Глава 1 Кинематика §1Система отсчета

Глава 1
Кинематика
§1Система отсчета
Механическое движение – перемещение материальных тел в пространстве.
Материальная точка – тело, размерами которого в данной задаче можно
пренебречь.
Абсолютно твердое тело – тело, не подверженное деформации (рассстояние
м/у любой парой его точек не изменяется в процессе движения).
Любое движение твердого тела сводится к комбинации двух основных видов
движения:
Поступательное – все точки тела движутся с одинаковыми скоростями по
параллельным траекториям
Вращательное – все точки тела вращаются по окружностям вокруг
некоторой оси.
Если ориентация оси вращения изменяется во времени, вращение носит
сложный характер.
Механическое движение относительно – состояние движения (или покоя)
любого физического объекта определяется только по отношению к другим
телам.
Тело отсчета (т.о.) – тело, относительно которого определяется движение
физических объектов (т.о. – условно неподвижно)
Часы– физическое устройство периодического действия, позволяющее
отсчитывать промежутки времени м/у событиями.
Система координат (с.к.)– геометрическая система, позволяющая
определять положение точек посредством задания трех переменных
(координат).
Совокупность тела отсчета и неподвижных относительно него часов и сист.
координат образует систему отсчета (с.о.).
Декартова с.к.
Задаются три взаимно перпендикулярные пространственные оси
z
z
r
x
y
y
x
Положение каждой точки может быть определено радиус-вектором r
(вектор, соединяющий начал координат с точкой) или тремя координатами –
(проекциями радиус – вектора):
r  ix  jy  kz
i , j , k - единичные векторы, ориентированные вдоль координатных осей
x,y,z (координатные орты)
Терминология : точка r - точка, задаваемая радиус вектором r
Правила обращения с векторами
Вектор – отрезок, характеризуещийся величиной и направлением
y
ay
a
ax
x
Величина (длина или модуль) вектора a  a
- длина отрезка.
Проекция вектора на координатную ось – длина отрезка, образованного
основаниями перпендикуляров, опущенных на ось из концов вектора.
Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует острый угол с
положительным направлением оси, отрицательна – если угол тупой и равна
нулю, если угол прямой.
Векторы можно умножать на число и складывать друг с другом.
При умножении вектора на число изменяется его длина.
a
ca (c  0)
Если число c отрицательно, то вектор изменяет направление на
противоположное:
a
ca
(c  0)
При умножении вектора на число каждая из его декартовых проекций
умножается на это число:
ca  icax  jca y  kcaz
Складываются векторы по правилу треугольника или параллелограмма:
a b
b
a
При сложении векторов складываются их одноименные проекции:
a  b  i (ax  bx )  j (a y  by )  k (az  bz )
Предупреждение:
a b  a  b
Векторы складываются по длине только если они параллельны.
Скалярное произведение векторов – число (скаляр), равное произведению
модулей векторов на косинус угла м/у ними:
( a , b )  a  b  a  b  cos 
b

a
a b  0
b

a
a b  0
b
a
a b  0
Скалярное произведение положительно, если векторы составляют острый
угол и отрицательно, если угол – тупой. Скалярное произведение взаимно
перпендикулярных векторов равно нулю.
§2 Кинематика материальной точки
(поступательное движение)
При движении мат. точки изменяется ее радиус- вектор. Если положение м.т.
в каждый момент времени известно, то говорят, что задан кинематический
закон движения:
r  r (t )
Движение точки в трехмерном пространстве закон движения в векторной
форме эквивалентен трем скалярным законам для каждой из координат
точки:
 x  x(t )

r  r (t ) :  y  y (t )
 z  z (t )

В декартовой системе координат скалярное произведение может быть
представлено как сумма произведений одноименных проекций двух
векторов:
a  b  ax bx  a y by  az bz
Длина вектора выражается через его проекции по теореме Пифагора:
a a 
ax2  a y2  az2
Квадрат длины – результат скалярного произведения вектора самого на себя:
a 2  ax2  a y2  az2  a  a
Траектория движения – воображаемая линия, которую описывает точка в
процессе движения.
Перемещение– вектор, соединяющий начальную и конечную точки
траектории.
r  r2  r1  r (t2 )  r (t1 )
Пройденный путь – скалярная положительная величина, равная длине
траектории.
s
t2
2
r
t1
Красная линия – траектория, зеленый
вектор - перемещение.
1
r1
r2
0 - начало координат
Скорость
Отношение перемещения точки к интервалу времени t  t2  t1, в
течение которого это перемещение совершилось, называется средней
скоростью движения:
vср
r

t
Скорость по направлению совпадает с перемещением!
t+Δt
v
vср
t
Если интервал рассматриваемый интервал времени движения Δt уменьшать,
вектор средней скорости может изменяться как по величине, так и по
направлению. При Δt → 0 vср перестает изменяться по величине и занимает
положение касательной к траектории.
Предел отношения перемещения к интервалу времени, в течение которого это
перемещение происходит, называется мгновенной скоростью:
v  lim t 0
r
t
В математике такой предел называют производной – мгновенная скорость
есть производная перемещения по времени.
dr
v 
dt
Величину dr следует рассматривать как бесконечно малое перемещение за
бесконечно малое время:
dr  vdt
Векторное определение скорости эквивалентно трем скалярным:
dx

v

 x
dt

dr 
dy
v 
: v y 
dt 
dt
dz

 vz  dt

x,y,z – переменные координаты точки; dx,dy,dz – проекции вектора
перемещения dr на декартовы оси; vx , v y , vz - проекции скорости.
Модуль скорости определяет путь, проходимый телом в единицу времени:
ds
v v 
dt
ds  vdt - путь, пройденный за время dt
Если скорость не изменяется по величине v  v  const , то движение
является равномерным (за равные промежутки времени тело проходит
одинаковые расстояния)
Если не изменяется направление скорости (или изменяется на противоположное) -движение прямолинейно.
Движение с постоянным вектором скорости является равномерным и
прямолинейным.
Ускорение – скорость изменения скорости:
a 
dv
dt
dv  adt - приращение скорости за время dt
Ускорение отлично от нуля, если скорость изменяется по величине или по
направлению.
Проекция вектора ускорения на направление скорости называется
тангенциальным ускорением, а на направление, перпендикулярное скорости,
- нормальным ускорением.
Примером последнего является центростремительное ускорение.
v
an
a
a
Тангенциальное ускорение a обуславливает изменение модуля скорости :
dv
a 
dt
Если a  0 скорость увеличивается, если a  0 - уменьшается.
Нормальное ускорение a n обуславливает изменение направления движения
и приводит к искривлению траектории.
Траекторию движения тела в достаточно малой окрестности каждой точки
можно заменить (аппроксимировать) дугой окружности с некоторым
радиусом R . Тогда нормальное ускорение становится центростремительным:
v2
an 
R
Радиус окружности, аппроксимирующей траекторию движения вблизи
данной точки называют радиусом кривизны траектории.
v2
R
an
Если траектория движения отличается от окружности или прямой, радиус
кривизны – переменная величина (меняется от точки к точке)
При an  0 скорость не меняет направления – движение прямолинейно.
При a  0 скорость не меняет величины – движение равномерно.
Интегральные соотношения
Мгновенные скорость и ускорение определяют лишь бесконечно малые
приращения координат и скорости. Для определения конечных приращений
кинематических величин необходимо использовать интегральные формулы.
Пусть известен закон изменения скорости во времени:
v  v (t )
Можно определить перемещение на каждом бесконечно малом отрезке
времени
dr  v (t ) dt
Перемещение на конечном отрезке времени t  t2  t1 складывается из
бесконечно малых векторов dr . Такая сумма называется определенным
интегралом:
2
r  r2  r1 
 dr
1

t2
 v (t )dt
t1
В первом случае интегрирование ведется по траектории м/у начальной и
конечной точками 1 и 2, во втором – по времени м/у начальным и конечным
моментами t1 и t2 .
Если v  const (скорость не меняется по величине и направлению), то
r  v t
Аналогично определяется изменение скорости по известному ускорению:
v  v2  v1 
2
t2
1
t1
 dv   a (t )dt
Если a  const , то
v  at
Равнопеременное движение. (движение с постоянным вектором ускорения)
a  const
Пусть v0 - скорость тела в момент времени t=0
За время t  t  0  t
скорость изменится на
v  v (t )  v0  a t  at
Поэтому
v (t )  v0  at
Кинематический закон движения с постоянным ускорением:
at 2
r (t )  r0  v0 t 
2
Равнопеременное движение прямолинейно, если векторы начальной
скорости v0 и ускорения a параллельны или v0 = 0.
Если векторы v0 и a направлены под углом друг к другу, то траектория
движения – парабола, лежащая в плоскости, образованной этими векторами.