Основные определения, примеры

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
5 семестр
Лекция 1
Приведение уравнений к каноническому виду.
17 октября 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Основные определения, примеры
Уравнение в частных производных для функции
u  u( x1 , x2 ,..., xn )
c n независимыми переменными


u u
u
ku
F  x1 , x2 ,..., xn , u,
,
,...,
,..., k1 k2
0
kn
x1 x2
xn
 x1 x2 ... xn 

Линейное уравнение второго порядка с n независимыми переменными
n
 2u
u
aij ( x1 , x2 ,..., xn )
  bi ( x1 , x2 ,..., xn )


xi x j i 1
xi
i , j 1
n
c( x1 , x2 ,..., xn )u  d ( x1 , x2 ,..., xn )  0
Основные определения, примеры
Соглашение:
В линейном уравнении
второго порядка матрицу
A   aij 
 2u
 2u
...  aij
 ...  a ji
 ...  0
xi x j
x j xi
 2u
...  ( aij  a ji )
 ...  0
xi x j
считаем симметричной.
aij  a ji  2u
aij  a ji  2u
... 

...  0
2 xi x j
2 xi x j
Определение:
aij  a ji  2u
aij  a ji  2u
... 

...  0
2 xi x j
2 x j xi
Матрица А называется
матрицей уравнения.
Aij 
aij  a ji
 Aij  Aji
2
 2u
 2u
...  Aij
 Aji
...  0
xi x j
x j xi
Основные определения, примеры
Характеристической формой уравнения в точке
x  ( x1 , x2 ,..., xn )
называется квадратичная форма
Q(ξ1 ,ξ1,...,ξ n ) 
n
 a ( x , x ,..., x )ξ ξ
i , j 1
ij
1
2
n
i
j
Линейное уравнение в частных производных второго порядка
классифицируется в зависимости от нормального вида
Q
характеристической формы
Q(ξ1 ,ξ1 ,...,ξ n ) 
n
 ε ξ , ε {1; 1;0}
i , j 1
2
i
i
i
Основные определения, примеры
Эллиптический тип: либо все коэффициенты
либо все коэффициенты
ε1  ε 2  ...  ε n  1
ε1  ε 2  ...  ε n  1.
Гиперболический тип: либо один из коэффициентов равен 1, а
все остальные равны –1, либо один из коэффициентов равен –1,
а все остальные равны 1.
Параболический тип: либо один из коэффициентов равен 0, а
все остальные равны 1, либо один из коэффициентов равен 0, а
все остальные равны –1.
Приведение линейным преобразованием
 x1 
 x1   t 11 t12 . . . t1n   x1 
 
 x  t t . . . t  
 x2 
2n   x 2 
 2    21 22

T
 ... 
 ...   . . . . . . . . . .   ... 
 
 
  
 xn 
 xn   t n1 tn 2 . . . tnn   x n 
 
( 1)
( 1)
( 1)
 x1   t11 t12 . . . t1n   x1 
 x1 


 
x 
x 
( 1)
( 1)
( 1)
t
t
.
.
.
t


x
2
 
21
22
2n
 2   T 1  2 

 ...   . . . . . . . . . .   ... 
 ... 
 
  
 
 x n   t ( 1) t ( 1) . . . t ( 1)   xn 
 xn 
   n1 n 2
nn 
x k  tk( 11) x1  tk( 21) x2  ...  tkn( 1) xn

n
u
( 1) u
  tki
xi k 1
 xk
2
n
 2u

u
( 1)
  tki( 1)tmj
xi x j k ,m1
 xk xm
 xk
 tki( 1)
xi
Приведение линейным преобразованием
 n ( 1) ( 1)  2u  n  n ( 1) u
aij   tki tmj

   bi   tki
 x k  x m  i 1  k 1
 xk
i , j 1
 k ,m1
n

  cu  d  0

n
 n ( 1) ( 1)   2u
 n ( 1)  u
    tki bi 
 cu  d  0
  tki tmj aij 

k ,m 1  i , j 1
  xk
  x k  x m k 1  i 1
n
a km 
n
n
i , j 1
i 1
( 1) ( 1)
( 1)
t
t
a
,
b

t
k
 ki mj ij
 ki bi
n
 2u
u
a km
  bk
 cu  d  0

 x k  x m k 1 xk
k ,m 1
n
Приведение линейным преобразованием
a km 
n
n
i , j 1
i 1
( 1) ( 1)
( 1)
t
t
a
,
b

t
k
 ki mj ij
 ki bi
 a 11 a12 . . . a1n 


a
a
.
.
.
a
2n 
A   21 22
,
. . . . . . . . . . 


 a n1 an 2 . . . ann 
 a 11 a12 . . . a1n 
 b1 
 b1 


 
b 
 a a 22 . . . a 2 n 
 2  , b   b2 
A   21
,
b

 ... 
 ... 
.......... 


 
 
 bn 
 a a n 2 . . . a nn 
bn 

 
 n1

A  T 1 A(T 1 ) ', b  T 1b
Приведение линейным преобразованием
 ξ1 
ξ 
 2  U
 ... 
 
 ξn 
 ξ1 
 
 ξ2 
 ... 
 
ξ 
 n
Q
n
n
 a ξ ξ  ε ξ
i , j 1
ij i
j
 ε1
Q   0
0

i 1
0
0
Q  U ' AU
1
i
2
i
εi {1; 1;0}
0
0   U ' QU  U ' AU
ε n 
1
T  (U ) '
1
A  T A(T ) '

A  T 1 A(T 1 ) '  U 1  '

1
A

1
U
 '

1
  U ' AU  Q
'
Примеры
Пример 1
2u xy  4u yy  ux  2u y  u  x  0
Характеристическая форма:
2
1
 1 
2
Q  2ξ  4    ξ  2    ξ 
2
 2 
1

ξ

ξ

2
2
2
 Q  ξ 

  1 ξ  2

2
 1
b 
 2 
2
1
2
1
U 
 1
2

0

 2 

Примеры
1
1
T  (U 1 ) '   2
2


0  2 
1
1

x  x  y
2
2

 y  2 y


1

2


2
1
T 

 0  1 
2

1

2

  1   1
2
1
bT b
    
 0  1   2   1
2

Примеры
2
Q  ξ 
2
 ux x  u y y
1
1

x  x  y
2
2

 y  2 y

 1
b 
 1
 ux  u y
1
1
 x x y
2
2
Ответ:
1
1

x  x  y
2
2

 y  2 y

ux x  u y y
1
1
 ux  u y  u  x  y  0
2
2
Примеры
Пример 2
uxx  2uxy  2u yy  4u yz  5uzz  0
Характеристическая форма:
Q  ξ 2  2ξ  2 2  4ζ  5ζ 2   ξ+     2ζ   ζ 2
2
ξ  ξ+

2
2
2
    2ζ  Q  ξ   +ζ

ζ  ζ
2
1 1 0 
U 1   0 1 2 
0 0 1 


Примеры
1 0 0 


1
T  (U ) '   1 1 0 
0 2 1


Ответ:
x  x

y  x  y

 z  2 y  z
u x x  u y y  uz z  0
Приведение уравнения с двумя переменными

 2u
 2u
 2u
u u 
a ( x, y ) 2  2b( x, y )
 c ( x , y ) 2  F  x , y , u, ,   0
x
xy
y
x y 

a b
A

b
c


  b2  ac
∆>0 — гиперболический тип
∆=0 — параболический тип
∆<0 — эллиптический тип
Приведение уравнения с двумя переменными
ξ  ξ( x, y )

 η  η( x, y )
u u
u
 ξ x  ηx
x ξ
η
u u
u
 ξ y  ηy
y ξ
η
 2u  2u 2
 2u
 2u 2 u
u
 2 ξx  2
ξ x η x  2 η x  ξ xx  η xx
2
x
ξ
ξη
η
ξ
η
 2u  2u
 2u
 2u
u
u
 2 ξ xξ y 
ξ
η

ξ
η

η
η

ξ

η xy

x y
y x
x y
xy
2
xy ξ
ξη
η
ξ
η
 2u  2u 2
 2u
 2u 2 u
u
 2 ξy  2
ξ y η y  2 η y  ξ yy  η yy
2
y
ξ
ξη
η
ξ
η
Приведение уравнения с двумя переменными

 2u
 2u
 2u
u u 
a (ξ, η) 2  2b(ξ, η)
 c(ξ, η) 2  F  ξ, η, u, ,   0
ξ
ξη
η
ξ η 

a  aξ 2x  2bξ x ξ y  cξ 2y

b  aξ x η x  b  ξ x η y  ξ y η x   cξ y η y

2
2
c

a
η

2
b
η
η

c
η

x
x y
y
D(ξ, η)
b  ac   b  ac 
D ( x, y )
2
2
2
Приведение уравнения с двумя переменными
Характеристическое уравнение
a x2  2b x y  c y2  0
Мотивы к рассмотрению этого уравнения:
  ξ  a x2  2b x y  c y2  aξ 2x  2bξ xξ y  cξ 2y  a
  η  a  2b x y  c  aη  2bη x η y  cη  c
2
x
2
y
2
x
2
y
Приведение уравнения с двумя переменными
Решение характеристического уравнения
a x2  2b x y  c y2  0
2
  2

 x 
 x 
 x 
x
2 
 y a    2b    c   0, a    2b    c
y  
y 
y 
   y 
  
 
 

 x b  b2  ac

, a x  (b
y
a
b2  ac ) y  0
Приведение уравнения с двумя переменными
Уравнение гиперболического типа
b2  ac  0
Первый этап: приводим уравнение к виду, в котором из вторых
производных присутствует только смешанная производная.
a  0, c  0 x  y , y  x
a  0, c  0  b  0
a  0 a x  (b
b 2  ac ) y  0
aξ  (b  b2  ac )ξ  0
y
 x

aη x  (b  b2  ac )η y  0
Приведение уравнения с двумя переменными
Второй этап:

 2u
u u 
2b( x, y )
 F  x , y , u, ,   0
xy
x y 


 2u
1
u u 
2

F  x , y , u, ,   0
xy b( x, y ) 
x y 
x y

 x  2

y  x  y

2
 1
 2
T 1  
 1

2

 0 1
A

1
0


1 


2
 , (T 1 ) '  
1 



2

1
2
1
2

1 
2

1 

2 
Приведение уравнения с двумя переменными
 1
 2
A  T 1 A(T 1 ) '  
 1

2

1 
 1
 2
2 


1 
 1



2
2


1 
2 0

1 1

2
1
2
1
2

1 


0


1
2
1
2

1 

2  1 0 

1   0 1

2

 2u  2u
u u 
 2  F  x , y , u, ,   0
2
x
y
x y 

1 
2

1 

2
Приведение уравнения с двумя переменными
Уравнение параболического типа
b2  ac  0
a  0  b  0, c  0
a x  (b
b2  ac ) y  0  a x  b y  0
Пусть ξ – решение характеристического уравнения
aξ x  bξ y  0,
а η – любая функция, не зависящая от ξ. Тогда пара функций ξ, η
дает искомую замену переменных. Покажем это.
Приведение уравнения с двумя переменными
Так как функция ξ является решением характеристического
уравнения, то
a  0.
b  aξ x η x  b  ξ x η y  ξ y η x   cξ y η y 
 aξ
x
 bξ y  η x   bξ x  cξ y  η y   bξ x  cξ y  η y
Из равенства нулю дискриминанта получаем
2
b
b2  ac  0  c 
a

b2 
b
b   bξ x  cξ y  η y   bξ x  ξ y  η y   aξ x  bξ y  η y  0
a 
a

Приведение уравнения с двумя переменными
Таким образом, после замены переменной получаем следующее
уравнение

 2u
u u 
c(ξ, η) 2  F  ξ, η, u, ,   0
η
ξ η 

или

 2u
1
u u 

F  ξ, η, u, ,   0,
2
η c(ξ, η) 
ξ η 
а это и есть каноническое уравнение параболического тип.
Приведение уравнения с двумя переменными
Уравнение эллиптического типа
b2  ac  0
Решения обеих уравнений системы
aξ  (b  b2  ac )ξ  0
y
 x

aη x  (b  b2  ac )η y  0
будут комплексными. Это нас не устраивает. Вместо этой пары
уравнений рассмотрим исходную форму
a x  (b i ac  b2 ) y  0
и пусть его решение (с любым выбранным знаком)
 ( x, y )  ξ( x, y )  iη( x, y )
Покажем, что ξ и η – искомая замена переменных.
Приведение уравнения с двумя переменными
a x  (b i ac  b2 ) y  0  a x2  2b x y  c y2  0
 ( x, y )  ξ( x, y )  iη( x, y )
a(ξ x  iηx )2  2b(ξ x  iηx )(ξ y  iη y )  c(ξ y  iη y )2  0
2
2
2
2

a
(ξ

η
)

2
b
(ξ
ξ

η
η
)

c
(ξ

η
 x
x
x y
x y
y
y)  0


2aξ x η x  2b(ξ x η y  ξ y η x )  2cξ y η y  0
aξ 2x  2bξ x ξ y  cξ 2y  aη2x  2bη x η y  cη2y

aξ x η x  b(ξ x η y  ξ y η x )  cξ y η y  0
 a  c

b  0
Приведение уравнения с двумя переменными
2
2

a

c


u

u
u u 

 a 2  a 2  F  ξ, η, u, ,   0

ξ
η
ξ η 


b  0
2
b  ac  0  a  0

 2u  2u
1
u u 
 2
F  ξ, η, u, ,   0
2
ξ
η a (ξ, η) 
ξ η 
А это и есть каноническое уравнение эллиптического типа.
Примеры
Пример 1
uxx  (1  y 2 )2 u yy  2(1  y 2 )u y  0
a  1, b  0, c  (1  y 2 )2  b2  ac  (1  y 2 )2  0
ξ x  (1  y 2 )ξ y  0

2


(1

y
) y  0
 x
dx
dy
ξ x  (1  y )ξ y  0,

,
2
1 (1  y )
x  arctg y  const , ξ  x  arctg y
2
Примеры
dx
dy
 x  (1  y ) y  0,

,
2
1 1 y
x  arctg y  const ,   x  arctg y
2
ξ  x  arctg y

  x  arctg y
uy 
uξ
1  y2
uxx  uξξ  2uξ  u
u yy 
uξξ
(1  y )
2 2

2uξ
(1  y )
2 2

u
(1  y )
2 2

2 yuξ
(1  y )
2 2

2 yu
(1  y 2 )2
Примеры
u xx  (1  y 2 )2 u yy  2(1  y 2 )u y  0
(uξξ  2uξ  u ) 
2uξ
u
2 yuξ
2 yu 
 uξξ
(1  y ) 





2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 
 (1  y ) (1  y ) (1  y ) (1  y ) (1  y ) 
uξ
2
2(1  y )
0
2
1 y
4uξ  0
2 2
uξ  0
Ответ:
ξ  x  arctg y

  x  arctg y
uξ  0
Примеры
y 2uxx  2 xyuxy  x 2u yy  0
Пример 2
a  y 2 , b  xy, c  x 2  b2  ac  0
dx dy
y ξ x  xyξ y  0, yξ x  xξ y  0,
 ,
y
x
2
xdx  ydy  0, x 2  y 2  const , ξ  x 2  y 2
ξ  x 2  y 2

  y
Примеры
u xx  4 x 2uξξ  2uξ
u xy  4 xyuξξ  2 xuξ
u yy  4 y 2uξξ  4 yuξ  u  2uξ
y 2uxx  2 xyu xy  x 2u yy  0
y 2 (4 x 2uξξ  2uξ )  2 xy ( 4 xyuξξ  2 xuξ ) 
 x 2 (4 y 2uξξ  4 yuξ  u  2uξ )  0
x 2u  2( y 2  x 2 )uξ  0
2( y 2  x 2 )
u 
uξ  0
2
x
Примеры
2( y 2  x 2 )
u 
uξ  0
2
x
ξ  x 2  y 2
2
2
2

y


,
x

ξ

y

ξ



  y
2ξ
u 
u 0
2 ξ
ξ 
Ответ:
ξ  x 2  y 2

  y
2ξ
u 
u 0
2 ξ
ξ 
Примеры
Пример 3
(1  x 2 )2 uxx  u yy  2 x(1  x 2 )ux  0
a  (1  x 2 )2 , b  0, c  1  b2  ac  (1  x 2 )2  0
(1  x 2 )2  x
(1  x 2 ) x
i (1  x 2 ) y  0
i y  0
dx
dy
 , arctg x iy  const
2
1 x
i
  arctg x iy
ξ  arctg x

  y
Примеры
ux 
uξ
1 x
2
, uxx 
uξξ
(1  x )
2 2

2 xuξ
(1  x )
2 2
, u yy  u
(1  x 2 )2 uxx  u yy  2 x (1  x 2 )u x  0
2 xuξ 
uξ
 uξξ
2
(1  x ) 

 u  2 x (1  x )
0
2 2
2 2 
2
1 x
 (1  x ) (1  x ) 
uξξ  u  0
2 2
Ответ:
ξ  arctg x

  y
uξξ  u  0
Упрощение канонического уравнения
 u n u
 i 2   bi
 cu  d  0

xi i 1 xi
i 1
n
2
(коэффициенты уравнения предполагаются постоянными)
1 x1 ...n xn
u ( x )  v ( x )e
 2v 1x1 ...n xn n
v 1x1 ...n xn
εi 2 e
   2i εi  bi 
e


xi
xi
i 1
i 1
n
 n
  1x1 ...n xn
2
    εii  bii    c  ve
d 0
 
 i 1
Упрощение канонического уравнения
 2v n
v  n
 
1x1 ...n xn
2
ε

2

ε

b

ε


b


c
v

de
0







i
i i
i
i i
i i 



2
xi i 1
xi  i 1
i 1
 
n
Уравнение гиперболического или эллиптического типа
b
i   i
2εi
 2v
  εi 2  cv  d  0
xi
i 1
n
Уравнение параболического типа
ε1  0,  i  0 (i  2)
1 n
bi
2
b1  0 : 1     εii  c , i  
(i  2) 
b1 i 2
2εi
b
b1  0 : 1  0, i   i (i  2) 
2εi
 2v
v
εi 2  b
d 0

xi
x1
i 1
n
 2v
εi 2  cv  d  0

xi
i 1
n
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Приведение уравнений к каноническому виду.
Лекция 1 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Задача Коши для
одномерного волнового уравнения.
Лекция состоится в пятницу 24 октября
В 12:00 по Московскому времени.