О СНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., [email protected]
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
Основы теории помехоустойчивости передачи
дискретных сообщений
Система передачи дискретных сообщений
a
ИС
bц (t )
К
u (t )
М
ЛС
a
bц (t )
z (t )
ДМ
ДК
ПС
Источник сообщения ИС вырабатывает дискретное сообщение, оно
подвергается кодированию, результат кодирования в форме цифрового
сигнала bц (t ) поступает в модулятор М (передатчик), вырабатывающий
сигнал u (t ) , приспособленный по своим характеристикам для
передачи по линии связи ЛС. В линии связи происходит искажение
сигнала и его взаимодействие с помехой, на вход демодулятора ДМ
(приёмника) поступает наблюдаемое колебание z (t ) . Демодулятор
выполняет функцию, обратную модуляции. Вследствие воздействия
помех результат демодуляции bц (t ) отличается в общем случае от
сигнала bц (t ) поэтому результат декодирования a также не
совпадает с сообщением a .
2
В двоичной системе связи с амплитудной телеграфией (АТ)
канальный сигнал, соответствующий передаваемому символу «1»,
представляет собой радиоимпульс, а символу «0» соответствует
отсутствие сигнала (пауза). Такой способ модуляции называют
амплитудной телеграфией с пассивной паузой (АТПП) .
При частотной (фазовой) телеграфии различные символы
передаются сигналами одинаковой формы с мгновенной частотой
(начальной фазой), меняющейся скачком от посылки к посылке.
Для простоты здесь полагается, что система является изохронной,
то есть моменты начала и окончания элементарных посылок точно
известны.
Допустим, что в канале отсутствуют искажения, затухание,
межсимвольная интерференция, а помеха аддитивна, тогда
наблюдаемое колебание в любой момент представляет собой сумму
где
z (t )  s (t , bi )   (t )
bi  значение
цифрового сигнала
3
При амплитудной телеграфии
z (t ) 


k 
bц (t ) s(t  k )   (t )
Задача демодулятора состоит в том, чтобы по наблюдаемому
колебанию принять решение bц (t ) о переданном сигнале bц (t ),
такое, чтобы обеспечить максимальную верность. Правило
(алгоритм) принятия решения – это закон преобразования z (t )
в bц (t ) .
Поскольку помеха является случайной, то задача построения
оптимального (наилучшего) демодулятора представляет собой
статистическую задачу и решается на основе методов теории
вероятностей и математической статистики (теории
статистических решений).
4
Перед принятием решения с целью повышения его качества
(верности) часто наблюдаемое колебание подвергают
дополнительной обработке. Если обработка линейная, то ее
результат может быть записан в форме



0
0
0
y (t )   z ( ) (t , )d   s( , bi ) (t , ) d    ( ) (t , ) d
 (t , )
- ядро линейного оператора (устройства обработки)
Видно, что результат обработки представляет собой сумму сигнальной
и шумовой составляющих.
В простейшем случае
 (t , )   (  t0 )


0
0
 s( , bi ) (t , )d   s( , bi ) (  t0 )d  s(t0 , bi )
5
В простейшем случае

 (t , )   (  t0 )

 s( , bi ) (t , )d   s( , bi ) (  t0 )d  s(t0 , bi )
0
0
тогда результат обработки сигнала – просто отсчет в момент
t0
(не забываем, что это лишь сигнальная составляющая отсчета)
z (t )
t0
а результат обработки
наблюдаемого процесса 

t

 z ( ) (t , )d  s(t0 , bi )   (t0 )
0
6
Такой способ «обработки» плохо использует посылку:
фактически правильность решения зависит не от всего сигнала,
а только от одного его мгновенного значения. При этом очень
важно, чтобы отсчет был взят точно в тот момент, когда
значение сигнала достигает максимума.
Улучшить эффективность решения можно путем «накопления»
нескольких ( K ) отсчетов, взятых в
-е моменты времени
i
i  1,..., K
Для этого ядро должно иметь вид
K
 (t , )    (  ti 0 )
i 1
Учесть различную значимость отсчетов для принятия решения
можно, введя весовые коэффициенты при -функциях, тогда
K
 (t , )   hi (  ti 0 )
i 1
7
Увеличивая число отсчетов K , в пределе
получаем непрерывное ядро  (t , )  h(t , )
оператора обработки
– весовую функцию
линейного
фильтра.
Вообще
говоря,
оптимальная
обработка
может
быть
нелинейной.
Материалом для принятия решения в демодуляторе
служит в рассматриваемом случае реализация
колебания на интервале длительности
.
Если бы помеха отсутствовала, то эта реализация
совпадала бы с элементарным сигналом (посылкой),
который можно считать точкой в гильбертовом
пространстве сигналов, определенных на заданном
временном интервале.
8

H1
z

s1
z 

H2

s2

посылки, возможные в данной системе
реализации помехи
реализации наблюдаемого процесса
граница областей выборочного пространства
9
Задача синтеза оптимального демодулятора
(приёмника) ставится следующим образом:
нужно найти оптимальный алгоритм обработки и
оптимальное правило решения, обеспечивающие
максимальную вероятность безошибочного
(правильного) решения. Эту максимальную
вероятность В.А. Котельников назвал
потенциальной помехоустойчивостью, а
приёмник, реализующий этот максимум –
идеальным приёмником.
С точки зрения приемника каждая
H1
область выборочного пространства
соответствует определенной гипотезе –
предположению о переданном сигнале;
H2
в простейшем случае гипотез две
10
Пример 9.1. Предположим, что результатом
обработки является значение
соответствующее
окончанию интервала наблюдения.
y
Если в колебании присутствует только шум, гауссов
с нулевым средним и СКО
, то плотность
распределения величины y имеет вид

y2
 2
1
w0 ( y ) 
e 2 
2
 w( y | H 0 )
w( y | H 0 )
y
11
если кроме шума на вход приемника поступает
сигнал, то результат обработки имеет ненулевое (для
определенности – положительное) среднее , и
плотность распределения величины y имеет вид
a
( y  a )2

1
2
2

w1( y ) 
e
 w( y | H1)
2
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
a
y
Эти гипотезы являются простыми, но если 
неизвестно, они становятся сложными
12
Критерии качества статистических
решений
Рассмотрим систему связи, в которой используются К
различных символов. Тогда демодулятор должен
различать К гипотез. При этом возможны ошибки:
может быть принято решение в пользу j-й гипотезы, в
то время как справедливой является i-я гипотеза.
Такая ситуация описывается условной
вероятностью ошибки
pij  P D j | H i


Различные ошибки могут наносить разный вред,
поэтому вводится числовая характеристика  ij,
называемая риском, или потерей. Иногда потери
объединяют в квадратную К×К-матрицу ij ,
называемую матрицей потерь
 
13
Символы, которым соответствуют разные гипотезы,
могут иметь разные вероятности появления в
сообщении. Поэтому каждая (i-я) гипотеза
характеризуется некоторой вероятностью
i
осуществления, которая называется априорной
вероятностью.
p
Cуммируя, можно ввести усреднённую
характеристику (критерий) качества принятия
решения, называемую средним риском
K K
R   pi pij ij
i 1 j 1
Это – математическое ожидание потерь, связанных с
принятием решения.
14
Если априорные вероятности гипотез точно известны, а
потери назначены обоснованно, то приёмник,
обеспечивающий наименьший средний риск, будет
наиболее выгодным.
Критерий минимума среднего риска называют также
критерием Байеса.
Иногда потери, связанные с
различными ошибками, принимают
равными друг другу
 ij   ,  ii  0,
i  1,..., K
То́мас Ба́йес
(Thomas Bayes) 1702 — 1761
15
 ij   ,  ii  0, i  1,..., K
Тогда оптимальный байесовский приёмник
обеспечивает минимальную среднюю
вероятность ошибки (критерий идеального
наблюдателя)
K K
pош   pi pij
i 1 j 1
i j
и называется идеальным
приемником Котельникова
Владимир Александрович
Котельников (1908 – 2005)
16
Если также принять равными априорные
вероятности гипотез pi  1/ K , i  1,..., K , то
критерий Байеса сводится к критерию минимума
суммарной условной вероятности ошибки
K K
pош усл   pij
i 1 j 1
j i
17

H1
z

s1
z 

H2

s2

Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит
в нахождении границ, разбивающих пространство
наблюдений наилучшим образом в соответствии с
выбранным критерием качества.
18
Бинарная задача проверки простых гипотез
Наиболее просто задача построения оптимального
демодулятора (приёмника) решается для случая
амплитудной телеграфии с пассивной паузой, что
соответствует принятию решения о том, что
передавался символ «0» (сигнала нет) или символ
«1» (сигнал есть). Таким образом, решается задача
обнаружения сигнала в наблюдаемом колебании.

t
19
Далее предполагается, что помеха в канале
представляет собой гауссовский шум с
нулевым средним и известной дисперсией,
который взаимодействует с сигналом
аддитивно (суммируется). Результатом
обработки наблюдаемого колебания является
случайная величина y ,
которая может иметь различное
распределение в зависимости от того, есть
ли сигнал в наблюдаемом колебании (т.е при
разных гипотезах)
20
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
a
y
a
зависит от способа обработки (например, если
обработка сводится к взятию отсчета в момент,
когда несущее колебание достигает максимума,
величина a представляет собой его амплитуду).
21
В данной постановке демодулятор (приёмник) может
принимать решение, основываясь только на
наблюдаемом значении y : очевидно, чем больше
наблюдаемое значение, с тем большей уверенностью
можно утверждать, что сигнал в принятом колебании
есть. Разумный алгоритм принятия решения в таком
случае должен сравнить y с некоторым
фиксированным значением (порогом)
и если
п
больше порога, принять решение о наличии сигнала,
в противном случае – о его отсутствии, что можно
кратко записать в следующей символической форме:
y
y
y  yп  "1"
y  yп  "0"
22
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
yп a
y  yп  "0"
y
y  yп  "1"
23
Каким бы ни был порог, очевидно, есть некоторая
ненулевая вероятность принять решение D1 о
наличии сигнала при его фактическом отсутствии.
Эта вероятность называется условной вероятностью
ошибки первого рода («ложной тревоги») и
определяется выражением

p01 
 w( y | H 0 )dy
yп
а вероятность принять решение D0 об отсутствии
сигнала, в то время как на самом деле он есть
(условная вероятность ошибки второго рода, или
yп
пропуска сигнала)
p10 
 w( y | H1)dy

24
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
yп
p10 
y
yп
 w( y | H1)dy


p01 
 w( y | H 0 )dy
yп
сумма указанных условных вероятностей минимальна,
если порог находится, как абсцисса точки пересечения
условных плотностей
25
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
yп
p10
y
p01
Очевидно, при таком выборе порога приёмник является
оптимальным по критерию минимума суммарной
условной вероятности ошибки и принятие решения
основывается на сравнении значений ПРВ при
наблюдаемом значении y
26
w  y | H 0   w  y | H1   "1"
w  y | H 0   w  y | H1   "0"
Или
w  y | H1 
 1  "1";
w y | H0 
w  y | H1 
 1  "0"
w y | H0 
Решение, таким образом, принимается в пользу той
гипотезы, которая представляется более
правдоподобной при данном значении y
w  y | H1 
 ( y )  отношение правдоподобия
w y | H0 
27
Правило
w  y | H1 
 1  "1";
w y | H0 
w  y | H1 
 1  "0"
w y | H0 
называется правилом максимального правдоподобия
Критерий идеального наблюдателя предполагает
учёт априорных вероятностей гипотез, и
оптимальный в смысле этого критерия приёмник
обеспечивает минимум средней вероятности
ошибки, то есть наименьшую сумму безусловных
вероятностей ошибок первого и второго рода.
28
p1w( y | H1 )
p0 w( y | H 0 )
yп
y
yп
p1
 w( y | H1)dy


p0
 w( y | H 0 )dy
yп
сумма указанных безусловных вероятностей
минимальна, если порог находится, как абсцисса точки
пересечения графиков
29
Правило принятия решения в приёмнике Котельникова
можно записать в форме
p1w  y | H1 
 1  "1"
p0 w  y | H 0 
p1w  y | H1 
 1  "0"
p0 w  y | H 0 
Используя понятие отношения правдоподобия,
можно переписать правило в виде
p0
( y ) 
 "1";
p1
p0
( y ) 
 "0"
p1
отношение правдоподобия сравнивается с
пороговым значением, зависящим от априорных
вероятностей
30
Наконец, в случае байесовского критерия решение
принимается по правилу
10 p1w  y | H1 
 1  "1";
 01 p0 w  y | H 0 
10 p1w  y | H1 
 1  "0"
 01 p0 w  y | H 0 
Используя понятие отношения правдоподобия,
можно записать правило в виде
p0 01
( y ) 
 "1";
p110
p0 01
( y ) 
 "0"
p110
отношение правдоподобия сравнивается с
пороговым значением, зависящим от априорных
вероятностей и назначенных потерь
31
Итак, во всех случаях оптимальный приёмник
(демодулятор, или решающее устройство) «устроен
одинаково»: для наблюдаемого значения y ,
зависящего от принятой реализации z (t ) , вычисляется
значение отношения правдоподобия, которое
сравнивается с порогом; порог
 п равен
p0 01
p110
для приемника, оптимального в смысле критерия
минимума среднего риска,
p0 / p1
для идеального приёмника Котельникова и 1
для приёмника максимального правдоподобия.
иногда удобнее вычислять не отношение правдоподобия, а его
логарифм. В силу монотонности логарифмической функции это не
влияет на условные вероятности ошибок, если порог также
прологарифмировать.
32
Структура оптимального приемника
z (t )
выч-ль
ОП

1
пороговое
устройство
0
п
33