Лекция 21. Модели передачи информации в популяции

Модель передачи
информации в популяции
переменной численности
Рассмотрим модель передачи информации в популяции, численность которой может
изменяться с течением времени.
– количество обученных особей в момент времени t;
– количество необученных особей;
– общее количество особей в популяции
– удельный вес обученных особей;
– удельный вес необученных;
– коэффициент размножения необученных особей и коэффициент смертности
обученных,
;
– коэффициент передачи информации,
.
При сделанных гипотезах динамика численностей
задается системой уравнений:
(5.7)
.
Математическое моделирование
процессов отбора
2
-правые части системы (5.7) удовлетворяют условию Липшица
неотрицательных значений переменных v и z, кроме точки (0,0).
в
области
-в точке (0,0) значения правых частей можно непрерывно доопределить нулем, сохраняя
при этом выполнение условия Липшица.
- система однородна по переменным v,z.
- для (5.7) выполняются условия квазиположительности
при любых неотрицательных начальных условиях ее решение будет неотрицательным.
Математическое моделирование
процессов отбора
3
Нормирующая замена:
, тогда
,
(5.8)
Система на стандартном симплексе, представленная через функции перехода
и
Математическое моделирование
процессов отбора
4
Если
, т.е.
Если
, т.е.
, то при
, то при
Если
, то любая точка симплекса является стационарной, с течением времени
пропорция обученных и необученных особей в популяции не изменяется.
Математическое моделирование
процессов отбора
5
Исследуем поведение исходной системы (5.7).
– общая численность популяции .
,
Из (5.7) получим:
Математическое моделирование
процессов отбора
6
Если
w
0
, то начиная с некоторого момента
v
0, z
(кроме случая
), поэтому
0.
Математическое моделирование
процессов отбора
7
Если
, то, начиная с некоторого момента,
w
∞,
(кроме случая
v
), поэтому
∞.
Численность же обученных может изменяться по-разному. Перепишем второе
уравнение системы (5.7) в виде
Математическое моделирование
процессов отбора
8
-
:
начиная с некоторого момента
1
-
: для любого t
-
: система (5.7) принимает вид:
иz
z монотонно убывает. Если
∞;
, то z
0;
,
Поделим втрое уравнение на первое.
.
Решая, получим:
, где p определяется из начальных условий
Т.к. v
∞, то z
.
.
Математическое моделирование
процессов отбора
9
-
:
не зависят от t, поэтому рассмотрим начальные условия:
1.
: w 0, z 0, v 0;
2.
: w, z, v не изменяются;
3.
: w ∞, z ∞, v
∞.
Математическое моделирование
процессов отбора
10
Математическое моделирование
процессов отбора
11
Как следует из предыдущей главы, для оценки существования системы
носителей информации могут быть использованы следующие функционалы
< z>, < > , < >
Пусть
,
,
или
< >.
.
Решим задачу параметрической оптимизации с указанными критериями.
< > → max:
< > → max при
Математическое моделирование
процессов отбора
12
< z > → max:
< z > → max при
Математическое моделирование
процессов отбора
13
Найдем значение параметра u, при котором критерий < > принимает наибольшее
значение. Из уравнений (5.8) следует, что
.
Поскольку c – постоянная, то
.
< > → max при
Математическое моделирование
процессов отбора
14
Рассмотрим задачу максимизации критерия < > при выборе параметра u.
Из уравнений (5.7) следует, что
При
sup
, но эта точная верхняя грань не достигается.
Для максимизации критерия в случае, когда , значение параметра u следует выбирать
сколь угодно близко к
, оставляя его меньше
Математическое моделирование
процессов отбора
15
Проведенный анализ показывает, что решения задач оптимизации с разными
критериями будут различными. Более того, рекомендации будут противоположными:
для максимизации < > величину u нужно выбирать больше
, выбор
дает наихудший результат; для максимизации <z> величину u нужно выбирать
меньше
, выбор
дает наихудший результат. Такие противоречия
происходят из-за того, что здесь имеет место особый случай – величина z,
характеризующая количество самовоспроизводящихся объектов системы, при
некоторых вариантах поведения может стремиться к нулю или бесконечности.
Математическое моделирование
процессов отбора
16