Урок алгебры в 9 классе по теме Перестановки

Чмарина Светлана Нероновна
учитель математики
МБОУ «СОШ № 37» г. Выборг
Ленинградской обл.
Уильям
Уордсуорт
Обучающая цель:
 Формировать умение решать комбинаторные задачи,
которые сводятся к подсчету всевозможных вариантов
перестановок элементов, знакомство с действием
«факториал»
Развивающая цель:
 развивать навыки логического мышления: умение
рассуждать, доказывать, ставить вопросы, проводить
сопоставление, анализировать.
Воспитательная цель:
 воспитывать умение выделять наиболее существенные
моменты при выборе способа решения задач;
способствовать формированию познавательного интереса к
предмету, мировоззрения учащихся, ответственности за
качество и результат выполняемой работы.
Какие задачи называются
комбинаторными?
Задачи, в которых идет речь о тех или
иных комбинациях объектов, называются
комбинаторными
Что такое комбинаторика ?
Раздел математики, в котором
рассматривается решение
комбинаторных задач
Какие обозначения удобно вводить
при решении комбинаторных задач?
Для наглядности решения комбинаторных
задач можно вводить условные обозначения,
удобно обозначать предметы,
встречающиеся в задаче, заглавными
буквами, с которых начинается их название.
Если речь идет о некоторых одинаковых
элементах, то можно нумеровать их. Такую
замену предметов их условным
обозначением называют кодированием.
С какими способами решения
комбинаторных задач мы
познакомились на прошлом уроке?
Метод перебора
Дерево вариантов
Правило умножения
abc acb
bac bca
сab cba
A·B
В чем состоит правило
умножения при решении
комбинаторных задач?
Пусть имеется А способов выполнить одно
действие и В способов выполнить другое
действие. Пусть даже эти действия
независимые между собой. Чтобы найти число
способов выполнить все действия нужно
А·В
Задача 1. В кружке 6 учеников. Сколькими
способами можно выбрать старосту кружка и
его заместителя?
Решение:
Первый может быть староста, а второй
заместитель.
Второй может быть заместитель, а первый
староста.
Порядок важен. Используем правило умножения.
Выбор старосты - 6 вариантов.
Выбор заместителя – 6-1 =5 вариантов.
По правилу умножения: 6·5=30 способов.
Ответ: 30
Задача 2. Сколько существует пятизначных
чисел, на третьей позиции которого стоит
цифра 3.
Решение:
Цифр в числе 10
Вариантов выбора первой цифры – 9 (0 на первом месте
стоять не может)
Вариантов выбора второй цифры – 10
На третьей позиции фиксированная цифра – 3, вариант
выбора – 1
Вариантов выбора четвертой цифры - 10
Вариантов выбора пятой цифры – 10
По правилу умножения: 9·10·1·10·10 = 9000 вариантов
Ответ: 9000
Задача 3. Сколько существует пятизначных
чисел, на конце которых стоит четная цифра?
Цифр в числе 10
Вариантов выбора первой цифры – 9 ( 0 на первом
месте стоять не может)
Вариантов выбора второй цифры – 10
Вариантов выбора третий цифры - 10
Вариантов выбора четвертой цифры - 10
Вариантов выбора пятой цифры – 5 (существует
только пять четных цифр)
По правилу умножения: 9·10·10·10·5 = 45000 вариантов
Ответ: 4500
Существует много комбинаторных задач, в
которых рассматриваются ситуации выбора.
Однако, несмотря на все разнообразие
комбинаторных задач, можно выделить среди
них группу однотипных, и именно поэтому
такие задачи можно объединить в отдельные
группы.
Задачи, в которых дается какое-то
количество элементов и требуется
посчитать число всевозможных
перестановок, называются задачами на
перестановки. Такие задачи решаются с
помощью комбинаторного правила
умножения
В семье - шесть человек, а за столом в
кухне – шесть стульев. Было решено
каждый вечер перед ужином,
рассаживаться на эти стулья по – новому.
Сколько дней члены семьи смогут делать
это без повторений?
Для удобства рассуждений пронумеруем
стулья №1, №2, №3, №4, №5, №6 и будем
считать, что члены семьи (бабушка,
дедушка, мама, папа, дочь, сын) занимают
места по очереди. В этой задаче нас будет
интересовать, сколько существует
различных способов рассаживания
Если первой садится
бабушка, то у нее – 6 вариантов выбора
У дедушки – 5 вариантов,
У мамы – 4 варианта
У папы – 3 варианта
У дочери - 2 варианта
У сына – 1 вариант
По комбинаторному правилу умножения
получаем, что всего имеется
6·5·4·3·2·1=720 различных способов
Ответ: 720
Сколькими способами 5 человек могут
занять очередь в железнодорожную кассу?
5·4·3·2·1 = 120 способов
Ответ: 120
Пусть мы имеем n вариантов. На первое место
можно поставить любой из них. На второе место
можно поставить один из оставшихся (n – 1)
элементов, на третье место можно поставить (n –
2) из оставшихся элементов и т.д. В результате
получим:
n·(n – 1)· (n – 2)·…·3·2·1 = n!
Определение: Произведение подряд
идущих первых n натуральных чисел
обозначают n! и называют «эн
факториал»
Число всех перестановок из n элементов
обозначают символом Рn (читается «P из n»).
! – произведение Р – перестановки
n – количество элементов
«Эн факториал» в переводе с английского
переводится как «состоящий из n множителей».
1! = 1,
2! = 2·1 = 2,
3! = 3·2·1 = 6,
4! = 4·3·2·1 = 24,
5! = 5·4·3·2·1 = 120.
Необходимо знать, что 0!=1
n 1
n! 1
2
2
3 4 5
6
7
6 24 120 720 5040
8
9
10
40320 362880 3628800
а)
б)
г)
Запомните
Упростите:
Особенность всех задач на перестановки
заключается в том, что n различных
элементов можно расставить по одному
на n различных мест в определенном порядке
Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные
числа. Найдите количество всех таких чисел,
если в них нет одинаковых цифр.
Так как мы имеем дело в данной задаче с
перестановками, то всего из четырех цифр
можно составить Р4 перестановок. Но цифра 0
на первом месте стоять не может. Чисел,
которые можно образовать из трех оставшихся
будет Р3. Значит всего четырехзначных чисел,
отвечающих условию задачи, будет
Р4 - Р3 = 4! – 3! =
24 – 6 = 18
Ответ 18.
Сколько вариантов расписания уроков
возможно составить, если в день шесть
уроков: математика, русский язык,
география, биология, физкультура,
информатика, если:
Так как урок математики должен быть только
первым, для остальных уроков остаются
варианты расписания только из пяти
предметов, т.е
P5 = 5! = 1*2*3*4*5 = 120 способов
Ответ: 120
Так как урок физкультуры не может быть
первым, то из всего количества всех
вариантов уроков необходимо исключить
случаи, когда урок проходит первым
P6 - P5 = 6! – 5! =720 – 120 = 600 способов
Ответ: 600
Так как русский язык не может быть ни
первым, ни шестым, то эти случаи
необходимо исключить:
P6 - 2 P5 = 6! – 2*5! =
= 720 – 240 = 480 способов
Ответ : 480
Так как урок биологии можно проводить или
на четвертом, или на шестом уроке, то на
четвертом уроке он может быть проведен в
5! вариантах, и на шестом уроке биология
может быть проведена 5! случаях. Итого
2*5! = 2*120 = 240 способов
Ответ: 240
Так как уроки математики и информатики должны
стоять рядом, то будем считать пару информатика
– математика как один предмет. Тогда из пяти
получившихся предметов можно составить только
5! вариантов расписания. Но двухэлементное
множество (математика-информатика) можно
упорядочить только 2! способами. Значит, общее
количество вариантов будет в 2! раза больше.
2! * 5! = 240 способов
Ответ: 240
 В чем состоит особенность задач на
перестановки?
 Как решаются задачи на перестановки?
 Сколько можно составить перестановок из
трех элементов?
1 вариант
1. Сколькими способами 6
человек могут занять
очередь в
железнодорожную
кассу?
2. Сколько шестизначных
кодов для открывания
замка можно составить
из цифр 2, 3, 5 и трех
букв А, В, С, если буква
А должна быть только
первой?
2 вариант
1. Сколькими способами 5
человек могут занять
очередь в театральную
кассу?
2. Сколько шестизначных
кодов для открывания
замка можно составить
из цифр 2,3,5 и трех
букв А, В, С, если буква
В должна быть только
первой?
1 вариант
1. 720
2. 120
2 вариант
1. 120
2. 120