Понятие о неинерциальных системах отсчета Неинерциальные

Понятие о неинерциальных
системах отсчета
Неинерциальные СО – системы отсчёта,
движущиеся относительно инерциальных
систем отсчета с ускорением.
• Геоцентрическая система отсчета (жёстко
связанная с Землёй) в общем случае
является неинерциальной вследствие
суточного вращения Земли.
• Максимальное ускорение точек Земли не
превосходит 0,5 %g. Следовательно, в
большинстве практических задач
геоцентрическую СО считают инерциальной.
а
а
Поезд двинулся с
ускорением а, шарик
приобрёл ускорение а.
В неинерциальных СО
первый закон Ньютона
нарушается: тело
получает ускорение без
взаимодействия с
другими телами.
а
N
Поезд движется с
ускорением, шарик у
стенки, на него
действует сила
реакции опоры N, но
шарик находится в
покое.
В неинерциальных СО
второй закон
Ньютона нарушается:
при наличии
взаимодействия тело
не получает ускорение.
Принцип Даламбера
В момент t = 0 системы К и К′
совпадают.
Система К′ начинает двигаться
относительно К с ускорением а.
В момент t:
a
y'
Н С О
K'
y
rн
rи
K
0'
x'
r0'
0
x
И С О

   
v0 '  at ; rи  r0 '  rн , (1)
rи – радиус-вектор материальной
точки в системе К,
rн – радиус-вектор материальной
точки в системе К',
r0' – радиус-вектор начало
координат системы К' в системе
К.
Продифференцируем уравнение (1) по времени:



drи dr0 ' drн


, (2) dt  dt'.
dt  dt dt
vи  v0 '  vн .(3)



dvи dv0 ' dvн




, (4) v0 '  at 
dt
dt
dt

 



aи  а  ан , (5)  ан  aи  а , (6)
ан – ускорение материальной точки
относительно НСО,
аи – ускорение материальной точки
относительно ИСО,
а – ускорение НСО относительно ИСО.



mан  maи  mа , (7)


maи  R
– векторная сумма сил
взаимодействия,
 
 ma  J – сила инерции.
 

mан  R  J (7)  принцип Даламбера.
Произведение массы тела на его ускорение
относительно НСО равно векторной сумме
сил взаимодействия сложенной с силой инерц
Сила инерции – фиктивная сила в том
смысле, что она не обусловлена
взаимодействием с другими телами, а
вызвана ускоренным движением НСО
относительно ИСО.
Т.к. сила инерции обусловлена
ускоренным движением системы
отсчёта относительно другой СО, то она
не подчиняется третьему закону
Ньютона.
  



aи  ан а , maи  mан  mа 
mан  maи 
mа.

 J
а
J
а

J

  a.
m
а
N
R

 

J  N , J  ma.
 

maн  R  J .
Сила инерции во вращающихся
системах отсчёта
Центробежная сила инерции
n
во вращающихся СО
0
m
R
зависит от местоположения
n – единичный орт.
тела
 в СО.



 
mан  maи 
mа , J  maи  ан .(1)

J
Тело m покоится относительно диска (НСО),
т.е. вращается вместе с диском

ан  0, (2) 
2
аи   Rn.(3)




2
J  m Rn, R  R  n 
2
J ц .б  m R.(4)
центробежная сила инерции.
Свойства центробежной силы:
1) величина центробежной силы инерции
(Fц.б) зависит от положения тела во
вращающейся СО,
2) величина Fц.б не зависит от скорости
тела относительно вращающейся СО,
3) Fц.б является консервативной.
 
 
2
dA  Fц .б dR; dA  m R  dR.
2
2
  dR
2  
 
dR
R  dR 
, R  R  R cosR, R  R 2 ,
 R  dR.
2
2
dA  m R  dR.
2
A12  R
R2
1
m R
m R  dR 
2
2
2 R2
2
R1
m R  R 

,
2
т.е. не зависит от формы пути.
2
2
2
2
1
Из-за Fц.б направления Fтяжести и
Fтяготения не совпадают.
ab  mg sin  ,
ω
F
F
β
т
m g
a
φ
b
ц .б
ab  Fц .б sin  
2
 m RЗ cos sin  .
2
 RЗ cos sin 
sin  

R з∙c o s φ

 RЗ sin 2
g
2
2g
.
sin   0,0018 sin 2.
Сила Кариолиса
vн – скорость движения
ω
0
vн
n
r
F
К
материальной точки
относительно
вращающейся СО –
НСО, направление vн
произвольное.
На эту точку действует
сила, обусловленная
инерцией
 
FК ~ vн   sin vн ,   vн  .

900
Скорость точки относительно ИСО:
 
   
vи  vн  v  vн   ,r .(1)

 
J  maи  ан .(2)
Пусть


vн  v .
2
2
2
vн  r и 

vи 
vи 
aи   n   n  
n.(3)
r 2 r 2
r
vн 
vн 

aн   n   n.(4)
r
r
2
2
2 2
vнr  r
vн  
 vн

J  m  2
r
r

r

 n  m2vн   r n.
r 
2

vнr  2 r 2 vн2  

 vн2
2
J  m  2

 n  m2vн   r n.
r
r
r 
r

2 
Fц.б  m rn.


FК  m2vнn.

 
FК  2mvн   .
• В общем случае
Если материальная точка движется во
вращающейся СО со скоростью vн, то на
материальную
сила
 точку действует
 
Кариолиса FК  2mvн   .
Свойства силы Кариолиса:
1) величина FК не зависит от положения
материальной точки во вращающейся
СО,
2) величина FК зависит от скорости vн,


3) FК  vн  FК работы не совершает.
Эта сила называется гироскопической.
Закон Бэра.
ω
vн
ω
F
ω
F
К
ω
F
К
vн
vн
К
В северном полушарии.
Если тело движется на север FК на восток,
если тело движется на юг - FК
на запад.
Следовательно, правый берег
рек подмывается сильнее;
правые рельсы железных
дорог по движению
изнашиваются сильнее.
В южном полушарии.
FК направлена влево по
отношению к направлению
движения vн.
Гравитационное поле
Фундаментальные взаимодействия:
электронное, гравитационное, сильное,
слабое.
Гравитационное взаимодействие
универсальное, т.е. возникает между любыми
двумя материальными точками.
Закон всемирного тяготения: между любыми
двумя материальными точками действует
сила взаимного притяжения прямо
пропорциональная произведению масс этих
точек и обратно пропорциональная квадрату
расстояния между ними

m1  m2 
F  
r,
3
r
2
11 Н  м
  6,67  10
 гравитац. пост.
2
кг
Первая формулировка дана Ньютоном в
1687 г. в труде «Математические начала
натуральной философии».
Гравитационная масса – мера
способности тел притягивать и
притягиваться к другим телам.
Величину γ оценил Ньютон. Более точно
в 1797 г. определил Кавендиш с
помощью крутильного маятника.
Напряженность поля тяготения
Это векторная величина, численно
равная силе, действующей на единицу
массы, помещенную в данную точку
поля и направленная вдоль действия
силы (или совпадает с силой
тяготения).

 F 
M
G  ; G   3 r .
m
r
Принцип суперпозиции
 


G  G1  G2  ...  Gn .
Если гравитационное поле создано
системой материальных точек
(гравитационных масс), то
результирующая напряженность поля
равна векторной сумме напряженностей
полей, создаваемых в этой точке
каждой материальной точкой.
Работа в гравитационном поле
m
r
0
M
 
mM  
dA  Fdr ; dA  
r dr ,
3
r
  1 2 1
2
r dr  d r   d r   rdr. 
2
2
mM
mM
dA  
rdr  
dr.
3
2
r
r
r
mM
mM
A12   r 
dr  
2
r
r
2
r2
1
r1
1 1
 mM   .(1) 
 r2 r1 
Гравитационные силы консервативные.
Потенциальная энергия в поле тяготения.
dA  dE p .
A12  E p 2  E p1   E p1  E p 2 .(2)
Сравнивая уравнении (1) и (2), запишем
mM
mM
E p1  
, E p 2  
.
r1
r2
E
p
0
r
Потенциал поля тяготения
Ep
M

  ; M  точечная масса.
m
r
Потенциал поля тяготения в данной точке
равен
потенциальной
энергии
тела
единичной массы, помещенного в данную
точку поля.
Принцип суперпозиции:   1   2  ... n .
Если гравитационное поле создано системой
точечных
масс,
то
потенциал
результирующего поля в данной точке равен
алгебраической
сумме
потенциалов,
созданных в этой точке каждой из точечных
масс по отдельности.
Эквипотенциальные поверхности
Геометрическое место точек, потенциал
которых одинаков, называется
эквипотенциальной поверхностью или
поверхностью равного потенциала.
Для точечных масс – сфера.
Связь напряженности
и потенциала поля

тяготения: G   grad  .
«Взвешивание» (определение массы)
Солнца, Земли, планет
Fтяготения  Fц .б .
2
2
2
mM
v  2R  1 4 R
 2  maц .б , aц .б   

.

2
R
R  T  R
T
mM
4 R
4 R
 2 m 2 M 
,
2
R
T
T
2
2
3
М – масса Солнца,
R – расстояние между Землёй и Солнцем,
Т – период обращения Земли вокруг Солнца.
Космические скорости
v1
a ц .с
h
R
З
Первая космическая скорость
(круговая) – минимальная
скорость, которую надо
сообщить телу, чтобы оно могло
двигаться вокруг Земли по
круговой орбите. Становится
искусственным спутником
Земли. Движение финитное.


Fт  maц .с .(1)
M
2
2

 v1 , (2)
mM
mv1
RЗ

; h  RЗ 
2 
RЗ  h  RЗ  h

mM
Fт  gm  
2
З
R
.
M
км
(2)  v1   2  RЗ  gRЗ  7,9 .
RЗ
с

g
Вторая
космическая
скорость
(параболическая) – минимальная скорость,
которую надо сообщить телу, чтобы оно могло
преодолеть притяжение Земли и стать
искусственным спутником Солнца, т.е. его
орбита в поле тяготения Солнца будет
параболической.
Потенциальная энергия на
E
p
R
0
З
r
большом расстоянии от
Земли стремится к 0.
Кинетическая энергия
должна быть равна
работе (∆Ep),
совершаемой против сил
тяготения.
км
MЗ
mM З
mv
 v2  2 2  RЗ  2 gRЗ  11,2 .

с
RЗ
RЗ
2

2
2
g
E
p
R
0
З
r
Третья космическая скорость – скорость,
которую надо сообщить телу, чтобы оно
преодолело притяжение Солнца и
покинуло пределы Солнечной системы.
v3 =16,7 км/с.
Законы Кеплера.
(Закона движения планет)
Описывают движение тел в центральном
поле, каковым является поле тяготение.
Кеплер (1571 – 1630 гг.) уточнил
результаты наблюдений датского
астронома Браге (1546 – 1601 гг.)
1. Планеты Солнечной системы
вращаются по эллипсам, в одном из
фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор
планет за равные
промежутки времени
описывает
одинаковые
площади.
3. Квадраты периодов
обращения планет
вокруг Солнца
относятся как кубы
больших полуосей
их орбит.
2
3
1
3
2
T1
a
 .
2
T2 a
Для круговых орбит a = R.
Законы Кеплера являются следствием
законов Ньютона.
Например, третий закон Кеплера. Для
частного случая движения планет по
круговой орбите.
2
3
4 R1
Для планеты 1: масса Солнца M 
.
2
T1
2
3
4

R
2
Для планеты 2: масса Солнца M 
.
2
T2
3
3
2
3
3
R1 R2
T1
R1 a1
 2  2  3  3.
2
T1 T2
T2
R2 a2
Чёрные дыры
Чёрные дыры – космические
объекты, поглощающие все
частицы, в том числе фотоны,
проходящие через их поверхность.
Если фотон поглощается, то его
кинетическая энергия меньше (равна)
его потенциальной энергии в поле
чёрной дыры. Следовательно,
2
mc
mM М – масса чёрной дыры,

,
2
r r – радиус чёрной дыры.

Eк
фо тона
2M
r  2 ,
c
Если
то свет не может покинуть данный
классический объект.
Т.к. чёрные дыры поглощают всё и почти
ничего не испускают, то о
существовании чёрных дыр можно
судить по косвенным данным –
поглощению вещества и испусканию в
этом процессе излучения.