функции в экономике

Применение функций в экономике.
Функции находят широкое применение в экономической
теории.
Спектр используемых функций весьма широк от
простейших линейных
до рекуррентных соотношений,
связывающих состояния различных объектов в разные
периоды времени.
Наиболее часто в экономике используются следующие
функции:
1. Функция полезности (функция предпочтений) – в широком
смысле полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия
от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата
производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции)
– зависимость объема производства от наличия или потребления
ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной
функции) – зависимость издержек производства от объема
продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения –
зависимость объема спроса, потребления или предложения
на отдельные товары или услуги от различных факторов.
Экономические явления и процессы обусловливаются
действием различных факторов, следовательно, для
исследования таких процессов используют функции
нескольких переменных.
Например:
- мультипликативные функции позволяют представить
зависимую переменную в виде произведения факторных
переменных;
- сепарабельные функции позволяют выделить влияние
различных
факторных
переменных
на
зависимую
переменную.
Одним из методов определения функциональных
зависимостей в экономике является анализ статистических
данных и экономических явлений в производственной и
непроизводственной сфере.
Рассмотрим
некоторые
их
эмпирическим (опытным) путем:
функций,
полученные
1. Исследуя зависимость спроса на товары от дохода можно
установить уровни доходов населения, при которых
начинается приобретение товаров и уровни насыщения для
групп товаров первой и второй необходимости (функции
Л.Торнквиста).
y
b1  x  a1 
y
x  c1
 x  a1  ,
b3 x  x  a3 
x  c3
y
 x  a3 
b2  x  a2 
x  c2
 x  a2  ,
Рассмотрим:
• Уровни доходов населения при которых начинается
потребление товаров a1 , a2 , a3 , .
• Уровни насыщения для групп товаров первой и второй
необходимости b1 , b2 .
2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса
и предложений устанавливают равновесную (рыночную)
цену данного товара в процессе формирования цен в
условиях конкурентного рынка
3. Изучая в теории потребительского спроса кривые
безразличия – линии вдоль которых полезность двух благ
одинакова можно установить оптимальное количество благ,
имеющих максимальную полезность.
Обозначим:
y - блага;
p x p y - цена блага;
I - доход потребителя;
p x x  p y y  I - линия бюджетного ограничения;
xy  U - функциональная зависимость благ.
Графически можно определить оптимальные количества
благ x 0 y 0 , имеющих максимальную полезность U 0 .
x
Кривые безразличия
4. Рассматривая функции издержек (полных затрат) и
дохода фирмы можно установить зависимость прибыли от
объема производства.
Обозначим:
- полные затраты;
c (q )
r (q )
 (q)  c(q)  r (q)
q
- доход фирмы;
- прибыль;
- объем производства.
Зависимость функции издержек и дохода
от объема производства
По графику определяют уровни объема производства при
которых:
1. Производство продукции убыточно.
0qq

2. Приносит прибыль.
2

q2  q  q4 
3. Дает максимальный убыток и максимальную прибыль.
q  q1 
 q  q3 
4. Позволяет определить размеры убытков и прибыли.
Задача. Если известны постоянные издержки F (не
зависящие от числа единиц произведенной продукции),
переменные издержки V (пропорциональные объему
продукции х) за каждую единицу продукции и цена единицы
продукции R, то объем продукции х при котором прибыль
равна
нулю
(точка
безубыточности)
определяется
следующим образом:
1. Составляется функция издержек производства
С ( x)  F  V  x
2. Совокупный доход (выручка от реализации) продукции
K ( x)  R  x
3. Составляется функция прибыли
P( x)  K ( x)  C ( x)  R  x  C ( x)
4. Точка безубыточности – прибыль равна нулю
P( x)  R  x  C ( x)  0
Следовательно объем производства равен
C ( x)
x
R
Если известна (или задана) прибыль предприятия – S,
P( x)  R  x  C ( x)  S
то объем производства при известной или заданной
прибыли равен
S  C ( x)
x
R
Задача. Затраты на производство продукции выражаются
уравнением y  k1 x  b1 где х – число месяцев.
Доход от реализации продукции выражается уравнением.
y  k2 x  b2
Определить начиная с какого времени производство будет
рентабельным.
Решение.
Производство считается рентабельным если затраты
равны доходу.
 y  k1 x  b1

 y  k2 x  b2
Задача.
Опытным путем установлены функции спроса
предложения:
p 8
q
s  p  0,5
p2
где q - количество покупаемого товара;
s – количество продаваемого товара.
Найти равновесную цену р.
Равновесная цена определяется из условия q  s
Решив уравнение p  8  p  0,5
p2
относительно р получим р = 2 и р = -3,5
и
Задача.
Считая известными функцию спроса
предложения:
p5
s  pk
q
p7
и функцию
Определить при каком значении параметра k установится
равновесная цена: p  3
Задачу решить самостоятельно.