По каким орбитам движутся планеты вокруг Солнца?

Глядя на мир,
нельзя не
удивляться
Козьма Прутков
Задания
Замечательные
кривые
Кривые
Дракона
Об авторе
•
•
•
•
Эллипс
Гипербола
Парабола
Спираль
Архимеда
•
•
•
•
Синусоида
Кардиоида
Циклоида
Гипоциклоиды
Возьмите плотный лист бумаги, прикрепите к
нему в двух точках нитку и натягивайте карандашом
эту нитку. Нарисуйте линию, двигая карандаш и
натягивая нитку. Это эллипс.
Все точки эллипса обладают одним свойством:
сумма расстояний от них до двух заданных точек
плоскости (фокусов) постоянна.
Планеты движутся вокруг Солнца по
эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в
одном из фокусов.
Гипербола – это
линия, для всех точек
которой разность
расстояний до двух
заданных точек
плоскости (фокусов
гиперболы) есть
величина постоянная.
Гипербола состоит из
двух отдельных ветвей.
Возьмем на плоскости прямую АN
и точку E. Теперь для любой точки
плоскости можно измерить
расстояние от нее до AN и до E.
Найдем точки, для которых эти
расстояния равны. Эти точки лежат
на параболе.
Парабола не так уж редка в
природе. Например, камень,
брошенный человеком под углом к
поверхности Земли, описывает
параболу.
Пусть по радиусу равномерно
вращающегося диска с
постоянной скоростью ползет
муравей. Проползая вперед, он
одновременно смещается в
сторону вращения диска. Путь
муравья представляет собой
спираль Архимеда.
1
0,5
0
-0,5
-1
Сделайте из плотной бумаги, свернув
ее несколько раз трубочку. Разрежьте эту
трубочку наклонно. Если трубочку не
разворачивать, то в сечении будет эллипс.
Если развернуть одну из частей трубочки и
перерисовать линию на бумагу, получится
одна из замечательных кривых –
синусоида.
Вырежьте два одинаковых
картонных круга. Один из
них закрепите неподвижно.
Второй приложите к
первому, отметьте на его
краю точку А, наиболее
удаленную от центра
первого круга. Прокатите
без скольжения подвижный
круг по неподвижному и
понаблюдайте, какую линию
опишет точка А. Это
кардиоида.
А
Проследите за траекторией, которую опишет
точка А, взятая на окружности. Начертите
получившуюся кривую. Это ЦИКЛОИДА.
Давно математики пытались решить такую задачу:
какой формы должен быть гладкий желоб,
соединяющий две точки А В, чтобы гладкий
металлический шарик скатился по этому желобу
из точки А в точку В под действием своего веса за
кратчайшее время?
А
А
В
В
Желоб должен быть прямолинейным? Нет.
Может быть, желоб следует выгнуть по дуге
окружности, как думал Галилео Галилей? Галилей
ошибался.
Только в 1696 г. Иоганн Бернулли установил, что
желоб должен быть выгнут по циклоиде,
опрокинутой вниз.
Возьмем кусок толстого картона и вырежем в
нем круг радиусом 12 см. Из того же материала
вырежем три кружка радиусами 4 см, 3 см и 2
см. Положим кусок картона с вырезанным в нем
отверстием на лист бумаги, вложим в этот вырез
первый из трех кружочков, чтобы он касался
края, отметим на окружности этого кружка точку
А. Проследим за тем, какую линию опишет
отмеченная точка, когда кружок покатится по
окружности выреза без скольжения. Проделаем
то же самое со вторым и третьим кружками.
Полученные линии – гипоциклоиды.
Мы попали в мир
интересного
семейства линий. Они
заключены внутри
дракона и своими
изгибами
обрисовывают его
контур. Люди,
видевшие драконов,
подтверждают, что
они выглядят именно
так.



Как получаются такие линии?
Возьмите длинную полоску бумаги, левый
конец которой пометьте точкой. Сверните ее
пополам, чтобы точка оказалась закрытой, а
потом еще пополам (всякий раз правый конец
накладываем на левый). Разверните ее
теперь так, чтобы линии сгибов отчетливо
выделялись, и положите на стол. Точка
должна быть слева. У вас получилась полоса.
Изгибы идут в следующем порядке: вниз вниз - вверх. Или, вводя обозначения Н —
вниз, В — вверх, это запишется так: Н Н В.
Сложите полоску три раза пополам. Изгибы
теперь идут так: Н Н В Н Н В В.
Сложит полоску четыре и пять раз и
запишите, как будут чередоваться изгибы.
Должны получиться следующие цепочки
букв:
при четырех сгибах: ННВННВВНННВВНВВ
Вы получили КОДЫ ДЛЯ РИСОВАНИЯ КРИВЫХ ДРАКОНА.
Закономерности:
1) число изгибов нечетно;
2) в середине всегда Н, а сгибы до этого среднего Н
такие же, как и на предыдущем шаге;
3) буквы, равноудаленные от среднего Н, всегда различны.
Возьмем лист клетчатой бумаги и проведем в нем вертикальную
черточку по стороне одной клетки. Заменим в коде букву Н на
Л (левый поворот), а букву В на П (правый поворот) и
продолжим проведенную черточку, следуя командам кода и
поворачивая последовательно налево и направо на 90°. На
рисунке изображены «дракончики», соответствующие 1, 2, 3
и 4 складываниям.
Задания





Проверь себя
Выполни практические задания
Расскажи о замечательных кривых
родителям
Нарисуй двух драконов: доброго и
злого
Узнай о жизни великих ученых
Эллипс, гипербола,
парабола могут быть
получены при
пересечении конуса
плоскостью. Их
называют коническими
сечениями.
Рис. 1
По каким орбитам
движутся планеты вокруг
Солнца?
А
синусоида
циклоида
парабола
Бернулли
Галилей
Архимед
На каких рисунках изображен
конус?
2
1
На 1 и 2
3
На 2 и 3
На 1 и 3
Архимед

(Archimedes; около 287 - 212 до н. э.),
древнегреческий учёный, математик и механик.
Развил методы нахождения площадей поверхностей
и объёмов различных фигур и тел. Его
математические работы намного опередили своё
время и были правильно оценены только в эпоху
создания дифференциального и интегрального
исчислений. А. - пионер математической физики.
Математика в его работах систематически
применяется к исследованию задач естествознания и
техники. А. - один из создателей механики как науки.
Ему принадлежат различные технические
изобретения.
Иоганн Бернулли

(27.7.1667, Базель, - 1.1.1748, там же), младший брат Якоба Б.,
профессор математики Гронингенского (Голландия) (с 1695) и
Базельского (с 1705) университетов. Почётный член Петербургской АН.
Был деятельным сотрудником Лейбница в разработке
дифференциального и интегрального исчислений, в области которых
им был сделан ряд открытий. Дал первое систематическое изложение
дифференциального и интегрального исчислений, продвинул далее
разработку методов решения обыкновенных дифференциальных
уравнений, поставил классическую задачу о геодезических линиях и
нашел характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее
вывел их дифференциальное уравнение. Ожесточённый спор о
решении вариационных задач, разгоревшийся между Иоганном и
Якобом Б., в некоторой мере способствовал постановке новых проблем
в этой области. Иоганну Б. принадлежат также ценные исследования
по механике: теория удара, движение тел в сопротивляющейся среде,
учение о живой силе и др.
Галилео Галилей


(15.2.1564, Пиза, - 8.1.1642, Арчетри, близ Флоренции), итальянский физик, механик и
астроном, один из основателей естествознания, поэт, филолог и критик.
Г. принадлежал к знатной, но обедневшей флорентийской семье. Отец его, Винченцо,
известный музыкант, оказал большое влияние на развитие и формирование способностей Г.
До 11 лет Г. жил в Пизе, посещал там школу, затем семья переселилась во Флоренцию.
Дальнейшее воспитание Г. получил в монастыре Валломброса, где был принят
послушником в монашеский орден. Здесь познакомился с работами латинских и греческих
писателей. Под предлогом тяжёлой глазной болезни отец взял сына из монастыря. По
настоянию отца в 1581 Г. поступил в Пизанский университет, в котором изучал медицину.
Здесь он впервые познакомился с физикой Аристотеля, с самого начала показавшейся ему
неубедительной. Г. обратился к чтению древних математиков - Евклида и Архимеда.
Архимед стал его настоящим учителем. Увлечённый геометрией и механикой, Г. бросил
медицину и вернулся во Флоренцию, где провёл 4 года, изучая математику. Результатом
этого периода жизни Г. были небольшое сочинение "Маленькие весы" (1586, изд. 1655), в
котором описаны построенные Г. гидростатические весы для быстрого определения состава
металлических сплавов, и геометрическое исследование о центрах тяжести телесных
фигур. Эти работы принесли Г. первую известность среди итальянских математиков. В 1589
он получил кафедру математики в Пизе, продолжая научную работу. В рукописях
сохранился его "Диалог о движении", написанный в Пизе и направленный против
Аристотеля. Часть выводов и аргументация в этой работе ошибочны, и Г. впоследствии от
них отказался. Но уже здесь, не называя имени Коперника, Г. приводит доводы,
опровергающие возражения Аристотеля против суточного вращения Земли.
Кардиоида
Есть еще столь же изящный, сколь неожиданный способ увидеть
кардиоиду. на рисунке вы видите точечный источник света на
окружности. После того как лучи света отразятся в первый раз от
окружности, они идут по касательной кардиоиде. Представьте себе,
что окружность - это края чашки, в одной точке ее отражается яркая
лампочка. В чашку налит черный кофе, позволяющий увидеть яркие
отраженные лучи. Кардиоида в результате оказывается выделенной
лучами света.
Об авторе
Салькова Ирина Ефимовна
учитель математики МАОУ
«Лицей № 62»
г. Саратова