные токи.
Процессы в колебательном
контуре
Примером электрической цепи, в которой могут
происходить свободные электрические колебания,
служит простейший колебательный контур.
Для
простейшего
колебательного контура
R = 0.
62
07.05.2016
При
замыкании
на
катушку
предварительно
заряженного конденсатора С в колебательном контуре
возникают свободные колебания заряда конденсатора и
тока в катушке. (R = 0)
Wэл .п.
07.05.2016
Q2

2C
Wм.п.
LQ 2

2
Wэл .п.
Q2

2C
Wм.п.
LQ 2

2
63
Энергия электрического поля
обкладками конденсатора С:
запасается
между
2
Q
Wэл.п. 
.
2C
Энергия магнитного поля сосредоточена в катушке L:
2
2
LI
LQ
Wм.п. 

.
2
2
Если R→ 0, тогда полная энергия:
2

Q
LQ
W

 const.
2C
2
2
07.05.2016
64
Переменное
электромагнитное
поле
распространяется в пространстве со скоростью
равной скорости света c = 3 · 108 м/с. Если l –
линейные размеры контура не велики (l ‹‹ c / ν, ν
– частота колебаний в контуре), то в каждый
момент времени сила тока во всех частях
контура одинакова. Такой переменный ток
называется квазистационарным.
07.05.2016
65
Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет
всегда такое направление, что создаваемое им
переменное магнитное поле препятствует изменению
магнитного потока, вызвавшему этот индукционный
ток, т.е. когда конденсатор С разрядился (энергия
магнитного поля и ток в цепи максимальные), то в этот
момент ток I начинает убывать.
07.05.2016
66
Следовательно, магнитное поле в катушке
ослабевает, и в катушке возникает индукционный ток Ii,
который препятствует уменьшению магнитного поля.
Направление Ii совпадает с направлением
первоначального тока, и положительные заряды
продолжают идти в том же направлении, заряжая
положительно другую обкладку конденсатора С.
07.05.2016
67
Закон Ома для контура:
IR  U C  ES .

 
UR
Q
C
(1)
dI
L
dt
UC – разность потенциалов (напряжение) на обкладках
конденсатора С, Ɛs – э.д.с. самоиндукции.
Из закона сохранения заряда следует, что сила
квазистационарного тока
dQ 
I
Уравнение (1):
07.05.2016
dt
 Q.
dI
Q
L  IR   0.
dt
C
68
R
1


Q Q
Q0
L
LC


2
(2)

 02
дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в
контуре – дифференциальное уравнение затухающих
колебаний.
1


●R=0→
Q
Q0
LC
дифференциальное
уравнение
колебаний.
гармонических
Свободные электрические колебания в колебательном
контуре являются гармоническими.
07.05.2016
69
Уравнение гармонических колебаний:
Q  Qm cos 0t   .
(3)
Qm – амплитуда заряда на конденсаторе С,
ω0 – собственная частота гармонических колебаний.
Из уравнения (2) следует
1
0 
,
LC
2
T
 2 LC
0
07.05.2016
- формула Томсона.
70



I  Q  0 Qm sin 0 t     I m cos 0 t    .

2

(4)
Im
Qm
Im 
LC
 амплитуда тока.
Q Qm
UC  
cos0t     U m cos0t   .
C 
C
(5)
Um
Qm
Um 
C
07.05.2016
-
амплитуда напряжения
71
Из сопоставления электрических и механических
колебаний следует, что:
•энергия электрического поля аналогична
потенциальной энергии упругой деформации
•энергия
магнитного
поля
аналогична
кинетической энергии;
•Индуктивность L играет роль массы т
•1/С – роль коэффициента жесткости k
•Заряду q соответствует смещение маятника х
•Силе тока I ~ скорость υ
•Напряжению U ~ ускорение а
72
Затухающие электрические колебания
В реальном контуре R ≠ 0,
следовательно, есть потеря энергии
и затухание колебаний, которое
характеризуется
коэффициентом
затухания
R
 .
2L
R
1


Q Q
Q0
L
LC


2
07.05.2016
 02
дифференциальное
 уравнение затухающих
колебаний.
73
  2Q   2Q  0.
Q
0
Решение дифференциального уравнения затухающих
колебаний:
 t
Q  Qm e
cos t   ,
  02   2 
1
R2

 2
LC 4 L
- частота затухающих
колебаний.
При R = 0
07.05.2016

1
 0 – собственной частоте контура.
LC
74
Логарифмический декремент затухания:
A(t )
  ln
 T .
A(t  T )
Добротность колебательной системы:
0
W (t )
Q   2



W (t )  W (t  T ) 2

1
1 L

.
R R C
LC
L
W(t) – энергия колебательной системы в момент
времени t,
W(t) – W(t+T)
– убыль энергии за промежуток
времени от t до T+ t.
75
Вынужденные электрические колебания
возникают в контуре при включении внешней э.д.с.
Закон Ома:
U  U m cos t.
(1)
IR  U С  ES  U .
 
(2)
Q
C
L
dI
dt
Um
R
1


Q Q
Q
cost
L
LC
L



2
 02
дифференциальное
колебаний.
07.05.2016
(3)

X0
уравнение
вынужденных
76
При установившихся вынужденных колебаниях заряд
конденсатора колеблется гармонически с циклической
частотой внешней э.д.с. – ω
Q  Qm cos t   ,
(4)
где α – сдвиг фаз между Q и внешней э.д.с.,
Qm 

X0

2 2

Um
2
2
1
4
R



 4 
L 
 2   2 2
4L
 LC

Um
Um


.
2
2
2 
1 
2 2
1

2 
L 2  L 
 R   L 
  2 R

C 
C 
L 
L

02
2
2

(5)
77





I  Q  Qm sin t     Qm cos t    .
 
2



I



(6)
m
I m  Qm .
(7)
Подставив уравнение (5) в уравнение (7), получим
Um
Im 
. (8)
2
1 

2
R   L 

C 

1 

Z  R   L 

C 

2
2
– полное сопротивление
цепи.
78
Из уравнения для внешней э.д.с. (1) и уравнения (6)
видно, что между током в контуре I и внешней э.д.с. U
есть сдвиг фаз

   .
2
(9)
Решение дифференциального уравнения затухающих
колебаний дает
R


2 
L

tg  tg  arctg 2


2 
0    1   2

LC
R

R
L


. (10)
1
 1

 L
 L 

L  C
 C
79
07.05.2016
Из уравнений (9), (10) следует
1
L 

1

C .
tg  tg      

2
tg
R

(11)
L
– реактивное индуктивное сопротивление,
1
C
– реактивное емкостное сопротивление.
1
Если L 
, то φ > 0, т.е. ток I отстает по фазе от U,
C
1
если L 
, то φ < 0, т.е. ток I опережает
C по фазе U.
07.05.2016
80
Уравнение (2) запишем в виде:
Q
dI
IR   L  U m cost
(12) 
C
dt
U R  U C  U L  U m cost. (13)
Сумма напряжений на отдельных элементах контура
равна в каждый момент времени внешней э.д.с.




U R  RI  RI m cos t      RI m cost   . (14)
2
 









Q Qm


UC  
cos t  
   U Cm cos t    . (15)
C 
C
2



 

2
U
81
07.05.2016
Cm
U Cm
Qm


C
.
Um
Im

.
2
C
1 

2
C R   L 

C 

(16)
dI


U L  L  LI m sin t     U Lm cos t    .


dt
2

U
(17)
Lm
Сравнивая формулы для I, UR, UC, UL , можно сделать
вывод
UR изменяется в фазе с током I,

UC отстает от I, UR по фазе на
UL опережает I по фазе на 
2
2
07.05.2016
82
U
Фазовые
соотношения
представляются векторной
диаграммой
U
L
 


U  U R  UC  U L .
φ
U
U
R
I
C
Резонансная частота для заряда Q и напряжения UC.
Q  Uc   рез
07.05.2016
2
1
R
 02  2 2 
 2  0 .
LC 2 L
83
На рисунке
изображены
резонансные кривые
для напряжения UC.
R

2L
– коэффициент
затухания.
Чем меньше R и больше L, тем выше и острее максимум
при резонансе.
U
U cm 
m
1 

C R   L 

C 

2
.
2
07.05.2016
84
Резонанс для тока возникает при
1
L 
 0.
C
В этом случае угол сдвига фаз между током и
напряжением φ = 0 (tgφ = 0), изменение тока и
напряжения происходит синфазно.
 I   рез 
07.05.2016
1
 0 .
LC
85
Полное сопротивление
цепи Z становится
минимальным (Z = R),
а
ток
становится
максимальным.
Im 
Um
1 

R   L 


C
2
2
0
Резонансные кривые для тока сходятся в 0, т.к. при
постоянном напряжении (ω = 0) ток в цепи,
содержащей конденсатор, не течет.
07.05.2016
86
.
Ток в цепи определяется активным сопротивлением R
и принимает максимально возможное при данном Um
значение. При этом падение напряжения на активном
сопротивлении
равно
внешнему
напряжению,
приложенному к цепи UR = U, а падение напряжения на
конденсаторе
UС и катушке индуктивности UL
одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.
Это явление называется резонансом напряжений или
последовательным резонансом.
07.05.2016
87
Явление резонанса напряжений используется в технике
для усиления колебания напряжения какой-либо
определённой частоты (для узкого интервала частот
вблизи
резонансной
частоты
контура
–
радиоприёмник).
Явление резонанса напряжений необходимо учитывать
при расчёте изоляции электрических цепей (линий),
содержащих C и L с целью предотвращения её пробоя.
07.05.2016
88
Резонанс токов (параллельный резонанс)
наблюдается в цепях переменного тока, содержащих
параллельно включенные конденсатор C и катушку
индуктивности L, при приближении частоты
приложенного напряжения к резонансной частоте
 рез 
1
.
LC
В этом случае разность фаз токов
IC и IL в параллельных ветвях
∆φ = π, т.е. токи в ветвях
противоположны по фазе, а амплитуда тока I = Im = ICm + ILm во
внешней (неразветвлённой) цепи равно нулю.
07.05.2016
89
При активном сопротивлении цепей R ≠ 0 разность фаз
токов ∆φ ≠ π амплитуда силы тока Im ≠ 0, но будет иметь
наименьшее возможное значение. Таким образом, при
резонансе токов токи IC и IL компенсируются, а сила
тока I в подводящих проводах достигает минимального
значения, обусловленного только током через R.
Может оказаться, что сила тока I << IC и IL.
Такой контур оказывает большое сопротивление
переменному току с частотой, близкой к ωрез.
Используется в резонансных усилителях; индукционных
печах, в которых C и L подбирают таким образом,
чтобы при частоте генератора сила тока через
нагревательную катушку была гораздо больше, чем
сила тока в подводящих проводах.
90
Переменный ток
Установившиеся вынужденные колебания можно
рассматривать как протекание в цепи, содержащей R, L,
C, переменного тока, обусловленного переменным
напряжением
U  U m cos t. (1)
Этот ток изменяется по закону I  I m cos t   .
I m (U m , C , L, R,  ) 
Um
1 

R   L 

C 

2
.
(2)
(3)
2
07.05.2016
91
Ток I отстает по фазе от напряжения U на φ,
определяемую выражением
1
L 
C .
tg 
R
(4)
Полное электрическое сопротивление (импеданс)
2
1 

Z  R   L 
 .
C 

2
07.05.2016
(5)
92
Переменный ток, текущий через R .
Закон Ома:
L → 0, C → 0
IR  U  U m cos t.
Um
Im 
.
R
Следовательно, ток
изменяется в фазе с
напряжением и φ = 0.
Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:
07.05.2016
93
.
Переменный ток, текущий через L
Um
Im 
,
L
tg  


 .
2


I L  I m cos t  ,
2

R → 0, C → 0
IL отстает от UL на
R L  L

2
– реактивное индуктивное сопротивление.
Постоянному току (ω = 0) индуктивность не оказывает сопротивление.
94
.
Переменный ток, текущий через C
Um
Im 
,
1
C
R → 0, L → 0
tg  

  .
07.05.2016
2
 

I C  I m cos t  ( ) ,
2 

IC опережает UC на
1
RC 
C


2
– реактивное емкостное сопротивление.
95
Im 
При R = 0
Um
1
L 
C
.
1
X  L 
 RL  RC – реактивное сопротивление.
C
Z R X
2
2
X
tg 
R
07.05.2016
– полное сопротивление.
– фаза:
96
Мгновенное значение мощности равно произведению
мгновенных значений U(t) и I(t)
P(t )  U (t )  I (t )  U m cos tI m cos t   .
1
1
cos cos   cos(   )  cos(   ).
2
2
1
1
Pt   U m I m cos  U m I m cos2t   .
2 


 2
сред. знач .
Среднее значение
07.05.2016
cos2t     0.
97
Практическое значение представляет среднее значение
мощности
1
P  U m I m cos.
2
P(t) ~
cos 2t ,
т.е. мгновенная мощность
колеблется около среднего
значения с частотой в 2
раза
превышающей
частоту тока.
07.05.2016
98
Из векторной диаграммы видно, что
U
U
L
UR I  R R
cos 

 .
U
I
U
U
I Z Z
Подставляем это выражение в формулу для среднего
значения мощности:
RI m2
1 UmImR 1 Um
P

ImR 
.
2 Z
2
Z
2
φ
R
C
Im
Такую же мощность развивает постоянный ток, сила
которого равна
Im
I
2
– действующее (эффективное)
значение силы тока.
99
Аналогично,
Um
U
2
– действующее значение
напряжения.
Уравнение средней мощности можно записать в виде:
Um Im
1
P  U m I m cos 
cos  UI cos .
2
2 2
cos
называется коэффициент мощности.
В технике стремятся сделать cos максимальным.
Если cos мал, то для выделения в цепи требуемой
мощности надо иметь большой ток, что приводит к
росту потерь в проводах.
Для промышленных установок cos  0,85.
100
Распространение колебаний в
упругой среде.
Поперечные и продольные волны
Волновой процесс (волна) – процесс распространения
колебаний в среде (волны на поверхности жидкости,
упругие волны, электромагнитные волны).
Основное свойство волны: перенос энергии без
переноса вещества, т.к. при распространении волны
частицы среды не двигаются вместе с волной, а
колеблются около своих положений равновесия.
07.05.2016
101
Упругие (механические) волны – механические
возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
Тело называется упругим, а его деформации,
вызываемые внешними воздействиями, называются
упругими деформациями, если они полностью
исчезают после прекращения этих воздействий.
Газ, жидкость обладают только объёмной упругостью,
т.е. способностью сопротивляться изменению объёма.
Твёрдое тело – объёмная упругость и упругость
формы.
07.05.2016
102
Звуковые (акустические) волны – упругие волны малой
интенсивности.
f = 16 ÷ 2·104 Гц – слышимый звук,
f < 16 Гц – инфразвук,
f > 2·104 Гц – ультразвук,
f > 109 Гц – гиперзвук.
Интенсивность звука (сила звука) – величина,
определяемая
средней
по
времени
энергией,
переносимой звуковой волной в единицу времени
сквозь
единичную
площадку,
расположенную
перпендикулярно направлению распространения волны:
W  Вт 
I  ,  2 .
St  м 
103
Интенсивность звука – объективная характеристика
звуковой волны.
Чувствительность человеческого уха различна для
различных частот, поэтому вводят субъективную
характеристику звука, связанную с его интенсивностью,
и зависящую от частоты: громкость звука.
Физиологический закон Вебера – Фехнера: с ростом
интенсивности звука громкость возрастает по
логарифмическому закону.
07.05.2016
104
По измеренному значению интенсивности звука
(объективная характеристика) вводят объективную
оценку громкости звука (субъективная характеристика)
– уровень интенсивности звука:
I
L  lg , бел  10  децибел,
I0
I0 – интенсивность звука на пределе слышимости,
I0 = 10–12 Вт/м2.
07.05.2016
105
Упругая волна называется продольной, если частицы среды
колеблются в направлении распространении волны.
Продольные волны связаны с объёмной деформацией
упругой среды, следовательно, могут распространяться в
любой среде – твёрдой, жидкой, газообразной.
Упругая волна называется поперечной, если частицы среды
колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных к
направлению распространения волн.
Они связаны с деформацией сдвига упругой среды,
следовательно, распространяются в средах, обладающих
упругостью формы, т.е. твёрдых телах.
Поверхностные волны – волны, распространяющиеся вдоль
свободной поверхности (жидкости). Возмущения этой
поверхности
возникают
под
влиянием
внешних
воздействий.
106
Бегущая волна
Бегущая волна – волна, которая в отличие от стоячих
волн, переносит энергию в пространстве.
Луч – линия, касательная к которой в каждой её точке
совпадает с направлением распространения волны.
Уравнение упругой волны – зависимость от
координаты и времени скалярных или векторных
величин, характеризующих колебания среды при
прохождении в ней волны.
07.05.2016
107
Механические возмущения распространяются в упругой
среде с конечной скоростью v. Поэтому возмущение
достигает произвольной точки среды через время
l
t  , где l – расстояние от источника волны до
v
точки. Следовательно, колебания в точке отстают по
фазе от колебаний источника волн.
Волновой фронт – геометрическое место точек, до
которых доходят колебания к моменту времени t.
Волновая поверхность – геометрическое место точек,
в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение
(в простейшем случае плоская или сферическая).
В однородной изотропной среде волновые поверхности
ортогональны лучам.
108
Уравнение плоской волны
Волна называется плоской, если её волновые
поверхности представляют совокупность плоскостей,
параллельных друг другу.
Уравнение плоской волны распространяющейся
вдоль оси х.
M
0
x
Величина S, характеризующая
колебательное движение среды, зависит
только от времени t и координаты х.
x = vt
07.05.2016
109
Колебания в точке М отличаются от колебаний в точке 0
только тем, что они сдвинуты по времени на x/v.
Следовательно, S является функцией (t – x/v) и
уравнение плоской волны, распространяющейся
вдоль x, принимает вид:
x

S  f t  
 v
Уравнение плоской гармонической волны,
распространяющейся вдоль x:
  x

S  Acos  t     0 
  v

07.05.2016
110
Расстояние   vT ,
на которое распространяется
волна за время равное периоду Т, называется длиной
волны – расстояние между ближайшими точками,
колеблющимися в одной фазе.
Для характеристики волн используется волновое число
2
2 
k


 vT v
Тогда:
 


S  Acos t  х    0   Acost  kx   0 .
v 


07.05.2016
111
Скорость распространения гармонической волны
характеризуется фазовой скоростью. Она равна
скорости перемещения в пространстве точек
поверхности,
соответствующих
любому
фиксированному значению фазы гармонической
волны.
t
dx 
t  kx   0  const  x   const    v.
k
dt k
Это скорость перемещения фазы волны, поэтому её и
называют фазовой скоростью.
07.05.2016
112
Уравнение плоской волны,
распространяющейся в произвольном
направлении

n – единичный вектор нормали

у
волновой поверхности, n  1.
n
r
φ
0
х
l
07.05.2016
к
l
 

S  Acos  t     0 ,
  v

 
n  r  1  rcos  l .
113



nr



S  Acos t 
  0   Acos t  k
n r   0 

v



k




S  Acos t  k r   0 .


k  kn – волновой вектор.
Формула Эйлера: ei  cos  isin .
Физический смысл имеет только действительная часть
комплексной функции S~ : ReS~  Acost   .

S  Ae

i t  kr  0
.
Такая запись уравнения волны удобна для дифференцирования.
07.05.2016
114
Распространение волн в однородной изотропной среде
(физические свойства среды одинаковы во всех точках и
во всех направлениях) описывается дифференциальным
уравнением в частных производных, которое
называется волновым уравнением:
2S 2S 2S 1 2S
1 2S
 2  2  2 2 или S  2 2 ,
2
x
y
z
v t
v t
2
2
2
  2  2  2 – оператор Лапласа.
x
y
z
В частности это уравнение описывает плоскую волну,
распространяющуюся вдоль оси х:  2 S
1 2S
07.05.2016
x
2

v t
2
2
.
115
Энергия упругой волны.
Вектор Умова
Рассмотрим продольную плоскую волну в твердой среде:
Деформация среды в плоскости х:
(взят символ частной производной,
т.к. s = s(x,t))
Нормальное напряжение
пропорционально деформации
(для малых деформаций):
s

x
s
  E  E
x
где Е – модуль Юнга среды.
07.05.2016
116
•В положениях максимального отклонения частиц от
положения равновесия (∂s/∂x = 0) ε = 0, σ = 0
• В местах прохождения частиц через положения
равновеси ε, σ - максимальны
(с чередованием ±ε,
т.е. растяжений и сжатий)
Процесс
распространения
продольной упругой
волны
07.05.2016
117
Скорость продольной волны связана с
характеристиками среды следующим образом:
E
υ
ρ
,
где ρ – плотность среды.
Скорость поперечной волны
G
υ
ρ
, G – модуль
сдвига.
w  A  sin (t  kx   )
2
2
2
- плотность энергии упругой волны (как поперечной,
так и продольной) в каждый момент времени в разных
точках пространства различна.
118
Среднее по времени значение плотности энергии в
каждой точке среды
1 2 2
w  A 0 .
2
Скорость переноса энергии волной равна скорости
перемещения
в
пространстве
поверхности,
соответствующей максимальному значению объёмной
плотности волны w.
Для гармонической волны эта скорость равна фазовой
скорости.
07.05.2016
119
Поток энергии dФw сквозь малую площадку dS –
отношение энергии dW, передаваемой через эту
площадку за малый промежуток времени dt, к его
величине dt:
dW
dФw 
Поток
 
   
dW
dФw 
 w dS  j dS ,
dt


где j  w
07.05.2016
dt
.
– вектор плотности потока
энергии (вектор Умова)
120
Интенсивность волны – среднее значение плотности
потока энергии, переносимой волной (среднее значение
вектора Умова).

 1 2 2
j  w   A 0  .
2
Преобразование энергии волны в другие виды энергии,
происходящее при распространении волны в среде,
называется поглощением волн.
Ax   A0 e
x
, α
–
линейный
коэффициент
поглощения, зависит от свойств среды и частоты волн.
Дисперсия волн – зависимость фазовой скорости
гармонической волны в среде от их частоты.
07.05.2016
121
Интерференция волн.
Стоячие волны
Две волны называются когерентными, если разность их
фаз не зависит от t.
Интерференция волн – явление наложения волн, при
котором происходит устойчивое во времени их
взаимное усилие в одних точках пространства и
ослабление в других в зависимости от соотношения
между фазами этих волн.
07.05.2016
122
M
r1
S1
l/2
r2
S1  A1cost  kr1  1 ,
l/2
S2
Сферические волны,
возбуждаемые точечными
когерентными источниками:
L
S 2  A2 cost  kr2   2 .
Амплитуда результирующей волны в точке М:
A2  A12  A22  2 A1 A2 cosk r1  r2   1   2 .
Для когерентных источников разность начальных фаз
Δφ = φ1 – φ2 = const, следовательно, амплитуда А
результирующей волны зависит от разности хода волн
Δ = r1 – r2 .
123
k r1  r2   1   2   2m ,
m  0,1,2...
–
интерференционный
максимум А = А1 + А2.
k r1  r2   1   2   2m  1
–
интерференционный
минимум А = А1 – А2.
Частным случаем интерференции волн являются
стоячие волны – волны, образующиеся в результате
наложения 2-х бегущих гармонических волн, которые
распространяются навстречу друг другу и имеют
одинаковые А и ω.
07.05.2016
124
S1  Acost  kx ,
S 2  Acost  kx .
2x
S  S1  S 2  2 Acoskxcost  2 Acos
cost .

Aст
Аст(х) – амплитуда стоячей волны, в отличие от
амплитуды бегущей волны, является функцией только
координаты
Аст  2 Аcos
07.05.2016
2x

.
125
Точки среды, где
2x

 m , Аст  2 А  max,
называются пучностями.
2x
1

  m   , Аст  0  min,
Точки среды, где

2

называются узлами.
Координаты пучностей
Координаты узлов

xп   m .
2
1

x узл   m   .
2 2

Расстояние между двумя соседними пучностями и двумя
соседними узлами одинаковое и равно λ/2.
126
При переходе через узел фаза колебаний меняется на π.
В отличие от бегущей волны у стоячей волны все точки
между двумя соседними узлами колеблются с
различными А, но с одинаковыми фазами, т.е.
синфазно.
07.05.2016
127
Колебание струны
В
закреплённой
с
обоих
концов
струне
устанавливаются стоячие волны. В местах закрепления
струны – узлы. Следовательно, в струне возбуждаются
с заметной интенсивностью только колебания,
полуволна которых (λ/2) укладывается на длине струны
целое число раз.

2l
l  n  n  , n  1,2...
2
n
v – фазовая скорость волны;
определяется
силой
натяжения
и
линейной
плотностью струны.
n=1
n=2
n=3
128
v – фазовая скорость волны; определяется силой
натяжения и линейной плотностью струны.
v
v
n   n
n 2l
v
1 
2l
07.05.2016
–
собственные
частоты,
им
соответствуют
собственные
колебания – гармоники.
– основная частота (самая низкая
частота).
129
Эффект Доплера в акустике
Эффект Доплера – изменение частоты волн,
регистрируемых приёмником, при движении источника
волн и приёмника друг относительно друга.
(При приближении поезда тон его звука становится
выше, при удалении – ниже.)
07.05.2016
130
Источник и приёмник покоятся υист = υпр = 0.

Длина волны 0  T 
, υ – скорость звука в
0
среде (фазовая скорость).
Частота волн, регистрируемых приёмником,
 
 
 0 .
0 T
Частота звука ν, которую зарегистрирует приемник,
равна частоте ν0, с которой звуковая волна излучается
источником.
07.05.2016
131
Приёмник приближается к источнику
υпр > 0, υист = 0.
Длина волны в среде

  0  .
0
Скорость
распространения
приёмника равна υ + υпр.
волн
относительно
   пр    пр    пр
  пр 
   0 ,



 0   0 1 
0
T

 

т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником,
больше частоты колебаний источника
07.05.2016
132