Бьемся об заклад, ты почувствовал, что сведений из сказки

Бьемся об заклад, ты почувствовал, что сведений из сказки
несколько не хватает для того, чтобы утверждать, что ты
отлично знаешь функцию.
С чего начать более глубокое знакомство с функцией?
Какой план изучения составить? Это твое дело.
В помощь тебе мы предлагаем:
понаблюдать диалог между профессором и
учеником об основных понятиях и свойствах
функции;
Тематический словарик.
Вернуться на
главную страницу
Выход из
программы
Тимошка
Т: - А что такое функция? Расскажи!
Профессор
Знайкин
П: Попробую объяснить…Как узнать , делится ли на
натуральное число на 5?
Т: Если число кончается нулем или пятеркой, то оно
делиться на пять.
П: Ну вот, все дело в последней цифре. Обозначим
натуральное число буквой х, а его последнюю цифру
– буквой у. Теперь, если известно число х, то можно
найти число у. Например, если х=12, то чему равно у?
Т: Равно двум.
Тимошка
П: Значит если тебе известно х, то ты можешь
вычислить у. Вместо х можно взять любое
натуральное число. Значит х может изменяться.
Поэтому х называется переменной.
Т: Но если изменяется х, то изменяется и у!
Например, если х = 17, то у=7; а если х=1024, то
у=4. Значит, у – тоже переменная?
Профессор
Знайкин
П: Молодец, так и есть! Но только значение у
зависит от значения х. Поэтому у называют
зависимой переменной, а х – независимой
переменной.
Т: Значит, переменные бывают зависимые
независимые. А в чем разница, не пойму.
и
Тимошка
П: Разница вот в чем. Значение независимой переменной
ты задаешь сам. Например, ты можешь взять х=10. А
значение зависимой переменной у ты можешь найти,
только зная значение х. Если х=10, то у=0.
Т: Ага, у зависит от х.
П: Да, каждому значению переменной х соответствует
некоторое значение у. В этом случае говорят, что задана
функция f и пишут y=f(x).
Профессор
Знайкин
Т: Понятно.
П: Если понятно, то скажи, чему равно f(12)?
Т: По-моему, двум.
П: Да. Теперь ты понял, что такое функция?
Т: Чего же тут не понять! Функция – это последняя цифра
числа.
П: Это только одна из функций. Функций очень много.
Тимошка
Т: Какие еще бывают функции?
П: Давай вспомним, чему равна площадь квадрата.
Т: Давай вспомним! Если сторона квадрата равна а
сантиметров, то его площадь равна а2 сантиметров
квадратных.
П: Вот видишь, если мы знаем длину квадрата , то можем
вычислить его площадь.
Профессор
Знайкин
Т: А можно обозначить длину стороны через х, а площадь
квадрата через у?
П: Конечно, давай так и сделаем. Тогда у опять есть
функция от х. Можно написать у = f(x). А можно написать
у = х2 (где х – сторона квадрата). Эту функцию мы задали
с помощью формулы.
Способ задания функции с помощью формулы
называется аналитическим способом.
Тимошка
Т: Значит, можно написать у = х2, и опять х –
независимая переменная, а у – зависимая.
П: А какие значения может принимать
переменная х?
Т: Любые, какие хочешь.
Профессор
Знайкин
П: Ну, а, например, может быть х = -2?
Т: Ерунда какая-то! Разве длина квадрата может
быть –2?
П: Значит, не любые значения может принимать
переменная х! Какие же?
Т: Наверно, любые, которые больше нуля...
Тимошка
П: Ты прав. И вот, множество всех значений,
которые
может
принимать
независимая
переменная, называется областью определения
функции.
Профессор
Знайкин
Область определения функции f(x) обозначается
D(f). Здесь D – первая буква английского слова
«domain» - «область».
Какая же область определения у нашей функции?
Т: То есть чему может равняться х? Ну, это множество
всех чисел, которые больше нуля.
П: Значит, область определения функции есть множество
всех положительных чисел. Давай рассмотрим еще
множество значений нашей функции.
Тимошка
Т: А что такое множество значений?
П: Посмотрим, чему может равняться у. Вспомним, что
у = х2?
Т: Да любому числу! Хотя нет, ведь у больше нуля. Ну
ясно, у может равняться любому числу больше нуля.
П: Так вот, множество всех значений, которые
Профессор
Знайкин
принимает зависимая переменная, называется
множеством значений функции.
Множество значений функции обозначается через
E(F). Здесь Е – первая буква французского слова
«ensemble», что значит множество.
Т: Длинное какое название!
Тимошка
П: Так вот, множество значений нашей функции у = х2 –
это множество всех положительных чисел.
Т: Постой, постой …что же получается множество
значений и область определения – одно и тоже.
П: Для некоторых функций – одно и тоже. А для других –
нет. Вспомним первую функцию у=f(x). Здесь у есть
последняя цифра натурального числа х. Какая область
определения у этой функции?
Профессор
Знайкин
Т: Ну, это ясно, х может быть любым натуральным
числом. Значит, область определения здесь – множество
натуральных чисел.
П: Давай рассмотрим множество значений этой функции.
Какие значения может принимать у?
Т: Это же последняя цифра числа. Значит у может
равняться 0,1,2 и так далее, до 9.
П: Мы видим, что для этой функции множество значений
и область определения различны.
Тимошка
Т: Скажи, а как можно задавать еще функцию?
П: Можно задавать с помощью таблицы. Например,
тренер составил для спортсмена задание. Вот такое:
Дни недели
Число приседаний за тренировку
Пн
Вт
Ср
Чт
Пт
Сб
Вс
120
120
130
140
150
140
130
По этой таблице, зная день недели, можно найти число
приседаний за тренировку.
Профессор
Знайкин
Т: Понял, понял! В понедельник надо присесть 120 раз, во
вторник – 120, ну и так далее.
П: Верно. А какая у этой функции область определения и
какое множество значений?
Т: Странно как-то получается…х может равняться
понедельнику, вторнику, ну, и так далее до воскресенья.
П: Молодец, область определения D(f)={Пн, Вт, Ср, Чт,
Пт, Сб, Вс}.
А какое множество значений?. Чему может равняться у?
Тимошка
Т: Это-то понятно, у может принимать значения 120, 130,
140, 150. Вот это и есть множество значений функции.
Е(f)={120, 130, 140, 150}
П: Есть еще один способ задания функции. Но прежде
поговорим о числовых функциях.
Профессор
Знайкин
Если функция определена на некотором
множестве чисел и принимает числовые
значения, то такую функцию будем называть
числовой функцией.
Например, функция у=х2 (площадь квадрата со
стороной х) – числовая функция. Числовую функцию
очень удобно задавать с помощью графика.
Т: А это еще что такое?
П: График функции можно назвать ее портретом. Сейчас
мы с тобой и построим ее портрет.
Тимошка
П: Построим сначала систем координат х0у. Теперь будем
делать так. Берем некоторое значение х из области
определения функции, например х  1 , вычисляем у  1
2
4
Затем отмечаем на плоскости точку с координатами (х;у),
1; 1
 . Так мы получим точки (1;1), (1,5;2,25),
то есть , 
 2 4
(2,4), и т.д. Отметим все эти точки на плоскости.
Т: Сколько же точек надо нанести на плоскость?
Профессор
Знайкин
П: Надо бы нанести все точки (х;у), где у=f(х), а х
пробегает всю область определения.
Т: Разве это можно сделать? Ведь этих точек бесконечно
много!
П: Конечно, невозможно! Но давай отметим побольше
точек и соединим их плавной кривой.
у
Тимошка
П: Вот эта кривая и будет
изображать график функции
у=f(х).
6
Т: А что же называется
графиком?
3
5
у= х2
4
(х  0)
2
1
0
Профессор
Знайкин
1
2
3
4
х
П: Графиком числовой функции f называется
множество точек плоскости (х;у), где х
принимает всевозможные значения из области
определения функции, а у=f(х).
Тимошка
Т: Давай построим график нашей первой функции
у=f(х), где у – последняя цифра натурального числа х.
П: Давай построим. Отметим на плоскости точки: (1;1),
(2;2),…,(11;1), (12;2) и т.д.
Т: Теперь их надо соединить плавной чертой?
Профессор
Знайкин
П: Видишь ли, здесь независимая переменная х может
равняться только числам 0, 1, 2, 3,…, и не принимает
никаких других значений. Поэтому график состоит из
отдельных точек, не образующих никакой кривой.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Тимошка
Т: Смотри, как интересно получается! Значения
функции повторяются через каждые десять значений.
П: В самом деле получатся так, что у(х+10)=у(х) для
для всех х. Эта функция – пример периодической
функции.
Т: А что такое периодическая функция?
П: Пусть f(x) – числовая функция и Т –
Профессор
Знайкин
некоторое число. Если для каждого х из
области определения функции числа х  Т
также принадлежит области определения, и
f(x T)=f(x), то функция f(x) называется
периодической; число Т называется ее
периодом.
Тимошка
Т: Ясно. Наша функция f(х) – периодическая, и ее
период Т равен 10.
П: Понятно, что график периодической функции
состоит из повторяющихся частей, сдвинутых по оси Ох
на величину периода Т.
Т: А что еще можно узнать о функции?
П: Скажи при каких значениях х значение функции
равно нулю?
Профессор
Знайкин
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
Т: Это будет х=10 и х=20, и еще х=30и так далее.
Тимошка
П: Где на графике расположена точка х=10?
Т: Точка лежит на оси 0х. Значит при х=10 значение
функции равно 0.
П: Молодец! Такие значения тоже имеют свое
название. Они называются нулями функции.
Профессор
Знайкин
Обрати внимание: когда мы работаем с функцией,
всегда надо знать ее область определения. Полезно
бывает еще найти нули функции.
Т: Нули? Их что, много? Я думал, что нуль только
один.
П: Число нуль, конечно, только одно. Но здесь речь о
нулях функции.
Рассмотрим функцию у = х – 2. Как найти значения х,
при которых у = 0.
Тимошка
Т: Надо решить уравнение х – 2=0; х=2 .
Ответ: f(х)=0 при х = 2
П: Это-то значение х=2 называют нулем функции f(х).
Вообще, если значение х = а принадлежит области
определения функции f(х) и f(a) = 0, то а
называется нулем функции f(x).
Профессор П: Да, нули функции позволяют найти точки пересечения
графика функции с осью Ох. Это весьма полезно при
Знайкин построении графика.
Т: А как искать точки пересечения графика с осью 0у?
П: Подумай.
Т: Так, если точка графика лежит на оси 0у, то абсцисса этой
точки равна нулю, то есть х = 0. Но тогда у= f(0). Значит, на
оси 0у расположена точка графика (0;f(0)).
Тимошка
Профессор
Знайкин
П:
Ну вот и все. Мы пока прервем наш разговор о
свойствах функции, хотя многое из этой темы мы еще
даже не затронули. Я думаю мы еще встретимся, может
быть в следующем классе. А сейчас давай пожелаем чтонибудь нашим читателям.
Т: Конечно, пожелаем. Прежде всего спасибо, что
дочитали наш диалог. Мы будем рады если чем-то
помогли вам. Раньше я сам считал, что изучение функции
очень скучное занятие, но когда повнимательнее
разобрался, это даже очень интересно. Спасибо и вам
профессор.
П: Пожалуйста! Ну что ж до скорых встреч. А если ты
еще что-то не понял, спроси у своего учителя, и он тебе
обязательно объяснит.
Вернуться на
главную страницу
Выход из
программы