Дифракционные механизмы образования изображения в

Дифракционные
механизмы
образования
изображения в
оптических системах
Согласно представлениям Гюйгенса-Френеля-Аббе
обычная линза при формировании изображения
производит двойное Фурье преобразование
т.е. является дифракционным прибором
f  x
Функция
объекта
Фурье-образ функции объекта f(x)

F  f  x   F  u    f  x   e2 iux dx

Изображение объекта f(x)

f  kx   F 1   F  f  x    F  u  e 2 iux dx

Плоскость Гаусса
ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
МИКРОСКОП, КАК ДИФРАКЦИОННЫЙ ПРИБОР. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ АББЕ
Плоскость объекта
Схема, иллюстрирующая дифракционную природу
изображения, формируемого линзой. O-плоскость объекта,
L-линза, F-задняя фокальная плоскость линзы, где
формируется дифракционная картина, названная Аббе
"первичным изображением", D-апертурная диафрагма
линзы, I-плоскость увеличенного вторичного изображения.
Пусть объект описывается функцией
F
F
Здесь s-константа взаимодействия; j(x,y) -описывает
изменение фазы, приобретаемое волной в различных
точках (x,y) объекта. q(x,y) - носит название
трансмиссионной функции объекта. Будем считать, что
фазовый объект достаточно тонкий и, следовательно,
величина фазового сдвига мала, т.е. j(x,y)<<1, тогда можно
записать
Плоскость изображения
Фокальная плоскость
  F q  x, y   F 1  e
   x , y   is F j  x, y  
   x , y   is  x , y 
Qx , y
*
*
*
*
*
*

здесь ; x 
*
isj  x , y 
*
x   y
,y 
-углы дифракции; l-длина
l
l
волны; q(x,y) - трансмиссионная функция тонкого
фазового объекта;
 ( x , y  )
- дельта-функция Дирака;
 ( x , y  )
- фурье-образ фазовой
функции j(x,y).

Идеальная линза (аберрации-искажения отсутствуют)
Тонкий фазовый объект
q  x, y   e
isj  x , y 
 1  isj  x, y 
Фокальная плоскость
F1


Q  x , y    F q  x, y   F 1  eisj  x , y  
   x , y    is F j  x, y 
Плоскость изображения
F2

  x, y   F Q  x , y


  1  isj  x, y 
Если искажений нет
  x, y   j  x, y 
Передача изображения реальной линзой
(с аберрациями)
q  x, y   e
Q 'x , y


isj  x , y 
  Qx , y  A





 1  isj  x, y 



i  x , y 








x , y  e



 
   x , y   is  x , y   A  x , y   e

i   x , y  






   x , y   is  x , y   A  x , y   e





i  x , y 



  x, y   F Q  x  , y    A  x , y   e i   x , y  

 F   x , y   is  x , y   A  x , y   e

F  A


i   x, y 


 x , y    e


  S  x, y 







 1  isj  x, y   F A  x, y   e
 1  isj  x, y   S  x, y 

i  x, y 



i  x , y 



q  x, y   e
isj  x , y 
 1  isj  x, y 


Q  x , y    F q  x, y   F 1  eisj  x , y  
   x , y    is F j  x, y 


  x, y   F Q  x , y   1  isj  x, y 
Q ' x , y

  Q  x , y   A x , y   e





   x , y    is  x , y     A

i  x , y 



  x, y   F Q  x , y   A  x, y   e


 
 1  isj  x, y   F  A  x, y   e

i  x, y 
 x, y   e





i  x , y 





 1  F is  x  , y    F A  x, y   ei   x , y  
i  x, y 

 F   x , y   is  x , y   A  x , y   e



i   x , y 
   x , y   is  x , y   A  x , y   e


  1  isj  x, y   S  x, y 





i  x , y 


q  x, y   e
isj  x , y 
 1  isj  x, y 
  Q  x , y   A x , y   e 
   x , y   is  x , y   A  x , y   e
Q ' x , y










i  x , y 





i  x , y 


  x, y   F Q  x , y   A  x, y   ei  x, y   1  isj  x, y   S  x, y 
S  x, y 
Передаточная функция оптической системы
  x, y   1  isj  x, y   S  x, y 
Участие различных дифракционных пучков в формировании дифракционного
изображения в электронном микроскопе. Изображение формируется только за
счет нулевого пучка -а) (светлопольное изображение); б) изображение
формируется только за счет одного из боковых дифракционных максимумов
(темнопольное изображение); в) изображение формируется в результате
интерференции нескольких дифракционных пучков (высокое разрешение). 1образец; 2-объективная линза; 3-апертурная диафрагма; 4-дифракционное
изображение объекта в фокальной плоскости линзы; 5 - восстановленное
изображение объекта в "плоскости объекта".
ТОНКИЙ ФАЗОВЫЙ ОБЪЕКТ В ЭЛЕКТРОННОЙ МИКРОСКОПИИ
Распределение электрического потенциала внутри этой пластины
описывается функцией V(x,y,z). Длина волны падающих электронов в
пучке электронного микроскопа в вакууме задается выражением
При движении электронов внутри
кристалла следует учитывать
дополнительное электрическое поле
V(x,y,z)=V(r), существующее в
кристалле за счет распределения
электрических зарядов, и тогда
выражение, определяющее длину
волны электронов, будет иметь вид
Следовательно дополнительная разность фаз, приобретаемая электронами при прохождении
слоя вещества толщиной dz, должна определяться, как
Написанное выражение для изменения фазы можно упростить, учитывая, что E>>V(r)

s
lE
Полная фаза, набегаемая пучком электронов при прохождении всего кристалла толщиной t, будет
определяться интегрированием написанного выше выражения по всей толщине кристалла т.е.
Таким образом функция j  x, y  представляет собой проекцию распределения электрического
потенциала V(x,y,z) внутри кристалла толщиной t на плоскость (x,y) перпендикулярную
направления движения электронов. С другой стороны из электродинамики известно, что
электрический потенциал V(x,y,z) связан с распределением электронной плотности в
кристаллической решетке уравнением Пуассона divV  r   4  r 
АНАЛИЗ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЭЛЕКТРОННОГО МИКРОСКОПА
Передаточная функция интегрирует в себе различного рода ошибки оптической системы при
передаче и формировании изображения объекта. Любая оптическая система будет вносить
искажения, как в амплитуду, так и в фазу проходящей волны. Основными ошибками оптических
систем являются дифракционная, сферическая, хроматическая аберрации, ошибки, вносимые
расходимостью пучка и дефокусировкой
Дифракционная
ошибка
Сферическая
аберрация
Хроматическая
аберрация
Ошибка
дефокусировки
A 
A
0  61 l
A
4
 s  0  5 Cs 
l
s  Cs  
3
 c  f  
 V   I 
f  Cc  
  
 V   I 
2
 D  
c
2
2
  
l
D
Зависимость амплитудной части разрешения
микроскопа от апертурного угла
   A 2   s 2  c 2   D 2
Зависимость фазовой части разрешения от апертурного угла
4
2
 (  )   s (  )   D (  )  0.5 Cs   
l
l

4
2  

i  0,5 Cs    


l
l  

S  x, y   F  A     e






4
 2   
4
 2  
S  x, y   F  A     cos  0,5 Cs        F iA     sin  0,5 Cs      
l
l   
l
l  



Вид передаточной
функции, рассчитанный
для нескольких значений
дефокусировки.
Коэффициент
сферической аберрации
Cs=108Å, длина волны
=0.0164Å
(соответствует
рабочему напряжению
400kV, апертурный угол
измеряется в радианах).


рассчитанные зависимости sin   ,  для различных значений дефокусировки .
Анализ поведения этой зависимости показывает, что при определенных значениях
величины дефокусировки, на зависимости наблюдается достаточно широкая область
значений апертурного угла , где функция sin (,  )  1 , соответственно в этой же
области функция
cos (,  )  0
ввиду близости аргумента к /2. Это означает, что фазовый множитель в передаточной
функции при определенных значениях дефокусировки мало отличается от -1 в некотором
интервале апертурного угла . Если учесть при этом, что апертурная функция A()
описывает действие апертурной диафрагмы и внутри этой области апертурного угла
является константой, передаточная функция в этой области апертурного угла
.S      1 Область дефокусировок, при которых это происходит, получила название
по имени автора этого исследования, дефокусировки Шерцера. Таким образом, подбирая
величину дефокусировки, можно в некоторых пределах скомпенсировать фазовую
ошибку, связанную со сферической аберрацией, и добиться предельного разрешения
прибора. Эта методика и лежит в основе получения высокого разрешения в электронной
микроскопии.
Передаточная функция современного 100-кВ
электронного микроскопа, характеризуемого
Сs=2,2 мм и расходимостью пучка электронов
С=0,9x10-3 рад. На рисунках а и б
представлены соответственно случаи n=0,
шерцеровский фокус, f=-110,4 нм) и n=3 (f=331,5 нм). В случае (а) «полоса пропускания»
простирается от и=0 до величины предела
разрешения прибора по точкам. В случае (б),
как это показано на рисунке, положение
полосы пропускания сдвинуто вправо.
Сплошные кривые построены для случая
максимального смещения на пушке (D=5,4
нм), а штриховые - для минимального
смещения (ток пучка максимален, D=12,0 нм).
Уменьшение напряжения смещения на пушке
приводит к затуханию более высоких
пространственных частот. Заметим, что число
n равно количеству минимумов передаточной
функции, предшествующих полосе
пропускания. На графике указано положение
брэгговского рефлекса (111). Видно, что
рефлекс находится за пределом разрешения
микроскопа по точкам.
Участие различных дифракционных пучков в формировании
дифракционного изображения в электронном микроскопе.
а) Изображение формируется только за счет нулевого пучка (светлопольное
изображение);
б) изображение формируется только за счет одного из боковых
дифракционных максимумов (темнопольное изображение);
в) изображение формируется в результате интерференции нескольких
дифракционных пучков (высокое разрешение)
1-образец;
2-объективная линза;
3-апертурная диафрагма;
4-дифракционное изображение объекта в фокальной плоскости линзы;
5-восстановленное изображение объекта в "плоскости объекта"
Расчетные (правая колонка) и
экспериментальные (левая колонка)
изображения структуры кристалла
GeNb9О26. полученные при различных
дефокусировках. Экспериментальные
и теоретические изображения были
получены при следующих значениях
дефокусировки, измеряемой в
нанометрах:
(а) -10 -10;
(б) -45, -42,5;
(в) -70, -70;
(г) -95, -97,5;
(д) -120, -117,5;
(е) -150, -150
Изображение (в) получено при оптимальной
дефокусировке и его можно сразу
интерпретировать на языке кристаллической
структуры. При проведении расчетов
расходимость падающего пучка не
учитывалась. (Объективная диафрагма
принималась равной 2,63 нм-1, а Сs=1,8 мм.
Небольшие различия между расчетными и
экспериментальными значениями
дефокусировки могут возникать из-за
вибраций, создаваемых механизмом
перемещения фотопластинок.
МЕТОД ОПТИЧЕСКОГО ДИФРАКТОМЕТРА
ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
I x , y


    x , y   4s


2
 F j  x, y   F S  x, y 
2
2
а
б
Оптическая дифрактограмма от электронной микрофотографии
топкой аморфной углеродной пленки. Электронное изображение –а)
было получено при неправильно установленном стигматоре, что
привело к эллиптическому искажению приведенной оптической
дифракционной картины. Полоса, проходящая через картину,
представляет собой заслонку центрального пучка, используемую
для исключения центрального светлого пятна из изображения.
Оптическая дифракционная картина микрофотографии
аморфной углеродной пленки. В процессе экспозиции
образец смещался. Движение образца происходит в
направлении А А' под прямым углом к направлению
максимального контраста колец и приводит в результате к
снижению контраста вдоль этой линии
Примеры применения
электронной микроскопии
высокого разрешения (HREM)
Изображение решетки кремния вдоль направления <110>. Толщина
кристалла 150Å, дефокусировка 1140Å, светлые пятна соответствуют
атомным колонкам. Изображение очищено от шума. На врезке
показано расположение атомов в элементарной ячейке кремния и
приведены некоторые характерные межатомные расстояния.
Очистка изображения от шумов
изображение кремния
изображение
интерфейса шпинель/оливин
Дислокации на
гетеропереходе InAsSb/InAs
Граница зерна в Ge.
Преципитаты TiN в α-Fe.
SiC
изображения квазикристаллов Al-Li-Cu c пятикратной (А),
трехкратной (В) и двукратной (C) симметрией
Р
Изображение структуры
монокристалла YBa2Cu3O6.74,
вдоль направления оси b. На
вставке показана проекция
модели структуры. Светлые
пятна обозначенные Ox
указывают положения вакансий
кислорода.
a
б
а)- Изображение ядра краевой дислокации в монокристалле
германия;
б)- Двойниковые прослойки в монокристаллах кремния
образующиеся при деформации
а
б
в
а)-Взаимодействие 60-градусной дислокации с межзеренной границей в
кремнии. [1]+[2] - диссоциировавшаябв границе 90-градусная частичная
дислокация. [3] -30-градусная частичная дислокация;
б)-Слияние дислокаций [1]+[3], дислокация [2] перемещается в плоскости
границы;
в)-Дислокация [1]+[3] диссоциирует в межзеренной границе на закрепленную [3]-дислокацию и скользящую -[1} дислокацию
Испускание двух 30-градусных дислокаций в результате
диссоциации закрепленной в межзеренной границе дислокации br
Высокоразрешающее изображения частички золота, снятые с
интервалом 0.5сек. Ось зоны [110] перпендикулярна плоскости
рисунка. Наблюдается динамика изменений двойниковой прослойки в
средней части кластера
Схема иллюстрирующая модель изменений двойниковой прослойки.
а
б
а)-электронномикроскопическое изображение поверхности (111)
золота. Видны ступеньки на поверхности, стрелкой отмечена
поверхностная дислокация Шокли; б)-реконструкция области
поверхности (110) золота. На врезке в левом верхнем углу показано
рассчитанное на ЭВМ соответствующее изображение
ЭМ изображение высокого
разрешения поперечного
сечения кремния
выращенного на
сапфировой подложке. Ось
<110> решетки кремния
параллельна оптической
оси микроскопа
Частичка золота диаметром около
6-7 nm на поверхности углеродной
пленки
Основная литература
1. М.Борн,Э.Вольф, Основы оптики,
Москва, Наука, 1970,с.856
2. Дж.Каули, Физика дифракции,
Москва, Мир, 1990,с.432
3. I. Watt, The Principles and Practice of Electron Microscopy,
Cambridge University Press,1985,p.303
4. П.Хирш, А.Хови, Р.Николсон, Д.Пэшли, М.Уэлан,
Электронная микроскопия тонких кристаллов,
Москва,Мир,1968,с.574
5. Р.Хейденрайх, Основы просвечивающей электронной
микроскопии,
Москва, Мир, 1966,с.472
Дополнительная литература
1. Г.Пейн, Физика колебаний и волн, Москва, Мир, 1979,390
2. Н.И.Калитеевский, Волновая оптика, Москва, Наука, 1971,с.376
3. Дж.Гудмен, Введение в Фурье-оптику, Москва, Мир,1970,с.364
4. Приборы и методы физического металловедения,
под ред. Ф.Вейнберга, Москва, Мир, 1973,Т.1,2
5. Г.Томас, М.Дж.Гориндж Просвечивающая электронная
микроскопия материалов Москва,Наука,1983,c.318
6. Дж.Спенс, Экспериментальная электронная микроскопия
высокого разрешения, Москва, Наука, 1986,с.320
7. Современная электронная микроскопия в исследовании
вещества, Сборник под ред.Б.Б.Звягина, Москва,Наука,1982,с.285
8. Дифракционные и микроскопические методы в
материаловедении, Сборник под.ред.С.Амелинкса,
Москва,Металлургия,1984,с.502
9. С.Амелинкс Методы прямого наблюдения дислокаций,
Москва,Мир,1968,с.440
Примеры решения задач
Какое предельное разрешение можно
получить на электронном микроскопе с
ускоряющим напряжением 100kV, 400kV
если все ошибки за исключением
дифракционной равны нулю.
Релятивистскую поправку не
учитывать. Угловая апертура
объективной линзы 610-3 рад.
rD 
0.61

l
12,26
l
E

12, 26
5
l
 12, 26 / 10  0,039A
E

100 kV
l  12,26 /
400 kV
r
100
D
rD
400
5
4 10
 0,0193 A

0.039
 0.61
 3.965 A
3
6 10

0.019
 0.61
 1.932 A
3
6 10
Определить длину волны электронов с
учетом релятивистских поправок и без них
в электронном микроскопе с ускоряющими
напряжениями 100kV, 400kV. Какую ошибку
вносит отсутствие релятивистских
поправок.
h
l
lклассик
2meE
l

h
2meE 1  eE 2mc 2


12, 26
12, 26    l 
A

рел

A
 
6
E

1

0,9788

10
 E  

E  

12, 26
l
 0, 039  A 
100000
 
100 kV
lрел 
12, 26
105  1  0,9788 106 105 

 0,037  A 
 
E (kV)
l (Å)
lрел (Å)
E=100kV
l=0.039Å
lрел=0.037Å
E=400kV
l=0,019Å
lрел=0,0164Å
E=600kV
l=0,016Å
lрел=0,0126Å
Какое разрешение можно получить на
электронном микроскопе с ускоряющим
напряжением 100kV, если учесть
дифракционную ошибку и сферическую
аберрацию. Угловая апертура
объективной линзы 610-3 рад.
Коэффициент сферической аберрации
Cs=0,17мм.
r  rd  rs
rd 
r  rd  rs 
0.61

0.61

l
 l  Cs   3 
rs  Cs  
0.61



3
h
2meE 1  eE 2mc 2

 Cs   3 
0, 039
6
2 3
 0, 61
 1, 7 10   2 10   3,965  13, 6 Å
3
6 10
Определить величину ускоряющего
напряжения, начиная с которого разница
длин волн электронов с учетом и без учета
релятивистской поправки будет составлять
15 процентов.
h
l
2meE
12, 26
lкл 
E
lрел 
lрел 

h
2meE 1  eE
2mc 2

12, 26
E 1  0,9788 106 E 
l  lrel
1



100  1 
100

6
l
 1  0,978 10  E 
В результате получим искомое значение
ускоряющего напряжения порядка 150кв,
при котором ошибка составит 15%.