граф

Урок №9
«Теория
графов при
решении
различных видов задач»
1.ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы: благодаря применению теории графов открывается широкая
возможность использования оригинальных, но в то же время очень простых способов
решения задач.
Объект исследования:
Теория графов
Предмет исследования:
Применения графов в решении головоломок и логических задачах
Цель исследования:
Показать применение теории графов для решения различных видов задач.
Задачи данной работы:
Узнать об истории возникновения теории графов;
Разобрать решение различных видов задач с помощью графов.
Методы исследования:
Частично - поисковый, аналитический.
1.2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.
Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г.
Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер,
рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала
классической.
Река Прегель, протекающая через Калининград (прежде город назывался Кенигсбергом)
омывает два острова. Берега реки с островами связаны мостами так, как это
показано на рисунке 1. В головоломке требовалось найти маршрут, проходящий по
всем четырем участкам суши по одному разу, а конец и начало пути должны
совпадать.
Рисунок 1
1.2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.
Л. Эйлер доказал, что маршрута, который бы отвечал условиям
головоломки, не существует, и разработал теорию решения такого рода
головоломок. Пройти по Кенигсбергским мостам, соблюдая заданные
условия, нельзя. Прохождение по всем мостам при условии, что нужно
на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия,
на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним
росчерком» графа. Когда эта головоломка была решена, принято
считать годом рождения теории графов. Решая задачу о кенигсбергских
мостах, Эйлер сформулировал свойства графа:
Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
2.1. ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ ГРАФОВ.
ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ.
Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых
соединены линиями.
Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью
вершины.
Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым
графом. (рис.2)
Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются
неполными графами. (рис.3)
Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными
графами. (рис.4)
2.1. ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ ГРАФОВ.
ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ.
В информатике под графом понимают средство для наглядного представления
состава и структуры системы.
Использует графы и дворянство. Например, в генеалогическом дереве, вершины –
члены рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности.
Графами являются сетевые графики строительства.
Графы есть и на картах звездного неба.
Типичными графами на картах города являются схемы движения городского
транспорта.
В каждом из этих примеров фигурирует схема, состоящая из точек, соединенных
между собой линиями.
2.2. ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ.
Закономерность 1. Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из них на 1 меньше
числа вершин этого графа.
Доказательство:
Эта закономерность очевидна уже после рассмотрения любого полного графа. Каждая вершина
соединена ребром с каждой вершиной, кроме самой себя, т. е. из каждой вершины графа,
имеющего n вершин, исходит n—1 ребро, что и требовалось доказать.
Закономерность 2.
Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа.
Эта закономерность справедлива не только для полного, но и для любого графа.
Доказательство:
Действительно, каждое ребро графа связывает две вершины. Значит, если будем складывать
число степеней всех вершин графа, то получим удвоенное число ребер 2R (R — число ребер
графа), т. к. каждое ребро было подсчитано дважды, что и требовалось доказать.
Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым.
Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.
2.2. ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ.
Закономерность 3.
Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
Закономерность 4.
Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»),
проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой
вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 5.
Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при
этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 6.
Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».
Задача на построение уникурсальных графов. Между девятью
планетами солнечной системы установлено космическое сообщение.
Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий;
Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс
и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до
Марса ?
Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а
маршруты ракет – линиями.
Н
З
С
Ме
У
П
В
Долететь с Земли до Марса нельзя.
Ма
Ю
Вычислительная задача. В столовой предлагают два первых блюда: борщ,
рассольник, а также четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени.
Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.
Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
Решение.
Чтобы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так.
Выберем одно первое блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные
вторые
блюда, получим пары:
б - г, б – к, б – с, б – п. (4 пары).
Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему
поочерёдно разные вторые блюда:
р – г, р – к, р – с, р – п. (4пары).
Таким образом, всего есть 2 ∙ 4 = 8 вариантов обеда из двух блюд, которые может
заказать посетитель.
Обед
Борщ
Рассольник
Гуляш
1
Пельмени
Котлеты
2
Сосиски
3
4
Гуляш
5
Пельмени
Котлеты
6
Сосиски
7
8
Логическая задача.
В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея, Николай и
слесарь занимаются боксом, электрик-младший из друзей.
По вечерам Андрей и токарь играют в домино против Сергея и электрика.
Определите профессию каждого из друзей.
Решение.
Составим граф из 4 друзей и 4 профессий. Пунктирными линиями отметим
невозможные связи, а сплошной - соответствие имени и профессии. Если от
каждой вершины выходят 3 пунктирных линии, то четвертая линия должна быть
сплошной.
В
Ш
С
С
Н
Т
А
Є
Задача про лабиринт.
На рисунке дан план подземелья, в одной из комнат которого скрыт ключ нужный
вам. Для отыскания ключа достаточно войти в одну из крайних комнат
подземелья, пройти через все двери, причем в точности по одному разу через
каждую. Ключ скрыт за той дверью, которая будет пройдена последней. Укажите
номер комнаты, в которой спрятан ключ.
В графе, соответствующем подземелью, вершины –
комнаты, а ребра соединяют те вершины, которые
соответствуют комнатам , связанным дверью.
3.ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Чтобы найти ответ на интересующую меня задачу, мне пришлось познакомиться с
новым разделом математики «Теорией графов», который не изучается в школьном
курсе, но облегчает решение многих задач.
Теория графов представляет собой интересный предмет, связанный со многими
аспектами науки и техники, находящий широкое практическое применение. Итогом
данной работы является создание задачника, в котором задачи распределены на
несколько групп и решебника к нему.
Я надеюсь, что данная тема будет иметь продолжение в следующем учебном году.
Предполагается работать по теме: «Решение задач с помощью графов».