производная в экономике».

Использование понятия производной в
экономике.
Рассмотрим
функциональную
зависимость
издержек производства о количества выпускаемой
продукции.
Обозначим:
x - количество выпускаемой продукции;
y - издержки производства.
Тогда
x - прирост продукции;
y - приращение издержек производства.
y
x
Отношение
издержек производства.
определяет среднее приращение
Производная
выражает
предельные
издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные
затраты на производство единицы дополнительной
продукции.
y
y  lim
x  0 x
Предельные издержки зависят от уровня производства
(количества выпускаемой продукции) и определяются не
постоянными производственными затратами, а лишь
переменными (на сырье, топливо и т.п.).
Производная
скорость
изменения
некоторого
экономического объекта (процесса) по времени или
относительного другого исследуемого фактора.
Рассмотрим в качестве примера соотношения между
средним и предельным доходом в условиях монопольного и
конкурентного рынков.
Обозначим:
r - суммарный доход от реализации продукции;
p - цена единицы продукции;
q - количество продукции.
Тогда
В условия монопольного рынка, цена контролируется
одной или несколькими фирмами и с увеличением цены
спрос падает.
r  pq
С увеличением цены спрос на продукцию падает по
линейному закону:
p q - кривая спроса линейно убывающая функция;
 
p  aq  b
Суммарный доход от реализованной продукции
r   aq  b  q  aq  bq
2
Средний доход на единицу продукции;
r
rср   aq  b
q
Предельный (дополнительный)
дополнительной продукции.

доход
rq  2aq  b
от
реализации
В условиях монопольного рынка с ростом количества
реализованной продукции предельный доход снижается, что
приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего
дохода.
В условиях совершенной конкуренции, когда число
участников рынка велико, и каждая фирма не способна
контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров
возможна по преобладающей рыночной цене.
Тогда
p  b - рыночная цена;
r  bq - суммарный доход;
r
rср   b - средний доход;
q
rq  b - предельный доход.
Для исследования экономических процессов используют
понятие эластичности функции.
Эластичностью функции называется предел отношения
относительного приращения функции к относительному
приращению переменной при стремлении последнего к нулю.
 y x  x
y x
Ex  y   lim 
:   lim
  y
x 0
 y x  y x0 x y
Эластичность функции показывает приближенно, на
сколько процентов изменится функция
при изменении
независимой переменной на один процент.
.
Эластичность функции применяется при анализе спроса и
потребления.
Например, как коэффициент, определяющий насколько
процентов изменится спрос, при изменении цены на один
процент.
Ex ( y )  1 - спрос эластичный;
Ex ( y )  1 - спрос неэластичный:
Ex ( y )  1 - спрос с единичной эластичностью.
Рассмотрим влияние эластичности спроса относительно
цены на суммарный доход.
Предположим, что кривая спроса имеет произвольный вид,
тогда предельный доход равен:
 q 



rq   pq q  pq  q  p 1  p 1  pq   p 1  Eq  p  
p


Учитывая что
получим
Eq  p  
1
Ep q

1

rq  p 1 

E
q


p





Если спрос неэластичен, предельный доход отрицателен
при любой цене; если спрос эластичен, то предельный доход
положителен.
Для неэластичного спроса изменение цены и предельного
дохода происходят в одном направлении, а для эластичного
спроса – в разных.
С возрастанием цены для продукции эластичного спроса
суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а
для товаров неэластичного спроса – уменьшается.
Задача.
Объем продукции, произведенный бригадой рабочих,
может быть описан уравнением:
5 3 15 2
u   t  t  100t  50
6
2
Вычислить производительность труда
через час после
начала работы и за час до ее окончания.
Производительность труда равна производной функции,
определяющей объем продукции
5
z (t )  u(t )   t 2  15t  100
2
Скорость изменения производительности равна:
z '(t )  5t  15
Темп изменения производительности равен:
z '(t )
5t  15
2t  6

 2
Tz (t )  [ln z (t )]' Tz  t  
z (t )  5 t 2  15t  100 t  6t  40
2
Определив производительность в разное время рабочего
дня, можно сделать вывод о снижении или увеличении
объемов производства.
Изменение знака скорости производительности и темпа
изменения
производительности
позволяет
провести
следующие расчеты:
- определить время начала снижения производительности и
соответственно время снижения объема выпускаемой
продукции;
- определить время наибольшей производительности (max);
- определить время наименьшей производительности (min).
Задача.
Зависимость между издержками производства и объемом
выпускаемой продукции задается функцией:
y  bx  ax
т
Определить средние и предельные издержки при объеме
продукции n ед.
Решение.
Функция средних издержек на единицу продукции при
x = n равна
bn  a (n) m
yср. (n) 
n
Функция предельных издержек при x = n издержек равна
y( x)  b  amx
m1
y(n)  b  amnm1
Дополнительные затраты на производство дополнительной
единицы продукции при данном объеме производства
определяю по формуле
yср. (n)  y(n)
Задача. Зависимость между издержками производства и
объемом выпускаемой продукции выражается функцией
(ден. ед.).
y  50 x  0,05 x3
Определить средние и предельные издержки при объеме
продукции 10 ед.
Решение. Функция средних издержек (на единицу
продукции) выражается отношением
2
y
y
(10)

5

0,05

10
 45
2
ср .
yср.   50  0,05 x
x
Функция предельных издержек выражается производной;
y( x)  50  0,15x 2
Предельные издержки при х = 10 составят
y(10)  50  0,15 102  35
Дополнительные
затраты
на
производство
дополнительной единицы продукции при данном объеме
производства равны 45 – 35 =10.
Задача.
Считая
известным
зависимость
между
себестоимостью продукции и выпуском продукции,
определить эластичность себестоимости.
Решение. Зависимость себестоимости продукции от
выпуска продукции как правило носит линейный характер
y  ax  b
Эластичность определяется по формуле
x
Ex ( y )   y
y
x
Ex ( y ) 
a
ax  b
Определяют эластичность при заданном объеме выпуска
продукции x = n (руб.).
Ex n ( y )  d
Увеличение выпуска продукции на 1% приведет к
увеличению (снижению) себестоимости на
Ex n ( y )  d %
Задача. Зависимость между себестоимостью единицы
продукции (тыс. руб.) и выпуском продукции (млн. руб.)
выражается функцией. y  0,5 x  80
Найти эластичность
себестоимости
при выпуске
продукции, равном 60 млн. руб.
x
0,5 x
x
Ex60 ( y )  0,6

Ex ( y )    y  

y
0,5 x  80 x  160
При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение
выпуска на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.
Замечание. Увеличение выпуска продукции на 1%
приведет к увеличению себестоимости при Ex ( y )  0 и к
снижению себестоимости при Ex ( y )  0 на Exn ( y )  d %
Задача.
Опытным путем установлены функции спроса
предложения:
p 8
q
s  p  0,5
p2
где q - количество покупаемого товара;
s – количество продаваемого товара.
Определена равновесная цена р = 2.
Найти эластичность спроса и предложения
равновесной цены.
Эластичность по спросу определяется по формуле
p
E p ( q )  q
q
и
для
Эластичность по предложению определяется по формуле
p
E p ( s )  s
s
Для данной задачи
p  p  8  p( p  2) ( p  8)( p  2)  ( p  2)( p  8)

E p (q) 

2


p 8  p  2
( p  8)
( p  2)
p2
p( p  2  p  8)
6p
E p2 (q)  0,3


( p  8)( p  2)
( p  8)( p  2)
2p
E p ( s) 
2 p 1
E p2 ( s)  0,8
Полученные значения эластичности по абсолютной
величине меньше 1.
Следовательно, спрос и предложение данного товара при
равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно
цены.
Это означает, что изменение цены не приведет к резкому
изменению спроса и предложения.
При увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3%
(эластичность по спросу отрицательна), а предложение
увеличится на 0,8% (эластичность по предложению
положительна).
Задача. Производитель реализует свою продукцию по
цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической
зависимостью
S ( x)  ax   x3
(a  p,   0)
Найти оптимальный для производителя объем выпуска
продукции и соответствующую ему прибыль.
Решение.
Обозначают х – объем выпускаемой продукции; рх –
доход от реализуемой продукции.
3
C
(
x
)

px

(
ax


x
)
1. Составляют функцию прибыли
2. Находят
C( x)  ( p  a)  3 x 2  0
3. Определяют значения
производная обращается в ноль
x1 
аргумента
при
которых
pa
pa
x2  
не рассматривается по смыслу задачи
3
3
4. Находят вторую производную C ( x)  6 x
5. Определяют знак второй производной в критической
точке

pa 
C   x1 

3 

Если вторая производная в
отрицательна, то это точка максимума
C ( x)  0 прибыль максимальна при
Если вторая производная в
положительна, то это точка минимума
C ( x)  0 прибыль минимальна при
критической
x
pa
3
критической
x
pa 

3 
точке
pa
3
5. Находят максимум (минимум) функции,
максимальный (минимальный) размер прибыли

Cmax  x 

точке
т.е.
Задача. Капитал в 1 млн. рублей может быть размещен в
банке под 50% годовых или инвестирован в производство,
причем эффективность вложения ожидается в размере 100%,
а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль
облагается налогом в р%.
При каких значениях р вложение в производство является
более эффективным, нежели чистое размещение капитала в
банке?
Решение.
Обозначим х - (млн. руб.) инвестируется в производство,
а ( 1-х ) - размещается под проценты.
Тогда размещенный капитал через год станет равным
50  3 3

(1  x) 1 
  x
 100  2 2
Капитал, вложенный в производство через год станет
равным
 100 
x 1 
  2x
 100 
2
Издержки  x (  1)
Прибыль от вложения в производство C  2 x   x 2
p
Налоги составят (2 x   x )
100
2
Чистая прибыль равна
p 

2
1

(2
x


x
)


 100 
Из условия равенства нулю первой производной, найдем
значение критической точки
p  3

2 1 

100  2
x0  
p 

2 1 

 100 
Найдем вторую производную
p 

A ''  x   2 1 
0
 100 
Согласно второму достаточному условию экстремума если
вторая производная отрицательна, то х0 точка максимума.
Общая сумма через год составит:
3 3
p 

2
 x  1 
(2
x


x
)

2 2
 100 
3  
p  3
p  2

   2 1 
   x   1 
x
2   100  2 
 100 
Для определения наиболее эффективного вложения
капитала, необходимо исследовать полученную зависимость
на экстремум, то есть найти максимальное значение этой
функции на отрезке [0, 1].
A( x) 
p  3
p 


A '( x)  2 1 
   2 1 
x
 100  2
 100 
A '( x)  0
Значение х0 принадлежит отрезку [0, 1]
p  3

2 1 

100  2

0
1
p 

2 1 

100


p  3
p 


0  2 1 
   2 1 

 100  2
 100 
из этого неравенства p  25
Таким образом, если прибыль облагается налогом р > 25%,
то выгоднее ничего не вкладывать в производство и
разместить весь капитал в банк.
Если p < 25%, то можно показать, что при x = x0
2
 
p  3
2 1 
 

3
3
 100  2 
A  x0    
  A0
p 
2
2

4 1 

100


Следовательно, вложение в производство является более
выгодным, чем чистое размещение под проценты.