§5. Несобственные интегралы

Математический анализ
Раздел: Определенный интеграл
Тема: Несобственные интегралы
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Несобственные интегралы
b
Для существования
 f ( x)dx
необходимы условия:
1) [a;b] – конечен, a
2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования
определенного интеграла).
Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного
интеграла на случай когда одно из этих условий не
выполнено.
1. Несобственные интегралы I рода
(по бесконечному промежутку)
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ).
 y = f(x) непрерывна на [a;b], где b  a .
b
 существует
a
b
Имеем:
 f ( x)dx.
 f ( x)dx  I (b) ,
D(I) = [a;+ ) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от
функции f(x) по промежутку [a;+) называется предел функции I(b) при b  +  .

Обозначают:
 f ( x)dx
a
Таким образом, по определению


b
f ( x)dx  lim I (b)  lim
b  
a
b  

f ( x)dx
(1)
a
При этом, если предел в правой части формулы (1) существует
и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
В противном случае (т.е. если предел не существует или равен
бесконечности)
несобственный
интеграл
называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (–;b] , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл I рода для
функции f(x) по промежутку (– ;b]:
b
b

a
f ( x)dx .
 f ( x)dx  alim

 
Если y = f(x) непрерывна на ℝ , то несобственным интегралом
I рода для функции f(x) по промежутку (– ;+ ) называют




c
f ( x)dx 


f ( x)dx 

f ( x)dx ,
(2)
c
где c – любое число.
Несобственный интеграл от f(x) по промежутку (–;+)
называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части
формулы (2) сходятся.
В противном случае, несобственный интеграл по промежутку
(– ;+ ) называется расходящимся.
Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по
промежутку [a;+ ). Для интегралов по промежутку (– ;b] и
(–;+) все полученные результаты останутся справедливы.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных
интегралов I рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ) и f(x)  0 , x[a;+ ).
b
Тогда
 f ( x)dx
– площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y
a
b
x
 Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ) сходится
и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox,
кривой y = f(x) и прямой x = a (криволинейная трапеция с
бесконечным основанием) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области
нельзя.
На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся
некоторые свойства определенных интегралов
(свойства 4, 5, 6, 7, 8).
Кроме того, для несобственных интегралов существует
обобщение формулы Ньютона – Лейбница.
Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ).
Тогда b[a;+ ) имеем
b
 f ( x)dx 
b
F ( x) a
 F ( b)  F ( a )
a
b

f ( x)dx  lim F (b)  F (a) 

b  
b  
lim
a



a
f ( x)dx  lim F (b)  F (a)
b  
(3)
lim F (b)  F (a) 
Обозначим
b  

F ( x) a .
Тогда (3) примет вид:



f ( x)dx  F ( x) a  lim F ( x)  F (a) .
x  
a
(4)
Формулу (4) называют обобщением формулы Ньютона –
Лейбница для несобственных интегралов по промежутку
[a;+ ).
Аналогично для несобственных интегралов по промежутку
(–;b] доказывается справедливость формулы
b
 f ( x)dx 

b
F ( x)  
 F (b)  lim F ( x) .
x  
ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные
установить их расходимость:

1)
 cos xdx ;
0

dx
2)  n dx ;
x
a
(a  0)
0
dx
4) 
;
2
4 x


xdx
7) 
.
2
1 x


3)
 x
e
 dx ;

 x
e
 dx ;
0

0
5)
интегралы
6)
x
e
 dx .

или
2. Признаки сходимости несобственных
интегралов I рода
ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения).
Пусть f(x) и (x) непрерывны на [a;+) и
0  f(x)  (x) , x[c; +) (где c  a).
Тогда:  

1) если
  ( x)dx – сходится, то  f ( x)dx тоже сходится,
a
причем


c
c
a
 f ( x)dx    ( x)dx ;

2) если

f ( x )dx – расходится, то
a
ходится.

  ( x)dx
a
тоже рас-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1:
Пусть (σ1) и (σ2) – области в xOy , ограниченные осью Ox,
прямой x = c и кривыми y = (x) и y = f(x) соответственно.
Неравенство 0  f(x)  (x) (где x[c;+ )) означает, что
область (σ2) является частью области (σ1).
y
( 2 )
( 1)
c
x
 1) если область (σ1) имеет площадь, то ее часть (σ2) тоже
имеет площадь;
2) если говорить о площади области (σ2) нельзя, то и для
содержащей ее области (σ1) тоже нельзя говорить о
площади.
ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения)
Пусть f(x) и (x) непрерывны и неотрицательны на [a;+ ).
f ( x)
Если lim
 h , где h – действительное число, отличное
x     ( x)
от нуля, то интегралы

 f ( x)dx
a

è
  ( x)dx
a
ведут себя одинаково относительно сходимости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
Замечания.
1) Теорема 2 остается справедливой и в том случае, если f(x) и
(x) непрерывны и СОХРАНЯЮТ ЗНАК на [a;+ ).
2) При использовании теорем 1 и 2 в качестве «эталонных»
интегралов обычно используют следующие несобственные
интегралы:

dx
ñõîäèòñÿ , ïðè n  1,
 x n dx   ðàñõîäèòñÿ ïðè n  1.
a
(a  0)

e
0
 x
ñõîäèòñÿ , ïðè   0 ,
dx  
 ðàñõîäèòñÿ ïðè   0 .
ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интегралы

1)

1
dx
1 x  1 x2
3

;
2)

0
xdx
;
1 x
3)

e

 x2
dx .
Пусть f(x) непрерывна на [a;+ ).
Тогда определены несобственные интегралы


 f ( x)dx
è
a

f ( x) dx .
a
ТЕОРЕМА 3 (признак абсолютной сходимости).
Если сходится интеграл
тоже будет сходиться.


a
a
 f ( x) dx , то и интеграл  f ( x)dx

При этом интеграл
сходящимся.

f ( x )dx
называется абсолютно
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
y  f (x)

y  f (x)

y  f (x)
ПРИМЕР. Абсолютно сходятся интегралы


0
cos xdx
1 x2

è

0
sin xdx
.
2
1 x


Если
 f ( x) dx
расходится, то об интеграле
 f ( x)dx
ничего
a
a
сказать нельзя. Он может расходиться, а может и сходиться.

Если
 f ( x) dx
a
интеграл


расходится, а
 f ( x)dx
 f ( x)dx
– сходится, то
a
называют условно сходящимся.
a
ПРИМЕР. Условно сходится интеграл


0
sin x
dx
x
3. Несобственные интегралы II рода
(от неограниченных функций)
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и lim
x  b 0
f ( x )   ( )
 y = f(x) непрерывна на [a;b1], где a  b1 < b .
b1
 существует
a
b1
Имеем:
 f ( x)dx
 f ( x)dx  I (b1) ,
D(I) = [a;b) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом II рода по
промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке b,
называется предел функции I(b1) при b1  b – 0 .
b
Обозначают:
 f ( x)dx.
a
Таким образом, по определению
b1
b

f ( x)dx  lim I (b1 )  lim
b1  b  0
a
b1  b  0

f ( x)dx
(5)
a
При этом, если предел в правой части формулы (5) существует
и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
В противном случае (т.е. если предел не существует или равен
бесконечности)
несобственный
интеграл
называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (a;b] и
lim
xa 0
f ( x )   (  ) ,
то аналогично определяется и обозначается несобственный
интеграл II рода по промежутку [a;b] от функции f(x),
неограниченной в точке a :
b
b
 f ( x)dx  a lima  0  f ( x)dx.
a
1
a1
Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бесконечного разрыва функции, то несобственным интегралом
II рода от функции f(x) по промежутку [a;b] называют
b

a
c
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
a
(6)
c
Несобственный интеграл по промежутку [a;b] от функции f(x),
неограниченной внутри этого отрезка, называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (6)
сходятся.
В противном случае, несобственный интеграл по промежутку
[a;b] называется расходящимся.
Будем рассматривать несобственные интегралы II рода по
промежутку [a;b] от функции, неограниченной в точке b . Для
других несобственных интегралов II рода все полученные
результаты останутся справедливы.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных
интегралов II рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и f(x)  0 , x[a;b) .
b1
Тогда

f ( x)dx – площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b1], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y
b1 b x
a
 Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;b] сходится и
равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой
y = f(x) и прямыми x = a, x = b (неограниченная
криволинейная трапеция) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области
нельзя.
На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те
же свойства определенных интегралов, что и для сходящихся
интегралов I рода (свойства 4, 5, 6, 7, 8).
Кроме того, для несобственных интегралов II рода также
существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница.
Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;b) .
Тогда b1[a;b) имеем
b1
 f ( x)dx 
a

b1
F ( x) a
 F (b1 )  F (a)
b1
f ( x)dx  lim F (b1 )  F (a) 

b b  0
b b  0
lim
1
1
a
b

 f ( x)dx  b limb  0 F (b1)  F (a)
a
1
(7)
Ранее вводили обозначение: F (b  0)  lim
b1  b  0
F (b1 )
b0
 lim F (b1 )  F (a)  F (b  0)  F (a)  F ( x) a
b1  b  0
.
Тогда (7) примет вид:
b
 f ( x)dx 
b 0
F ( x) a
 lim F ( x)  F (a) .
a
x b  0
(8)
Формулу (8) называют обобщением формулы Ньютона –
Лейбница
для несобственных интегралов II рода от
функций, неограниченных в точке b.
Аналогично для несобственных интегралов II рода от функций,
неограниченных в точке a, доказывается справедливость
формулы
b
 f ( x)dx 
a
b
F ( x) a  0
 F (b)  lim F ( x) .
xa 0
ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные
установить их расходимость:
b
dx
1) 
dx ;
n
( x  a)
a
b
dx
2) 
dx ;
n
(b  x)
a
интегралы
или
1
dx
3)  2 .
x
1
Сформулированные в п.2 признаки сходимости несобственных
интегралов (теоремы 1, 2 и 3) останутся справедливы и для
несобственных интегралов II рода.
При использовании теорем 1 и 2 в роли «эталонных»
интегралов используют интегралы
b
dx
 (b  x)n dx
a
ñõîäèòñÿ , ïðè n  1,

 ðàñõîäèòñÿ ïðè n  1.
b
ñõîäèòñÿ , ïðè n  1,

 ðàñõîäèòñÿ ïðè n  1.
dx
 ( x  a)n dx
a
Замечание.
Некоторым расходящимся несобственным интегралам можно
приписать определенное числовое значение. А именно:

1) Если
 f ( x)dx
N
– расходится, но lim
N 


f ( x)dx  A ,
N
то число A называют главным значением этого несобb
ственного интеграла.
2) Главным значением расходящегося интеграла f ( x )dx

a
от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке c[a;b]
называют число A, равное
b
 c 

lim  f ( x)dx  f ( x)dx   A.

  0
c 
 a



Обозначают соответствено: v. p.
 f ( x)dx ,


b
v. p. f ( x)dx.
a