ЗАДАЧА 1 По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.): № предприятия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Y 12 4 18 27 26 29 1 13 26 5 21 10 26 33 34 37 9 21 32 14 Требуется: 1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии. 2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков. 3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов. 4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости =0,05). 5. Вычислить коэффициент детерминации R2; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости =0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. 6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости =0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения. 7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза. 8. Составить уравнения нелинейной регрессии: логарифмической; степенной; показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии. 9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 2 РЕШЕНИЕ Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL. 1. С помощью надстройки «Анализ данных» EXCEL проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии yˆ b0 b1 x (меню «Сервис» «Анализ данных…» «Регрессия»): (Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen.) В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид: yˆ 8,12 0,968 x (прил. 1). Угловой коэффициент b1=0,968 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,968 млн. руб. 2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии ei yi yˆ i (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов n SS ост ( y i yˆ i ) 2 11,4 i 1 (см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1). Стандартная ошибка линейной парной регрессии Sрег определена там же: n S рег SS ост n p 1 (y i 1 i yˆ i ) 2 n2 1,19 млн. руб. (см. «Регрессионную статистику» в прил. 1), где p=1 — число факторов в ре- 3 грессионной модели. График остатков ei от предсказанных уравнением регрессии значений результата ŷ i (i=1, 2, …, n) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка» прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…» «Точечная»: График остатков приведен в прил. 2. 3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов. 1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности. Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии df df ост n p 1 n 1 1 n 2 10 2 8 , которое составляет tтаб=2,306. Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов. 2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b0, парамет- 4 ры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нуe e en 0 лю: e 1 2 0 (см. прил. 1). n n Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL «СУММ» и «СРЗНАЧ». 3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений ( i ) от предсказанных уравнением регрессии значений результата ŷ i (i=1, 2, …, n). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции r e , yˆ между абсолютными величинами остатков ei и ŷ i (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций: =КОРРЕЛ(ABS(«Остатки»);«Предсказанное Y») Коэффициент корреляции оказался равным r e , yˆ 0,032 (см. прил. 1). Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы df n 2 10 2 8 составляет rкр=0,632. Так как коэффициент корреляции r e , yˆ не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости =0,05. 4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка « » («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d-статистику Дарбина– Уотсона n d (e i 2 i ei 1 ) 2 n e i 1 1,95 (см. прил. 1). 2 i Для расчета d-статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL: =СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n») Критические значения d-статистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости =0,05 составляют: d1=0,88; d2=1,32. Так как выполняется условие (d 2 1,32) (d 1,95) (4 d 2 4 1,32 2,68) , статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости =0,05. Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициен- 5 ту автокорреляции остатков первого порядка n r(1) e i i 2 ei 1 n e i 1 0,006 (см. прил. 1). 2 i (ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности). Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций: =СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n») Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости =0,05 составляет r(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках. 5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле R/S emax emin 1,27 (1,99) 2,91 , Se 1,12 где emax=1,27; emin=(–1,99) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); Se e12 e22 en2 1,12 — стандартное отклонение ряда остатков (определено n 1 с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН») (см. прил. 1). Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости =0,05 имеют значения: (R/S)1=2,67 и (R/S)2=3,69. Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости =0,05. Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению. 4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b0 и b1 уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии df df ост n 2 10 2 8 составляет tтаб=2,306. t-статистики коэффициентов Коэффициент , t статистика Стандартная ошибка коэффициента были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют следующие значения: tb011,41; tb125,81 (см. прил. 1). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости 6 обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b0 и b1, которые ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение»). Статистическая значимость углового коэффициента b1 дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y. 5. Коэффициент детерминации R2 линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа в EXCEL: n R2 yˆ i 1 n y i 1 y 2 i i y 2 0,99 (см. «Регрессионную статистику» в прил. 1). Значение R2 показывает, что линейная модель объясняет 99 % вариации объема выпускаемой продукции Y. F-статистика линейной модели имеет значение F MS рег MS ост SS рег / df рег SS ост / df ост SS рег / 1 SS ост /( n 2) 666,1 (см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1). Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости =0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии) df1 dfрег 1 и знаменателя (остатка) df 2 df ост n 2 8 составляет Fтаб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в том виде, в каком оно получено, составляет 5,4510-9 (см. «Значимость F» в «Дисперсионном анализе» прил. 1), что ниже допустимого уровня значимости =0,05. Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле E отн S рег 1 n y i yˆ i 1,19 100 % 0,8 100 % 0,8 100 % 4,0 % , n i 1 yi y 23,7 где y 23,7 млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ» (см. «Исходные данные» в прил. 1). Значение Еотн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 4,0 %. Линейная модель имеет хорошую точность. По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции. 7 6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных: максимальное значение X — xmax=29 млн. руб. (см. «Исходные данные» в прил. 1); прогнозное значение X — x0 0,8 xmax 0,8 29 23,2 млн. руб. Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно yˆ 0 8,12 0,968 x0 8,12 0,968 23,2 30,58 млн. руб. Стандартная ошибка прогноза фактического значения объема выпускаемой продукции y0 рассчитывается по формуле 2 1 x0 x 1 23,2 16,1 1 , 19 1 1,25 млн. руб., n (n 1) S x2 10 (10 1) 10,6 2 2 S y 0 S рег 1 где x 16,1 млн. руб. — средний объем капиталовложений; S x 10,6 млн. руб. — стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций «СРЗНАЧ» и «СТАНДОТКЛОН») (см. «Исходные данные» в прил. 1). Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукции y0 с надежностью (доверительной вероятностью) =0,9 (уровень значимости =0,1) имеет вид: y 0 yˆ 0 t таб S y 0 30,58 1,860 1,25 (30,58 2,33) млн. руб., где tтаб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости =0,1 и числе степеней свободы df df ост 8 . Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 28,25 до 32,91 млн. руб. 7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» «Диаграмма…» «Точечная»). Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» «Добавить линию тренда…» «Линейная»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2: 8 Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3). 8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» «Диаграмма…» «Точечная»). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню «Диаграмма» «Добавить линию тренда…»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2: Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R2 приведены в прил. 4. Рассмотрим последовательно каждую модель. 9 1) Логарифмическая модель: yˆ 2,7988 8,6672 ln x . Значение параметра b1=8,6672 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 29,9 / 100 0,0867 млн. руб. Коэффициент детерминации R20,8562 показывает, что логарифмическая модель объясняет 85,62 % вариации объема выпускаемой продукции Y. F-статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R2 по формуле F R2 0,8562 42,81 . 2 (1 R ) /( n 2) (1 0,8562) /(10 2) Табличное значение F-критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (Fтаб=5,32). Так как Fстатистика превышает табличное значение F-критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии. Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R2 по формуле S рег S y (1 R 2 ) n 1 10 1 10,3 (1 0,8562) 4,14 млн. руб., n2 10 2 где S y 10,3 млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. «Исходные данные» в прил. 1). Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле Eотн 0,8 S рег y 100 % 0,8 4,14 100 % 13,97 % . 23,7 Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 13,97 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность. 2) Степенная модель: yˆ 7,142 x 0,4531 . Показатель степени b1=0,4531 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,4531 %. Коэффициент детерминации R20,9277 показывает, что степенная модель объясняет 92,77 % вариации объема выпускаемой продукции Y. F-статистика степенной модели F R2 0,9277 103,08 2 (1 R ) /( n 2) (1 0,9277) /(10 2) также превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии. 10 Стандартная ошибка степенной регрессии равна S рег S y (1 R 2 ) n 1 10 1 10,3 (1 0,9277) 2,93 млн. руб. n2 10 2 Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение Eотн 0,8 S рег y 100 % 0,8 2.93 100 % 9,92 % . 23,7 Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 9,92 %. Степенная модель имеет хорошую точность. 3) Показательная (экспоненциальная) модель: yˆ 9,9238 e 0,0474x 9,9238 [exp( 0,0474)] x 9,9238 1,0474 x , где е=2,718… — основание натуральных логарифмов; exp( a ) e a — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»). Параметр b1=1,0474 является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем в 1,0474 раза, то есть на 4,7 %. Коэффициент детерминации R20,9413 показывает, что показательная модель объясняет 94,13 % вариации объема выпускаемой продукции Y. F-статистика показательной модели F R2 0,9413 134,47 2 (1 R ) /( n 2) (1 0,9413) /(10 2) превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии. Стандартная ошибка показательной регрессии: S рег S y (1 R 2 ) n 1 10 1 10,3 (1 0,9413) 2,65 млн. руб. n2 10 2 Средняя относительная ошибка аппроксимации: Eотн 0,8 S рег y 100 % 0,8 2,65 100 % 8,95 % . 23,7 Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,95 %. Показательная модель имеет хорошую точность. Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R2 четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R2. ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах. 11 ЗАДАЧА 2 Задача 2а и 2б Номер варианта Номер уравнения Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость. 9 1 2 3 Задача 2а переменные у3 Задача 2б переменные у1 у2 х1 х2 х3 x4 у1 у2 у3 х1 х2 х3 x4 -1 0 0 b12 0 a11 -1 b23 a21 b32 -1 a31 a12 0 a32 a13 a23 a33 0 a24 0 -1 b12 b13 a11 b21 -1 b23 0 b31 b32 -1 0 a12 0 0 0 a23 a33 0 a24 a34 РЕШЕНИЕ Задача 2а Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме: yˆ1 b12 yˆ 2 a11 x1 a12 x 2 a13 x3 , yˆ 2 b23 yˆ 3 a 21 x1 a 23 x3 a 24 x4 , yˆ b yˆ a x a x a x . 32 2 31 1 32 2 33 3 3 Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В первом уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует одна экзогенные переменные x2 (D=1). Необходимое условие идентификации D 1 H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных 2 3 Переменные у3 b23 -1 x4 a24 0 Определитель данной матрицы не равен нулю: 1 b23 a24 b23 0 a24 (1) a24 , 1 0 а ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений две эндогенные переменные — y1 и y2 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым. 12 Во втором уравнении две эндогенные переменные: y2 и y3 (H=2). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x2 (D=1). Необходимое условие идентификации D 1 H выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y1 и x3, которые отсутствуют во втором уравнении: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных 1 3 Переменные y1 -1 0 x3 a13 a33 Определитель данной матрицы не равен нулю: 2 1 a13 (1) a33 a13 0 a33 , 0 a33 а ее ранг равен 2. Достаточное условие идентификации выполнено, и второе уравнение считается идентифицируемым. В третьем уравнении две эндогенные переменные: y2 и y3 (H=2). В нем отсутствует экзогенные переменные x4 (D=1). Необходимое условие идентификации D 1 H выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х4 и у1, которые отсутствуют в третьем уравнении: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных 1 2 Переменные у1 -1 0 x4 0 a24 Определитель данной матрицы равен 3 1 0 0 a 24 (1) a 24 0 0 a 24 , а ее ранг — 2. Значит достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым. Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы, а значит, идентифицируема и вся система в целом. Задача 2б Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме: yˆ1 b12 yˆ 2 b13 yˆ 3 a11 x1 a12 x2 , yˆ 2 b21 yˆ1 b23 yˆ 3 a 23 x3 a 24 x 4 , yˆ b yˆ b yˆ a x a x . 31 1 32 2 33 3 34 4 3 Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В первом уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем 13 отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D 1 H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе: Переменные Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных 2 3 x3 a23 a33 x4 a24 a34 Определитель матрицы не равен нулю: 1 a23 a33 a24 a 23 a34 a 24 a33 , , a34 а ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные — y1, y2 и y3. Если a13 a34 a24 a33 , то это означает, что достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым. Во втором уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x1 и x2 (D=2). Необходимое условие идентификации D 1 H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x1 и x2, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе: Переменные Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных 1 3 x1 a11 0 x2 a12 0 Определитель матрицы не равен нулю: 2 a11 a12 0 0 a11 0 a12 0 0, , а ее ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Второе уравнение считается идентифицируемым. В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x1 и x2 (D=2). Необходимое условие идентификации D 1 H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x1 и x2, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе: 14 Переменные Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных 1 2 x1 a11 0 x2 a12 0 Определитель матрицы не равен нулю: 2 a11 a12 0 0 a11 0 a12 0 0, , а ее ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Третье уравнение считается идентифицируемым. Таким образом, первое уравнение заданной системы идентифицируемо, второе — идентифицируемо, а третье — идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то вся система считается неидентифицируемой. Данная система является идентифицируемой и имеет статистическое решение. Задача 2в По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1 10 12 y2 11 x1 1 , y2 20 21 y1 22 x2 2 . Вариант n у1 у2 х1 х2 9 1 2 3 4 5 6 25,1 41,7 12,5 25,9 41,7 9,4 21,8 33,8 12,5 23,4 36,0 11,4 8 10 7 7 5 2 7 14 1 8 17 2 РЕШЕНИЕ С помощью табличного процессора EXCEL строим два приведенных уравнения системы одновременных уравнений регрессии (меню «Сервис» «Анализ данных…» «Регрессия»): 15 Данные уравнения образуют приведенную форму системы одновременных уравнений регрессии: yˆ1 d10 d11 x1 d12 x2 , yˆ 2 d 20 d 21 x1 d 22 x2 . Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения: d103,06; d111,06; d121,97; d207,43; d210,49 и d221,54 (см. прил.). Таким образом, приведенная форма системы уравнений имеет вид: yˆ1 3,06 1,06 x1 1,97 x2 , yˆ 2 7,43 0,49 x1 1,54 x2 . Определим коэффициенты структурной формы системы уравнений yˆ1 a10 b12 yˆ 2 a11 x1 , yˆ 2 a20 b21 yˆ1 a22 x2 . Структурные коэффициенты определяются по формулам: d 20 d12 7,43 1,97 3,06 -6,44 ; d 22 1,54 d 1,97 b12 12 1,28 ; d 22 1,54 d d 1,97 0,49 a11 d11 12 21 1,06 0,43 ; d 22 1,54 d d 3,06 0,49 a20 d 20 10 21 7,43 6,02 ; d11 1,06 d 0,49 b21 21 0,46 ; d11 1,06 d d 1,97 0,49 a22 d 22 12 21 1,54 0,63 . d11 1,06 a10 d10 Окончательно структурная форма системы одновременных уравнений регрессии примет вид: 16 yˆ1 6,44 1,28 yˆ 2 0,43 x1 , yˆ 2 6,02 0,46 yˆ1 0,63 x2 . ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.