Smirnov_Zdorovenin

Построение
безрисковой бескупонной кривой
доходности и кредитных спредов
для российского рынка
Смирнов С.Н., Здоровенин В.В.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
1
Часть I
Проблема определения бескупонной
кривой
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
2
Постановка задачи
На основании данных о ценах на рынке облигаций
построить гладкую аппроксимацию
функции
дисконтирования такую, чтобы наблюдаемая цена Pk
была для каждой облигации была близка к
приведенной стоимости:
где d(t) – коэффициент дисконтирования на срок t,
Fi,k потоки платежей по купонной облигации k.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
3
Способы построения кривых
бескупонной доходности
• Статический подход – динамический
подход
• Параметрические- непараметрические
методы
• По однородной группе облигаций – по
группе облигаций разного кредитного
качества
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
4
Различные способы
• Статические методы – приближение кривой
доходности
–
Параметрические методы (Нельсона-Зигеля,
Свенсона)
– Непараметрические методы (Васичека-Фонга,
синусоидально-экспоненциальные сплайны)
• Динамические методы
– 3-факторная модель Васичека с оценкой параметров
фильтром Калмана.
– Общая афинная модель временно́й структуры.
– Подход, основанный на непосредственной эволюции
цен.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
5
Стохастические модели временно́й
структуры
• Стандартный подход – моделирование динамики
краткосрочной процентной ставки или форвардных ставок.
• Цены могут быть представлены в виде риск-нейтрального
математического ожидания:
- интенсивность
дефолтов
- Потери при
дефолте
- премия за
ликвидность
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
6
Параметрические методы
Свенсона ( 6 параметров)
Предполагается, что мгновенная форвардная процентная ставка имеет
следующий вид:
Нельсона-Зигеля (4 параметра) - частный случай
модели Свенсона с
Предположение о конкретной форме кривой
произвольно и экономически не обосновано
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
7
Непараметрические методы
•
•
•
•
•
Обычно – сплайны
Большая гибкость и точность
Большая чувствительность
Возможность контроля гладкости
Предлагаемый нами метод –разновидность
сплайнов,
– гарантирующая нужные свойства функции
дисконтирования
– Позволяющий учитывать ликвидность для
контроля точности
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
8
Свойства функции дисконтирования
Традиционные методы подгонки» кривых
доходности не обеспечивают естественные с
экономической точки зрения свойства:
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
9
Требования к модели
• Убывание и положительность функции
дисконтирования
• Достаточная точность приближения
• Достаточная гладкость кривой
• Сопоставимость невязки с «точностью
измерения» - типичным размером бид-аск
спрэда
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
10
Постановка математической
задачи
Связь между процентными ставками и функцией
дисконтирования (непрерывное начисление процентов):
Решение ищется в в виде:
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
11
Многокритериальная
оптимизация
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
12
Общий вид решения на
временных интервалах
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
13
Часть II
Новый стандарт EFFAS-EBC
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
14
Настоящая методология
• Была обсуждена в EFFAS-EBC Methods &
Measures Committee во время заседаний в
Амстердаме (июнь 2004), Цюрихе (октябрь
2004), Париже (октябрь 2005), Будапеште
(июнь 2006) и принята на пленарном
заседании EFFAS-EBC в Будапеште (июнь
2006)
• Была подготовлена
–
–
–
–
–
–
Сергеем Смирновым, членом EBC;
Алексеем Захаровым;
Романом Рачковым;
Виктором Лапшиным;
Владимиром Здоровениным;
Степаном Евстратовым.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
15
Назначение стандарта
• Разработка стандартизованных правил построения
безрисковой бескупонной кривой доходности и
вычисления кредитных спредов на основании
данных рынка облигаций (цены, заявки, bid-ask
спреды, объёмы сделок и т.д.) для государственных
бумаг (средне- и долгосрочных), номинированных в
Евро.
• Безрисковая бескупонная кривая доходности даёт
базу для точной оценки приведенной стоимости
потоков платежей, что особенно важно для
приложений финансовой инженерии и рискменеджмента.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
16
Основные трудности
• Долларовая безрисковая бескупонная кривая
доходности гораздо более проста в построении, т.к.
все государственные облигации США имеют один
кредитный рейтинг (хотя ликвидность может
разниться).
• Главная трудность в нашем случае – бумаги, которые
необходимо анализировать имеют разное кредитное
качество.
• На текущий момент не существует общепринятого
стандарта для определения безрисковой бескупонной
кривой доходности для зоны Евро.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
17
Эмитенты государственных
облигаций, номинированных в Евро
• Облигации, номинированные в Евро, выпускают 12
стран: Австрия, Бельгия, Германия, Греция,
Ирландия, Испания, Италия, Люксембург,
Нидерланды, Португалия, Финляндия и Франция.
• Количество бумаг варьируется от одной
(Люксембург) и трёх (Ирландия) до порядка
пятидесяти (Германия и Италия). Основные эмитенты
– Италия, Франция и Германия. Кредитное качество
эмитентов сильно разнится, равно как и ликвидность
бумаг.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
18
Рыночные доли (на июль 2005)
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
19
Соглашение: непрерывное
начисление процентов.
• Стандарт использует непрерывное начисление процентов
для связи функции дисконтирования и доходностью
спот: d(t) = exp(-t r(t)), где d(t) – функция дисконтирования,
а r(t) – мгновенная процентная ставка на срок t.
– Это обычное соглашение для оценки производных
финансовых инструментов, основанной на моделях с
непрерывным временем.
– В этом случае дюрация с точностью до знака
определяет относительную чувствительность цены к
параллельным сдвигами бескупонной кривой
доходности, и это выражение чувствительности
инвариантно относительно формы кривой
доходности.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
20
Передовой опыт в определении
кредитных спредов
• Процедура вычисления кредитных спредов
«независимо от кредитной модели» основывается на
известной бескупонной кривой доходности:
Чтобы найти кредитный спред эмитента,
необходимо выбрать параллельный сдвиг
безрисковой бескупонной кривой доходности,
который бы наилучшим образом согласовывался с
известными ценами на бумаги этого эмитента.
• Очевидная точка отсчёта для рынка долларовых
бумаг – рынок U.S. Treasuries. Таким образом, не
возникает проблем связанных с определением
соответствующих кривых доходности.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
21
Ограничения
• Этот подход может быть использован только
для безотзывных облигаций.
• Он также игнорирует эффект премии за
ликвидность
и
временну́ю
структуру
кредитных спредов.
• Несмотря на это, он предлагает достаточно
хорошее приближение для определения
кредитных спредов, особенно в сочетании с
методикой учёта временно́й структуры
кредитных спредов, предлагаемой ниже.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
22
Относительная безрисковая
бескупонная кривая доходности
Основная идея – использовать текущий
передовой опыт определения кредитных спредов,
обсуждённый выше, для построения безрисковой
бескупонной кривой доходности путём решения
обратной задачи.
• Это означает, что мы должны выбрать безрисковую
бескупонную кривую доходности так, чтобы
кредитные спреды, вычисленный относительно этой
кривой, давали бы наибольшую точность.
• Эта задача имеет неединственное решение, и
соответствующая кривая определена с точностью до
аддитивной константы (сдвига). Мы назовём её
относительной безрисковой бескупонной кривой
доходности
•
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
23
Улучшение
• Мы можем улучшить предложенный метод путём
учёта временно́й структуры кредитных спредов.
Чтобы захватить этот эффект второго порядка, нужно
ввести дополнительный параметр, такой как
(постоянный) наклон, индивидуальный для каждого
эмитента. В этом случае относительная безрисковая
бескупонная кривая доходности будет определяться
с точностью до двух параметров: сдвига и наклона.
• На практике не очень разумно удваивать количество
оцениваемых параметров. Дополнительный
параметр наклона может быть введён лишь для тех
эмитентов, которые показывают систематически
непостоянные во времени кредитные спреды.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
24
Кривые доходности для Германии,
18.11.2002
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
25
Кривые доходности для Греции,
18.11.2002
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
26
Абсолютная безрисковая
бескупонная кривая доходности
Чтобы построить абсолютную
безрисковую бескупонную кривую
доходности, необходима дополнительная
процедура (и, возможно, дополнительные
данные) определения сдвига (и, в случае
расширенной модели, наклона)
относительной кривой.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
27
Применимость данных
Euribor Swap Rate
• Эмпирические исследования показывают, что
своп-кривые не могут быть непосредственно
использованы для определения сдвига кривой
доходности. Своп-кривые могут быть
расположены над кривой доходности для
отдельных эмитентов.
• Это наталкивает на заключение о том, что оценка
сдвига безрисковой бескупонной кривой
доходности должна быть основана
исключительно на данных рынка облигаций,
чтобы исключить шум от инородных данных.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
28
«Наивный» подход
• Наиболее примитивный подход, выглядящий вполне
естественно, состоит в том, чтобы определить как
безрисковую кривую лежащую ниже остальных
кривую доходности отдельного эмитента
(полученную параллельным сдвигом относительной
бескупонной кривой доходности).
• Достоинство этого подхода – в его «независимости от
модели».
• Недостаток же в том, что уровень определяемой
кривой может быть слишком изменчивым в периоды,
когда лидер (эмитент с наинизшим уровнем
индивидуальной кривой) часто меняется. Это
довольно типичная ситуация для рынка облигаций
зоны Евро, так что этот недостаток – весьма
серьёзный повод искать альтернативные подходы.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
29
Средний уровень кривой доходности
После того, как построена относительная
безрисковая бескупонная кривая доходности, мы
выбираем «средний» параметр сдвига следующим
образом:
• Рассматриваем портфель из всех облигаций,
номинированных в Евро, на рынке, где каждая
облигация взята с весом, пропорциональным её
рыночной стоимости. Этот портфель отражает рынок
целиком.
• Затем мы выбираем параметр сдвига так, чтобы
теоретическая рыночная стоимость портфеля,
вычисленная путём дисконтирования всех будущих
потоков платежей, была бы равна его цене,
вычисленной на основании текущих рыночных цен
составляющих бумаг.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
30
Средняя кривая доходности
• Полученная кривая может рассматриваться как
некий индекс, характеризующий уровень
процентных ставок на рынке. Эта кривая в
дальнейшем будет называться «Средней кривой
доходности»
• Эта индексная кривая – обобщение «Average
Gross Redemption Yield», описанного в
Brown P.J. Constructing & calculating bond indices,
a guide to the EFFAS standardized rules, 1994.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
31
Безрисковый уровень доходности
Мы определим безрисковый уровень доходности как
нижнюю границу доверительного интервала для
минимального уровня сдвига индивидуальных
кривых доходности по всем эмитентам в
следующий момент времени (обычно, 1 день) на
заданном уровне доверия (обычно 0.99).
• Оценка этой границы похожа на оценку Value-at-Risk.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
32
Связь безрисковой кривой
доходности и средней кривой
доходности
• (Абсолютная) безрисковая бескупонная кривая
доходности получается из относительной с учётом
безрискового уровня доходности.
• Она предпочтительнее, чем текущая минимальная
кривая доходности, т.к. Позволяет избежать
возможных манипуляций.
• Мы предлагаем моделировать стохастический
процесс эволюции всех спредов относительно
средней кривой доходности, чтобы оценить
безрисковую кривую доходности на заданную дату.
• Мы предлагаем 9-этапный алгоритм для решения
этой задачи.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
33
9-этапный алгоритм
1.
2.
3.
Зафиксировать базовый период (несколько дней до даты,
на которую производятся вычисления). Мы предлагаем 40
торговых дней.
Определить относительную кривую доходности и
индивидуальные спреды для базового периода.
Если имеют место линейные спреды, они должны быть
преобразованы в постоянные. Например, предлагается
вычислить их в точке, соответствующей средней дюрации
всех бумаг эмитента. Или просто отбросить их, если есть
основания полагать, что они достаточно высоки, чтобы не
оказывать влияния на оценку нижней границы.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
34
9-этапный алгоритм
4.
5.
6.
7.
Для каждого дня базового периода вычислить средний
уровень кривой доходности и вычесть его из всех
индивидуальных спредов. Далее все спреды будут
рассматриваться относительно этого базового уровня.
Убрать линейный тренд из временно́го ряда спредов.
В пределах базового периода оценить линейную
факторную модель с тремя факторами.
В результате получится оценка факторов на протяжении
базового периода. Для каждого из этих
(некоррелированных) факторов оценить модель
авторегрессии первого порядка.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
35
9-этапный алгоритм
8.
9.
Предыдущий шаг дал нам распределение значений
факторов в следующий момент времени. Таким образом,
мы можем получить распределение индивидуальных
спредов, используя информацию пунктов 5-6. Путём
моделирования методом Монте-Карло мы можем найти
доверительный интервал для индивидуальных спредов в
следующий момент времени. Доверительная вероятность
может быть оценена экспертным образом. Мы
использовали значения 1% и 5% для практических целей.
Нижняя граница этого доверительного интервала
объявляется безрисковым спредом относительно
индексной кривой, определённой в п.4.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
36
Индивидуальные спреды
относительно индексной кривой
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
37
Безрисковый уровень
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
38
Почему сплайны лучше, чем
параметрическое оценивание
German zero-coupon yield curves (July 28th, 2005)
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
39
Кривые доходности зоны Евро
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
40
Эволюция кривых доходности зоны
Евро
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
41
Возможные применения
• Безрисковые бескупонные кривые доходности
могут вычисляться ежедневно или более часто
такими агентствами, как International Index
Company, публикующими индексы iBoxx.
• Они могут быть точками отсчёта для
профессионального использования. Они также
могут быть полезны в финансовой инженерии,
исследовательских приложениях, размещении
активов и оценке эффективности.
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
42
Универсальность методики
• Подход, разработанный для построения
безрисковой бескупонной кривой доходности в
зоне Евро, может быть использован для
построения безрисковой бескупонной кривой
доходности для отдельной страны, используя
государственные, муниципальные и
корпоративные бумаги.
• В случае низкой ликвидности процедура для
построения кривой доходности должна быть более
тщательной. Мы предлагаем оценивать
недостающие данные (используя исторические
данные) на первом этапе и после этого, - на втором
этапе, - оценивать кривую
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
43
Относительная кривая доходности
спот для швейцарского рынка
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
44
Российский рынок: кредитные
спреды и безрисковый спред
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
45
Стандартизованные правила
EFFAS-EBC
Подробную информацию можно найти в
документе, доступном на сайте Европейской
комиссии по облигациям www.effas-ebc.org
( Раздел “Projects”):
Methodology for Definition of Risk Free ZeroCoupon Yield Curve and Spreads in the
Eurozone, EFFAS-European Bond Commission,
June 2006
Голицино, 20 октября 2007 г.
Кафедра управления рисками и страхования
46