Импульсное представление

1.5. Потенциальная яма в
импульсном представлении
Импульсное представление.
Распределение по импульсам.
Возврат в координатное представление
Импульсное представление
 Спектр квантовой задачи является инвариантом, не зависящим от выбора
базиса
 Импульсное представление – фурье-преобразование координатного
пространства
 Базис в импульсном представлении
 L – ширина ямы или ширина области, в которой локализован потенциал
или волновые функции частицы
 Формально базис при построении гамильтоновой матрицы можно
представить в виде
 Единица означает, что соответствующая базисная функция описывает
состояние частицы
с импульсом k
Точное решение задачи
 Известно аналитическое решение этой задачи:
0
-2
-4
U(x)
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
Решение в координатном
представлении
 Решение задачи в координатном представлении (случай конечной ямы):
1.2
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
| (x)|2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
Решение в импульсном
представлении
 Для решения задачи в импульсном представлении следует записать
гамильтониан в терминах импульсного базиса
 Кинетическая энергия диагональна в импульсном представлении:
 Слагаемое, отвечающее потенциальной энергии частицы, недиагонально:
 Результат расчета практически не изменится, если последнее выражение
рассчитать аналитически:
Решение в импульсном
представлении
 Гамильтонова матрица в импульсном представлении:
 Матрица является плотной
 Результатом диагонализации будут собственные значения, являющиеся
спектром системы, и собственные функции, отвечающие этим
собственным значениям, которые теперь будут зависеть не от координаты,
а от импульса частицы
 Значения импульса меняются от – π/h до π/h с шагом π/a
Распределение по импульсам
 Спектр системы не зависит от представления, в котором построена
гамильтонова матрица. Решение задачи в импульсном представлении:
 Собственные функции зависят от представления, в котором построена
гамильтонова матрица. После диагонализации матрицы будут получены
собственные функции в импульсном представлении.
Распределение по импульсам
n=1
n=2
n=3
n=4
0.25
| (p)|2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
p
2
4
6
Возврат в координатное
представление
 Чтобы получить из собственных функций в импульсном представлении
собственные функции в координатном представлении, необходимо
выполнить обратное фурье-преобразование:
 Для четных собственных функций:
 Для нечетных собственных функций:
Возврат в координатное
представление
1.2
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
| (x)|2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4