Конечно-разностный анализ вариационно

Конечно-разностный
анализ вариационноразностных и КЭ схем
Чекмарев Д.Т., ННГУ им. Н.И.Лобачевского
Задача Дирихле
Задача Дирихле
2
2


u

u
 1)
 2 0
2
y
 x
 u    ( x, y )


2
2

1  u   u 
 2)
W        dxdy  min

2   x   y 

u    ( x, y )

Метод конечных разностей
i+1j+1
ij+1
h2
h1
ij
i+1j
 2u
1
 2u
1
 2 (u i 1 j  2u ij  u i 1 j ) , 2  2 (u ij 1  2u ij  u ij 1 )
2
x
h1
y
h2
1
1
 2 (ui 1 j  2uij  ui 1 j )  2 (uij 1  2uij  uij 1 )  0, (i, j )   h
h2
 h1

uij   ( xij , yij )
(i, j )  h
Вариационно-разностный метод

Функционал
2

Вариационное уравнение
2
1  u   u 
W        dxdy
2   x   y 
 u   u   u   u 
W           dxdy  0
x   x   y   y 

Вариационно-разностный метод

Дискретизация
1
 u 
(u i 1 j  u i 1 j 1  u ij 1  u ij )  d1 u ij ,
  
 x  ij 2h1
1
 u 
  
(u i 1 j  u i 1 j 1  u ij 1  u ij )  d1 u ij ,
 x  ij 2h1
 u 
1
  
(u ij 1  u i 1 j 1  u i 1 j  u ij )  d 2 u ij ,
 y  ij 2h1
 u 
1
   
(u ij 1  u i 1 j 1  u i 1 j  u ij )  d 2 u ij
 y  ij 2h1
Вариационно-разностный метод
Дискретное вариационное уравнение

Wh 

 d u d u   d u d u  S  0
( i , j ) h

1

1

2

2
ij
ij
Собирая коэффициенты при u ij ,
получим разностную схему


1
(u i 1 j 1  2u i 1 j  u i 1 j 1 )  2(u ij 1  2u ij  u ij 1 )  (u i 1 j 1  2u i 1 j  u i 1 j 1 ) 
4h12



1
(u i 1 j 1  2u ij 1  u i 1 j 1 )  2(u i 1 j  2u ij  u i 1 j )  (u i 1 j 1  2u ij 1  u i 1 j 1 )  0, (i, j )   h
2
4h2
Метод конечного элемента

Функционал
2
1  u   u 
W        dxdy
2   x   y 
2

Прямоугольный билинейный элемент
Метод конечного элемента

Функция в элементе
u  C0  C1  C2  C3
u u

 C1  C3
x 
u u

 C2  C3
y 

Wh 
Дискретный функционал
1

2 (i , j )h
h1
2
h2
2
2
2
2
1
1 2
 u   u 
 2
2
2
2 



d

d


(
C

C
)
h
h

C
h
h
(
h

h



1
2
1 2
3 1 2
1
2 )
h h  x   y 

2 (i , j )h 
12
 ij
 1 2
2
Метод конечного элемента


Вариационное уравнение
1

2
2 
Wh   (C1C1  C 2C 2 )h1h2  C3C3 h1h2 (h1  h2 )  0
12
 ij
( i , j ) h 
Выражение коэффициентов через
узловые неизвестные
 
1
(u ij  u i 1 j  u ij 1  u i 1 j 1 )  d 0 u
4
С1  d1 u ij
С0 
С2
ij
 
 d u 

2
ij
 
1
С3 
(u ij  u i 1 j 1  u i 1 j  u ij 1 )  d 3 u
h1 h2
Wh 
 
  

ij
1
 



2
2 
d
u
d

u

d
u
d

u

C

C
(
h

h

1
2
2
3
3
1
2 )  S  0
 1
12
 ij
( i , j ) h
Метод конечного элемента

Собирая коэффициенты приu ij ,
получим разностную схему


1
(ui 1 j 1  2ui 1 j  ui 1 j 1 )  2(uij1  2uij  uij1 )  (ui 1 j 1  2ui 1 j  ui 1 j 1 ) 
2
4h1


1
 2 (ui 1 j 1  2uij1  ui 1 j 1 )  2(ui 1 j  2uij  ui 1 j )  (ui 1 j 1  2uij1  ui 1 j 1 ) 
4h2
1 1 1 
  2  2  (ui 1 j 1  2uij1  ui 1 j 1 )  2(ui 1 j  2uij  ui 1 j )  (ui 1 j 1  2uij1  ui 1 j 1 )  0,
6  h1 h2 
(i, j )   h


Сеточные методы

Нерегулярная сетка

Регулярная сетка
b2

Равномерная сетка
b1
Определение равномерной сетки
 xij1   x01   b11   b12 
 2       i    j
 x   x2  b  b 
 ij   0   21   22 
 xij1   x01 
i
 2      Bh  
 j
 x   x2 
 
 ij   0 
 x(1i )   x01 
 i1 

  
 
 .   . 
 i2 
 .      B   или
h

  . 
 
 .   . 
 
 n   n 
i 
x
 n
 (i )   x0 
x(i )
 i1 
 
 i2 
 x0  Bh  (i ), где (i )   
 
 
i 
 n
Вывод дифференциального
уравнения из вариационной
задачи
Функционал ->
 Вариационное уравнение->
 Интегрирование по частям ->
 Уравнение Эйлера вариационной
задачи

Построение конечноразностного представления
вариационно-разностной или
КЭ схемы
Функционал ->
 Сеточный функционал->
 Дискретное вариационное уравнение->
 Интегрирование по частям(сеточное)->
 Разностная схема

Сеточные операторы
Основные операторы

d

m

f  j 

 k  Ш
d 0 f  f Ox , d m f 
 mk  f  j    k  ,

f
Ox , m1,..., n
m
X
Сопряженные операторы
d f        f     ,
 

m
j
m
k Ш
m
k
j k
 m  (1) K
K – порядок производной
Теорема (разностный аналог формул
интегрирования по частям)


Формулы интегрирования по частям:
Пусть f  g  0 на V
, тогда


V
g
 f
f
dV   g
dV
m
m
X
X
V
(*)
Справедливы равенства (аналоги (*)):


f
d
  j m g
 j V
  V    d f   g   V , m  0,..., n
 
j

m
m
j V
j
j





Метод преобразования вариационно-разностных
схем в конечно-разностный вид.
Пусть u  u1 ,..., u m  - векторная функция, p jk   u j
 Xk
W   F u1 ,..., u n , p11 ,..., pmn dV
- функционал.
V
В вариационном уравнении
m
 F
 F  uj
 W  
uj  
 
k

u

P

X
k

1
j
jk

V j 1 

m



заменим интеграл конечной суммой:
m 
  f
 d 0 u j
 
l V  j 1   u j
 

 f


l     P
k 1 
jk

m

  d k u j

 l 

 
 V  0,
l  



Применяя формулу, получим разностный аналог
уравнений Эйлера вариационной задачи



 dV  0

Здесь
n
d f j 0   d k f jk  0 ,  j  1,, m 

0
k 1
f j 0   f  u j , f jk   f  p jk .
 j  1,, m .

Рассмотрим случай квадратичного функционала с постоянными
коэффициентами, когда подынтегральная функция имеет вид
n
n

1 m  ij
ij
F (u1 ,, u m , p11 ,, pmn )    C00ui u j   C0 k ui p jk   C klij pik p jl 

2 i , j 1
k 1
k ,l 1


В этом случае сеточные функции
являются линейными:
n
m
f jk   C rsjk d r u s
f j 0   f  u j , f jk   f  p jk
 j  1,, m; k  0,, n 
r  0 s 1

и система сеточных уравнений принимает вид
n
 rs  

rs  
C
d
d
u

C
d
d
u

 j 0 r 0 s  jk r k s   0
r  0 s 1 
k 1

n

m
Или
n
 rs

rs

C j 0 Dr 0 u s   C jk Drk u s   0,
r  0 s 1 
k 1

n

 j  1,, m
где
m
D jk  d j d k
 j  1,, m
 j, k  0,..., n.

  
2
D00  I ; D j 0 , D0 j 
; D , D kj 
j   jk
X  
X j X k


,

Случай нескольких элементов в ячейке

Система примет вид:
n
 rs *

rs
*
C
D
u

C
D
u

 j 0 ro s  jk rk s   0,
r  0 s 1 
k 1

n

где
m
p
D *jk    l d j ,l d k,l
l 1
 j  1,, m
Преобразование схем МКЭ (двумерный случай)

Функционал
Wh 

r
   F u, p1, p2  d 
 i, j   h k 1
i j k
функция в элементе в виде
u

mk 1
 C llk
или
mk 1
 dlk  u ij  lk
u
l 0
l 0


Получим после интегрирования:
Вариация функционала:
 Wh 

Wh 
 f  d u     f


 
r
i , j  h k 1
k0
Разностная схема:
k
0
i , j h k 1
 d mk  1u ij
km k 1
r mk 1
 


 
r
k
   l dlk  f kl
k 1 l 0
0
k
ij 0
, ,  ijmk 1

Эрмитовы элементы

Функция в виде
u
3mk 1
C 
l 0

или
u
 d u  
mk 1
k
l
l 0

lk 0

lk



 d lk  p1 ij lk1  d lk  p2 ij lk 2

Функционал
Wh 

ij
l
 


 
r
i , j  h k 1
k
ij 0
,,  ijmk 1 ,ij 0 ,,ijmk 1 ,  ij 0 ,,  ijmk 1 ,

 ijl  d l u ij ,ijl  d l p1 ij ,  ijl  d l p2 ij
Разностная схема
r mk 1

k 1 l 0
f kl 
 l dlk  f kl
0
r mk 1

k 1 l 0
 l dlk  g1kl
 k
 k
 k
, g1 kl 
, g 2 kl 
  ijl
 ijl
  ijl
0
r mk 1
   l dlk  g2 kl
k 1 l 0
0
Элементы, содержащие дополнительные узлы

Сирендипов элемент:

Разностная схема:
 r m 1
k 1

d
   l l f1kl  0,
 k 1 l  0
,
 r m 1
ks 
    l dl f skl  0.
 k 1 l  0
k1
ks
Пример: одномерный эрмитов элемент:
Функционал:
b
2
  u
W   u 
 dx
 x
a
2
Сетка равномерная с шагом h
u  c0  c1x  c2 x 2  c3 x 3
 
d0 f
i

1
u  ui 1 ,
2 i
 
d1 f
i

1
u  u 
h i 1 i
h2
h2
3h2


 c2 , d1 u  c1  c3 , d0 p  c1  c3
, d1 p  2c2
4
4
4
Разностная схема:
d0 u  c0
h2  
 12 89 2     2 33 2   
2 d d u  d 0 d1 p   
h  d1 d1 u   
h d1 d 0 p  0,
6
 5 280 
 5 280 

0

0
h2  
h4  
h2  
 2 19 2     2 41 2   
d1 d 0 u  d1 d1 p   
h  d 0 d1 u   
h d 0 d 0 p  d1 d1 p  0.
6
64
5
280
5
840
6




операторы:
1
1
f i 1  2 f i  f i 1 , d0 d1 f  d1 d0 f   f i 1  f i 1 ,

4
2h
1
d1 d1 f  2  f i 1  2 f i  f i 1 .
h
d0 d0 f 
Пример: восьмиузловой сирендипов элемент
Функционал:
2
2
1   u   u
W  
   dx dy
2   x    y 
Сетка равномерная прямоугольная с шагами h1,h2
2
2
2
u  c0  c1x  c2 y  c3 xy  c4 x  c5 y  c6 x y  c7 xy
Разностная схема:  h 2



2

2
2

 1  h 2  d31 d31 u  16 d01 d01 u  d01 d02   16 d01 d01 u  d01 d03  w   1  5h 2  
2
2
2
 12 12 
5
3h 1
3h 2
9h 1 







 5h 2 1  1 1
1 1 3 
1 1 2 
1 1
1 2 
1 3 
 d2 d2 u  d2 d1    22   d1 d1 u  d1 d1 w  d1 d1 w  d2 d1   0,
3
3
 9h 1 5 
 1 5h 2  2 1
16 2 1
2 2
2 2
2 2
 d1 d1   2 d0 d0 u  d0 d0     22  d1 d2 u  d1 d1  
3h 1
 5 9h 1 






1 2 2
1 2 1
2 2
 d1 d1   d1 d2 u  d1 d1   0,
3
3

d13  d13  w 

16
d 3  d01 u  d13  d13  w
2 1
3h 2



 1 5h 22  3  1
   2  d1 d1 u  d13  d13  w 
 5 9h 1 
1
1
 d13  d13  w  d13  d11 u  d13  d13  w  0.
3
3


Применение. Теория пластин Тимошенко (одномерная задача)
Система уравнений в безразмерном виде
  2 w    2 w
 
a

0
2
2
x т
x
  2
 2 w 12a   w
 2 
   
0
2
2
x
 x
 т
эквивалентна одному уравнению четвертого порядка
 4 w 12a  2 w  1   4 w
1  4w
 2
 1  

 0.
4
2
2
2
4
a т
x
  т  a x  т
Схема МКР
 w,   aD11w  D01   Dтт w  0
 w,   D11 
12a

2
D01w     Dтт w  0
Вариационно-разностная схема
 w,   aD11 w  D01   Dтт w  0
  w,   D11 
12a

2
D01w  D00   Dтт w  0
Схема МКЭ (линейный элемент)
w,   aD11w  D01   Dтт w  0

h12
12a 
  w,   D11  2  D01w  D00 
D11   Dтт w  0
12
 

В виде одного уравнения:
МКР
2





x
1  3a   D D w  12 D w  1 
тт
    11 11
2



  

1
1
 D11 Dтт w  Dтт Dтт w  0.
a
a
В-Р М
D11 D11w 
1
 1
D
D
w

1

D
D
w

Dтт Dтт w  0.

 11 тт
00 тт
2
a

 a
12
МКЭ
2





x
1  a   D D w  12 D * D w  1  1  D D w  1 D D w  0.
0 тт
11 тт
тт тт
2
    11 11

a
a



  

Тестовая задача:
поперечные колебания
квадратной пластины
Типы сеток
а
1111 узлов(X/h=5)
б
2121 узел(X/h=2.5)
в
Треугольная сетка: два типа ячеек
=
*
Dij
1
 Dij  D ji 
2
+
Ажурные сетки
Ячейка ажурной сетки
Шаблон
Самая ажурная сетка
Окрестность узла
 Ажурная сетка
самая ажурная сетка
Анализ аппроксимации с учетом
взаимного расположения элементов
Типы элементов:
 8-узловой с неполным интегрированием (схема
Уилкинса): u(x1,x2,x3)=c0+c1x1+c2x2+c3x3
 4-узловой линейный: u(x1,x2,x3)=c0+c1x1+c2x2+c3x3







с разбиением гексаэдра на 5 тетраэдров (базовый вариант)
с разбиением гексаэдра на 5 тетраэдров (ажурный вариант)
с симметричным разбиением гексаэдра на 6 тетраэдров
с несимметричным разбиением гексаэдра на 6 тетраэдров
с разбиением гексаэдра на 5 тетраэдров
ажурная схема (базовый вариант)
«суперажурная» схема
Построение сеточного оператора КЭ схемы
(линейный элемент)
Функция в элементе:
u  c0  c1 x1  c2 x 2  c3 x 3
Представление коэффициентов:
c0  d 0 u, c1  d1 u, c2  d 2 u, c3  d 3 u
Сеточные операторы:
d m    mk T( k )
k Ш
T( k ) f (i )  f (i ) ( k-) оператор сдвига:
f


d 0 f  f Ox , d m f  m Ox , m1,2,3
x
Сопряженные операторы:
 0  1,  m  1, (m  1,2,3)
d 0
f  f Ox ,
d m
d m  m
m

 k T(k )
k й 
f
f
Ox , m1,2,3
m
X
Случай нескольких элементов в
параллелепипеде
Предположим, что каждая элементарная ячейка равномерной сетки
(параллелепипед) разбита на p ячеек вариационно-разностной схемы
(многогранников с вершинами в узлах элементарной ячейки). Каждому
многограннику соответствует свой шаблон и соответственно система
операторов d q,l (q=0,...,n; l=1,...p).
Пусть объемы многогранников равны
p
 l V l  1,, p . При этом   l  1. Тогда разностная схема примет вид
l 1
p
 d
l 1
l

0 ,l
p
f j 0l    l d k,l f jkl 0
Разбиение гексаэдра на 5 элементов:
Разбиение гексаэдра на 6 элементов:
Ажурная схема:
n
k 1 l 1
1
1
p  5 : 1  ,  2   3   4   5 
3
6
p  6 : 1   2   3   4   5   6 
1
6
p  5 :  1  1,  2   3   4   5  0
Система уравнений Ламе теории упругости
 2u
   grad div u  u   2
t
Схемы МКЭ
D11 u1  D12 u 2  D13 u3
u1
u1
D31 u1  D32 u 2  D33 u3
u3
u3
    D21u1  D22 u2  D23 u3   D u 2  Dtt u2
Операторы сеточного дифференцирования:
Схема Уилкинса:
Схемы линейного КЭ:
Ажурная схема:
«Суперажурная» схема:
Сеточный оператор Лапласа:
Dij  d i d j
p
Dij    l d i,l d j ,l
l 1
Dij 

1  
d i ,1d j ,1  d j ,1d i,1
2
Dij  d i,1d j ,1
D  D11  D22  D33

Разбиение гексаэдра на тетраэдры

Разбиение на 5 тетраэдров

Разбиение на 6 тетраэдров
симметричное
несимметричное
Аппроксимация уравнения.
Ажурная u схема
u
u
u

D11u ijk
1 
 2   uij 1k 1  uij 1k 1  uij 1k 1  uij 1k 1  4uijk
4h1 
 u
 i 1 j 1k  ui 1 j 1k  ui 1 jk 1  ui 1 jk 1
D12u ijk
i 1 j 1k
i 1 j 1k
i 1 jk 1
i 1 jk 1


 2u
2
 

O
(
h
)
1 2
 ( x )


1
 2u
ui1 j1k  ui1 j1k  ui1 j1k  ui1 j1k   1 2  O(h 2 )

4h1h2
x x
Шаблон ажурной сетки
Аппроксимация уравнения.
«Суперажурная»
схема
u
u
u
u

D11u ijk
D

i 1 j 1k
i 1 j 1k
i 1 jk 1
i 1 jk 1


1
 2u
 2   uij 1k 1  uij 1k 1  uij 1k 1  uij 1k 1  4uijk   
 O(h 2 )
1 2
4h1 
 ( x )
 u

 i 1 j 1k  ui 1 j 1k  ui 1 jk 1  ui 1 jk 1

12( 21) u ijk 

1
ui1 j 1k  ui1 j 1k  ui1 j 1k  ui1 j 1k   ()
4h1h2
1
ui1 jk 1  ui1 jk 1  uij1k 1  uij1k 1  ui 1 jk 1  ui 1 jk 1  uij1k 1  uij1k 1  
4h1h2
 2u
 1 2  O ( h)
x x
Окрестность узла
суперажурной сетки
Аппроксимация уравнения.
5 тетраэдров в параллелепипеде
D11u ijk


 ui 1 j 1k  ui 1 j 1k  ui 1 jk 1  ui 1 jk 1 


1 1
  2   uij 1k 1  uij 1k 1  uij 1k 1  uij 1k 1  4uijk   
3  4h1 


 u
u

u

u

i 1 jk 1
i 1 jk 1
i 1 j 1k


 i 1 j 1k
 2u
2 1
ui1 jk  2uijk  ui1 jk   1 2  O(h 2 )

2
3 h1
( x )
D12u ijk


1
ui1 j 1k  ui1 j 1k  ui1 j1k  ui1 j1k  
4h1h2
1
ui1 jk 1  ui1 jk 1  uij 1k 1  uij 1k 1  ui1 jk 1  ui1 jk 1  uij 1k 1  uij 1k 1  
12 h1h2
 2u
 1 2  O ( h)
x x
Базовый вариант отличается от ажурного
тем, что центральные тетраэдры в соседних
параллелограммах в базовом варианте
одинаково ориентированны, в ажурном же
разбиении центральные тетраэдры имеют
разную ориентацию
Разбиение ячейки
Аппроксимация уравнения.
6 тетраэдров в параллелепипеде
(симметричное
разбиение)
1
 2u
D11u ijk  2 ui1 jk  2uijk  ui1 jk   1 2  O(h 2 )
( x )
ui 1 jk 1  uij 1k 1  ui 1 j 1k 1  uijk 1  


1 




2
u

u

u

2
u

u

u

u



i 1 jk 1
ij 1k 1
i 1 j 1k 1
ijk
i 1 j 1k
ij 1k
i 1 jk
6h1h2 

 uij 1k 1  ui1 jk 1  uijk 1  ui1 j1k 1 

h1
D12u ijk
 2u
 1 2  O(h 2 )
x x
Расположение тетраэдров в параллелепипеде
Аппроксимация уравнения.
6 тетраэдров в параллелепипеде
(несимметричное разбиение)
Расположение тетраэдров в параллелепипеде
Порядок точности схем МКЭ
схема Уилкинса
 схема полилинейного КЭ
 схемы линейного КЭ:

 разбиение
на 5 тетраэдров
 симметричное разбиение на 6
 несимметричное разбиение на 6
 ажурная (базовый вариант)
 суперажурная
2
2
1
2
1
2
1
Численные результаты (ажурная схема)
Задача о деформировании диска под
действием внезапно приложенного давления
h=1,5 см, R=14,85 см,
=7,8 г/см3, E=210 ГПа,
=0,3.
P=0,17 ГПа.
Сетка: 16 ячеек
по толщине,
80 вдоль радиуса
Ажурная схема
Схема Уилкинса
Схема Уилкинса со
сглаживанием
Колебания сферической оболочки
h=3 см, Rвнутр =60 см,
=7,8 г/см3, E=210 ГПа,
=0,3.
V0=100 м/сек.
Сетка: 4 ячейки
по толщине, 60 вдоль
меридиана
Период колебаний:
Аналитическое решение: 4,30*10-4 сек.
Численное решение:
4.48*10-4 сек.
Задача о колебаниях бруса квадратного
сечения под действием приложенного
давления
L=10 см,
h1=1 см, h2=1 см,
=7,8 г/см3, E=210 ГПа,
=0,3.
P=0,17 ГПа.
Сетка: 40x4x4 ячеек,
80x8x8 ячеек
Тест на внутреннюю сходимость
(скорость в центре нагруженной грани)
Сравнение трех схем на крупной сетке
• схемы Уилкинса: 1025 узлов и 640 элементов
• ажурная схема: 512 узлов и 640 элементов
• схема на тетраэдрах: 1025 узлов и 3200 элементов
Сравнение трех схем на мелкой сетке
• схемы Уилкинса: 6561 узлов и 5120 элементов
• ажурная схема: 3280 узлов и 5120 элементов
• схема на тетраэдрах: 6561 узлов и 25600 элементов
Сравнение с решением ANSYS (Ls Dyna)
на крупной сетке
Сравнение с решением ANSYS на
мелкой сетке
Сравнение временных затрат на
решение
Схема
t – время
счета, с
t / tA
(t- tA)/ tA∙100%
ажурная, 4x4x40
12
1
0%
cуперажурная, 4x4x40
11
0,917
-8,33%
Уилкинс, 4x4x40
17
1,417
41,67%
тетраэдры, 4x4x40
77
6,417
541,67%
ажурная, 8x8x80
216
1
0%
cуперажурная, 8x8x80
155
0,718
-28,24%
Уилкинс, 8x8x80
324
1,5
50,00%
тетраэдры, 8x8x80
1336
6,185
518,52%
Все вычисления (кроме ANSYS) были выполнены с помощью разных
вариантов одной программы, поэтому была возможность сравнить их по
реальной эффективности. Расчеты производились на одном компьютере в
однопроцессорном режиме
Упругопластические задачи (теория течения с
линейным кинематическим упрочнением)
Задача 1. Динамический изгиб балки под действием взрыва
Модуль Юнга Е, фунт/дюйм2 10.7106
Коэффициент Пуассона  0.33
Плотность , фунтc2/дюйм4 2.510-4
Предел текучести σТ,
фунт/дюйм2
Модуль упрочнения,
фунт/дюйм2
41200
61200
Ажурная схема
Схема Уилкинса
Решение ANSYS
Задача 2. Динамический изгиб круглой пластины
под действием импульсной нагрузки
Модуль Юнга Е, Гпа
71.8
Коэффициент Пуассона 
0.3
Плотность , г/cм3
2.6697
Предел текучести σТ, МПа
280
Модуль упрочнения, 1/3g, МПа
140
Деформированная конфигурация пластинки
Интенсивность пластических деформаций (вид «сверху»)
Задача 3. Динамический изгиб бруса с отверстием
Матери
Матер
ал 1
иал 2
110.37
11.37
0.32
0.32
4.99 е-7
4.99 е-7
Предел текучести σТ
–
0.0468
Модуль упрочнения
–
0.03
Пластическая
–
11%
Модуль Юнга Е
F
Материал1
Коэффициент Пуассона

700
525
Материал 2
190
25
48
105
Плотность 
деформация разрушения
Ажурная схема
Решение ANSYS
Статическая задача теории упругости.
Сравнение результатов с ANSYS
Деформация полого цилиндра между двумя
жесткими плоскостями:
Статика, внутренний радиус Ri=0.05 м, внешний радиус
Ro=2*Ri, длина полого цилиндра L=12*Ri, смещение каждой
жесткой плоскости при сдавливании 0.01*Ri, свойства
материала: модуль упругости E=200 ГПа, коэффициент
Пуассона =0.3, количество элементов 10*16*60.
в силу симметрии
рассчитывалась восьмая
часть от трубы.
ANSYS(слева), ажурная схема (справа)
Поперечное смещение в центре контактного пятна вдоль оси
цилиндра:
Продольное смещение в центре контактного пятна вдоль оси
цилиндра:
Полное (модуль) смещение в центре контактного пятна вдоль
оси цилиндра:
Контактное давление(пятно контакта)
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной
динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом
.Учебное пособие. Нижний Новгород, изд-во ННГУ, 2000. 118 с.
Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Об индексной коммутативности
численного дифференцирования // Ж. вычисл. математики и мат.
физики. 1989. Т. 29. № 5. С. 662-674.
Горельский В.А., Зелепугин С.А., Смолин А.Ю. Исследование
влияния дискретизации при расчете методом конечных элементов
трехмерных задач высокоскоростного удара // Ж. вычисл.
математики и мат. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 742-750.
Чекмарев Д.Т. Численные схемы метода конечного элемента на
«ажурных» сетках // Вопросы атомной науки и техники. Сер.
Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып.
2. С. 49-54.
Жидков А.В., Зефиров С.В., Кастальская К.А. Спирин С.В.,
Чекмарев Д.Т. Ажурная схема численного решения трехмерных
динамических задач теории упругости и пластичности// Вестник
ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2011. № 4, часть 4. С. 1480-1482.
Спасибо
за
внимание