ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ИЗУЧЕНИИ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
1  x 
n
 1  n  x
1

ln x  
x
ПРИМЕНЕНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ В
1
1  x  1   x
ИЗУЧЕНИИ
2
ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
u  v  '  u 'v  v'u

sin x   cos x
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Исаак Ньютон
(4 января 1643 – 20 марта 1727)
Ньютон открыл ещё
в 1665—1666 годы,
однако не публиковал
его до 1704 года.
В своих работах
функцию называл
флюентой,
а производную
функции –
флюксией.
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1 июля 1646 – 14 ноября 1716)
Лейбниц первым
опубликовал теорию и
ввел обозначение
производной
df
dx
которое применяется и
сейчас
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Архимед (287 год до н.э. – 212 год до н.э.)
Разработал метод
построения
касательной к спирали
(Архимедовой спирали)
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Аполлоний Пергский
(262 год до н.э. – 190 год до н.э.)
Строил касательные к
гиперболе, параболе и
эллипсу
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Жозеф Луи Лагранж
(25 января 1736 – 10 апреля 1813)
Лагранж ввел термин
«производная» в 1797
году и общепринятые
обозначения
y и
f
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Гийом Франсуа Лопиталь
(1661 – 2 февраля 1704)
Автор первого
учебника по
математическому
анализу
«Анализ бесконечно
малых», 1696
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Ответьте на вопросы:
Вопрос 1: Что называется производной?
Вопрос 2: В чем геометрический и физический
смысл производной?
Вопрос 3: В решении каких типов задач
применяется производная?
Вопрос 4: Сформулируйте признаки монотонности
функции и признаки экстремумов?
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Установите соответствие между функцией и ее
производной
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в экономических расчетах
Задача 1
Стоимость эксплуатации катера, плывущего со
скоростью
км/ч, составляет
v
y  700  15v  0,3v
С какой скоростью должен
плыть катер, чтобы стоимость 1
км пути была наибольшей?
2
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в экономических расчетах
Задача 2
Функция полных издержек производства имеет вид:
3
2
k ( x)  x  6 x  15 x
где х – объем производства продукции (в условных единицах)
Определить, при каком объеме производства
продукции средние издержки имеют наименьшее
значение?
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Ответьте на вопросы:
Вопрос 1: Формула перемещения при
равноускоренном движении?
Вопрос 2: Физический смысл производной?
Физический второй производной?
Вопрос 3: Закон Ома для полной цепи?
Вопрос 4:Мощность в цепи постоянного тока?
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в физике
Задача
Материальная точка движется по прямой согласно
закону
2 2 3
s(t )  12t  t
3
где s(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
В какой момент времени из промежутка [4;10]
скорость движения будет наибольшей и какова величина
этой скорости?
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в физике
Задача
Сила тока I в цепи определяется согласно закону Ома
E
I
Rr
где E – ЭДС источника, R – сопротивление внешнего
участка, r – сопротивление внутреннего участка цепи.
При каком R мощность на внешнем участке цепи
является наибольшей?
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в физике
Мощность электрического тока выражается
формулой:
2
P( R)  I R 
2
E R
 R  r 2
Исследуем полученную функцию на экстремум:
2


R

r
 2R  r R
rR
2
2
P ( R)  E
E
4
R  r 
R  r 3
Критические точки:

E
2
rR
R  r 
3
P (R )  0 
0  rR0 
Rr
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в физике
Получаем,
при R<r, разность r-R>0, функция возрастает,
при R>r, разность r-R<0, функция убывает.
То есть, точка R=r – точка максимума функции.
Следовательно, при R=r достигается наибольшая
мощность
2
2
E R
E
P

4R 2 4R
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в химии
Количество вещества, вступившего в химическую
реакцию, задается зависимостью:
t2
p(t )   3t  3  моль 
2
Найти скорость химической
реакции через 3 секунды.
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в химии
Изменение количества вещества за момент времен
t составит p  p(t  t )  p(t )
Отношение
p
t
-средняя скорость реакции за
данный период времени
t
p
lim
по определению есть производная
t  0 t
функции p(t)
v(t )  p(t ) . скорость
химической
реакции
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Производная в химии
Количество вещества, вступившего в химическую
реакцию, задается зависимостью:
t2
p(t )   3t  3
2
Скорость химической реакции задается
зависимостью:

 t2

v(t )    3t  3   t  3
2



Скорость химической реакции в момент времени t=3:
v(3)  3  3  0
Итак, скорость химической реакции в момент времени 3
равна нулю
Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин
Решите примеры
и составьте
высказывание
гениального
мыслителя!
,
Иммануил Кант
2
сколько
200
0
в каждой
5
1,004
столько
0,6
1,4
лжи
6е
скрыто
1
математики
201
науке
истины
5e
общественной
в ней
¾
естественной
заключено