Функция многих переменных

[ определение – геометрическое представление для функции двух переменных – способы задания функций –
классификация множеств R(n) – предел функции - непрерывность – теоремы о непрерывных функциях - примеры ]
Функция или отображение – это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающих
следующими свойствами :
f  X Y (x, y)  f, (x , y )  f , x  x   y  y . x  X y Y : ( x , y )  f .
Корте́ж – последовательность конечного числа элементов – упорядоченная пара.
Прямое или декартово произведение множеств - множество, элементами которого являются
все возможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств.
Функция одного переменного – отображение множества X на множество Y :
.
y  f ( x ), x  X , y  Y
X - область определения функции f,
Yf  { y : y  f ( x ), x  X }  Y - область значений функции f .
y  1  x 2 , D : x  1, yf  [ 0 ;1]
Пусть даны множества X1, X2, …., Xn и множество Y , тогда упорядоченное
множество всех кортежей
f  {( x1 , x 2 ,..., x n , y )}
называется функцией n переменных тогда и только тогда, когда для любых
( x1, x 2 ,..., x n , y  )  f из ( x1, x 2,..., x n, y  )  f
следует, что x n  x n,  x  [ 1, n ] . Z
и
y   y 
Функцией n переменных называется отображение множества E пространства R(n)
на множество действительных чисел.
(n)
y
y  f ( x1 , x 2 ,..., xn )  f ( P ), P  ( x1 , x 2 ,..., xn )  E  R
.
E – область определения функции.
z  1 x2  y2, E : x2  y2 1
R 1
E
x
Функция двух переменных Z = f(x,y) определяется на множестве E
пространства R (2)
z
z  f ( x , y )  f ( P ), P  ( x , y )  E  R ( 2 ) .
Графиком функция двух переменных z = f(x,y)
называется совокупность всех точек (x,y,z),
получающихся для всех точек (x,y)
на множества E .
x
z  1x  y , E : x  y 1
z(x,y)
O
y
P
( x; y )
E
Явный способ задания функции z  1  x  y , E : x  y  1
Параметрический способ задания функции
x(u, v), y(u, v), z(u, v)  e
u 2 v 2

2
z
sin(
1
1 u v
2
y
y
Неявный способ задания функции 4 x 2  4 y 2  4 z 2  16 xyz  4
2
)
Построение линий уровня z  f(x, y)  f ( x , y )  const
y
z  x2 y2
0
12
22
32
 x2
 x2
 x2
 x2
y2
y2
y2
y2
z 2  y 2  02
z 2  y 2  12
z 2  y 2  22
o
x
z
z2  x2  y2
y
y
o
f ( x ,y )  a
f ( x ,y )  b
f ( x ,y )  c
z
x
Точка Po называется точкой прикосновения множества E  R ( n ), если
всякая окрестность точки Po содержит хотя бы одну точку множества E.
Множество E  R ( n ) называется замкнутым, если оно содержит все свои
точки соприкосновения.
Точка Po называется внутренней точкой множества E  R ( n ) , если
существует окрестность точки Po , все точки которой принадлежат
множеству E .
y
o
E : x 2  y 2  4 , (x, y)  R (2) все точки множества E – точки
прикосновения, внутренних точек нет.
x
E : x 2  y 2  4 , (x, y)  R (2) все точки E – внутренние.
E : x 2  y 2  4 , z  0, (x, y, z)  R (3)
Внутренних точек нет, все точки E – граничные.
Множество E  R ( n ) называется открытым, если оно состоит только из
внутренних точек.
Множество E  R ( n ) называется связным, если любые две его точки можно
соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат E .
Областью называется связное и открытое множество.
Если множество точек, дополнительных к области, связно, то область
называется односвязной. Если дополнительное множество несвязно, то
область называется многосвязной.
Односторонние поверхности
Многосвязная область
Односвязная область
Точка называется граничной для множества E , если в любой ее окрестности
есть точки принадлежащие как множеству E , и не принадлежащие ему.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью.
Число A называется пределом функции f(P) в точке Po по множеству E,
если для любого e > 0 существует d > 0 , такое, что из неравенства
 ( P , P0 )  d , P  E следует неравенство f ( P )  A  e .
lim
P  P0 P E
f( P )  A
Предел суммы, произведения, частного двух или нескольких функций равен
сумме, произведению, частному пределов этих функций. В последнем
случае предел знаменателя не должен быть равным нулю.
Если точка P0  E и предел функции f(P) в точке Po по множеству E
существует, то функция f(P) называется непрерывной в точке Po по
множеству E , lim f(P) = f(P).
Функция f(P) непрерывная в каждой точке множества E , непрерывна на
множестве E .
@
Найти предел функции f(P) ,
когда P стремится к нулю.
x 2y
f( P )  f( x ,y )  4
x y2
Решение
Выберем путь - луч y  kx , k  0 , k  
x 3k
xk
f ( x , kx )  4


x  k 2x 2
x2 k2
!
xk
0
2
2
x 0 x
k
lim
Ищем теперь частичный предел по пути вдоль кривой
x4
1
f ( x ,x )  4

x x4
2
2
y  x2
x4
1
 lim 4

x 0 x
x4
2
Предела функции во всей области существования нет.
@
Найти предел функции f(P),
когда P стремится к началу координат
x 2y
f( x ,y )  2
x y2
Решение
x 2 y  x xy  x ( x 2  y 2 )

x 2y
 x
x2 y2

lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x 2y
 lim x  0
2
2
x 0
x y
Предел функции равен нулю.
Теорема Вейерштрасса
Если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве E  R ( n )
то она принимает на этом множестве как самое большое, так и самое малое
значение.
Теорема Кантора
Функция, непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве E ,
равномерно непрерывна на нем.
Теорема Больцано – Коши
Функция, непрерывная на связном множестве, принимает вместе с двумя
значениями и все промежуточные.
В сложной функции число основных и промежуточных аргументов может
быть различно. Непрерывность сложной функции определяется
непрерывностью промежуточных аргументов.
f ( u ,v ), u  u ( x ), v  v ( x )  f ( x )
f ( u ), u  u ( x , y , z )