Замкнутая система уравнений сохранения для идеальной среды

МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ
СРЕД
1
Численные методы
решения задач механики
сплошных сред
1. Теория упругости и
идеальная среда
Автор курса лекций:
Породнов Борис Трифонович, д. ф.-м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики
УГТУ-УПИ
Екатеринбург 2007
2
Модуль 2
ИДЕАЛЬНАЯ
СРЕДА
2007. Численные методы…Лекция 7
3
Содержание
• Лекция 7. Замкнутая система уравнений сохранения для
идеальной среды. Изоэнтропическое движение.
• Лекция 8. Описание физических явлений на основе
уравнения
Бернулли. Влияние сжимаемости среды.
• Лекция 9. Вихревое движение. Теорема Томсона.
Теорема Гельмгольца.
• Лекция 10. Плоское потенциальное движение несжимаемой
жидкости.
• Лекция 11. Метод суперпозиции потенциальных потоков.
• Лекция 12. Численные методы в механике сплошных
идеальных сред.
• Лекция 13. Применение метода потоков в механике сплошных
идеальных сред.
2007. Численные методы…Лекция 7
4
Лекция 7
Замкнутая система уравнений
сохранения для идеальной среды.
Изоэнтропическое движение.
2007. Численные методы…Лекция 7
5
Цели изучения:
Изучение основных понятий и
определений в идеальной среде и вывод:
1. замкнутой системы уравнений
сохранения для идеальной среды,
2. уравнения стационарного,
потенциального, изоэнтропического движения
идеальной среды в поле силы тяжести.
2007. Численные методы…Лекция 7
6
Содержание
7.1. Уравнения движения для сжимаемой и
несжимаемой идеальной среды.
7.1.1. Замкнутая система уравнений сохранения для
идеальной среды.
7.1.2. Движение несжимаемой среды.
7.1.3. Изоэнтропическое движение.
7.1.4. Граничные и начальные условия.
7.2. Уравнение Бернулли.
7.2.1. Потенциальное движение идеальной среды.
7.2.2. Линии тока и траектории. Трубка тока.
7.2.3. Уравнение Бернулли для линии тока.
7.2.4. Уравнение Бернулли для баротропного движения.
2007. Численные методы…Лекция 7
7
Идеальная среда. Определение
• Под жидкостью понимают как собственно саму жидкость,
так и газ, полагая, что оба эти агрегатных состояния вещества
представляют собой сплошную среду.
• Идеальной средой называют такую среду, у которой
отсутствует вязкое трение ( = 0,  = 0) и теплопроводность
( = 0), а модуль сдвига равен 0 ( = 0). Несмотря на то, что
это весьма идеализированная модель сплошной среды, многие
характерные черты движения сред могут быть изучены при
помощи этой простейшей модели, по крайней мере, вдали от
поверхности обтекаемых тел.
8
7.1.1. Замкнутая система уравнений для
идеальной среды
• В пренебрежении вязкостью для идеальной ньютоновской среды общий
тензор напряжений имеет простой вид (см 6.5.1 и 6.5.2):
(7.1.1)
ik   P   ik .
• Уравнение движения идеальной среды можно записать в виде
i

1 P
(7.1.2)
 k i  
 fi .
t
xk
 xi
• Можно ослабить условие идеальности и полагать, что вязкость среды
настолько мала, что
~ik
P
xk

xi
.
• Однако это условие заведомо не выполняется вблизи поверхности
обтекаемых тел.
9
Эйлеровы уравнения сохранения
• Уравнение (7.1.2) называют уравнением Эйлера, его векторная форма:
υ
1
(7.1.2а)
 (υ)υ   P  f .
t

• Уравнение непрерывности движения сохранит свой вид:

(7.1.2б)
 divυ  0 .
t
i
 k


P
.

• Для ньютоновских сред согласно (6.5.2) можно показать ik x

x
k
k
• Поэтому из (6.1.10) следует уравнение сохранения внутренней энергии
  вн

 υ вн    P  div υ ,
 t


(7.1.3)
• Из уравнения сохранения энтропии (6.1.10) следует физически
очевидный результат:
dS
 0.
(7.1.4)
dt
• Энтропия единицы массы индивидуальной частицы идеальной среды
сохраняется в процессе движения, т.е. S = const.
10
Система уравнений сохранения
•
Система уравнений сохранения для идеальной среды имеет вид:
  k

 0,
t
xk
 i

1 P
k i  
 fi ,
t
xk
 xi
(7.1.5)
  вн
 

  k вн    P k .
xk 
xk
 t
имеется пять уравнений для
 
•
Таким
•
Для замыкания системы уравнений (7.1.5) необходимо добавить
термическое уравнение состояния:
P  f1   , T  .
(7.1.5а)
Внутренняя энергия вн также может быть определена из калорического
 вн  f 2   , T  .
уравнения состояния:
(7.1.5б)
Уравнения (7.1.5, 5а, 5б) называют эйлеровыми уравнениями сохранения
или уравнениями сохранения в приближении Эйлера.
•
•
образом,
нахождения семи
неизвестных искомых функций (если внешние силы заданы): i ,  , P, T ,  вн .
11
7.1.2. Движение несжимаемой среды
• Условием несжимаемости среды, как отмечалось ранее, является уравнение
divυ  0 . В этом случае из уравнения непрерывности (6.3.3) следует, что
dρ/dt = 0, т.е. массовая плотность не зависит ни от координат физического
пространства хi , ни от времени t. Тогда в уравнении Эйлера (7.1.2) плотность
ρ можно внести под знак производной и уравнение записать в векторном виде
P
υ
 υ   υ    f .
(7.1.6)
t
ρ
• Предположим, что внешние силы являются потенциальными, т.е. f  nom .
Воспользуемся известной формулой из векторного анализа вида
υ  υ  1 υ2  υ  rot υ .
(7.1.7)
2
• После подстановки (7.1.7) в уравнение движения (7.1.6) получим:
υ

υ
P
(7.1.8)
 υ  rot υ      ε  .
t
2
ρ


• Применив операцию rot к обеим частям уравнения (7.1.8) и учитывая, что
rot0, имеем:

rot υ  rot υ  rot υ .
(7.1.9)
t
• Данное уравнение называют уравнением Эйлера в форме Громека. Это
уравнение замечательно тем, что оно содержит только вектор скорости.
2
пот
12
Угловая скорость мгновенного поворота
•
Таким образом, в случае течений несжимаемых сред, если массовые
силы являются потенциальными, скорости могут быть найдены независимо
от других параметров течения.
•
При заданных краевых и начальных условиях решение уравнения
(7.1.9) существует и оно единственное, т.е. задача становится чисто
кинематической. Для отыскания других переменных характеристик течения
необходимо, зная
, υвернуться
к исходной форме уравнения
 υr, t 
движения Эйлера (7.1.6). Например, плотность    r, t  может быть найдена
из уравнения непрерывности, а Р — из уравнения движения Эйлера (7.1.6).
•
Если ввести аксиальный вектор  соотношением ω  (1 / 2) rot υ , то
уравнение Громека можно записать в виде
ω
 rot υ  ω.
(7.1.10)
t
• Вектор ω называют вектором угловой скорости мгновенного поворота.
13
7.1.3. Изоэнтропическое движение
•
•
•
•
•
•
Из уравнения (7.1.4) можно записать S  S 0  const , т.е.энтропия не
изменяется ни во времени, ни в физическом пространстве.
Движение среды с постоянным значением энтропии называют
изоэнтропическим.
Используя изоэнтропичность движения, уравнению движения
идеальной среды – второму уравнению в системе (7.1.5) можно придать
другой вид. В соответствии с основным термодинамическим соотношением
(3.3.5) и определением энтальпии единицы массы h = εвр+PV0 её малое
изменение можно записать в виде:
dh  d вн  d ( PV0 )  dQV  PdV0  d ( PV0 )  TdSV0  V0dP  TdSV  dP /  .(7.1.11)
Здесь V0 – удельный объем среды. Для изоэнтропического движения
dS = 0, поэтому из (7.1.11) следует:
h  P /  .
dh = dP/ρ,
(7.1.12)
После подстановки (7.1.12) в (7.1.7) получим уравнение
(7.1.13)
 2

υ
 υ  rot υ   
 h   пот  .
t
 2

Это уравнение называют уравнением Эйлера для изоэнтропического
движения среды.
14
7.1.4. Начальные и граничные условия
• Поскольку идеальная среда не имеет вязкости, то соседние её слои могут
иметь какие угодно скорости. Среда может двигаться вдоль обтекаемой
твёрдой поверхности с любой скоростью. Единственным физическим
ограничением для скорости среды, обтекающей некоторую твердую
поверхность, есть условие не протекания или условие не накопления
вещества на поверхности.
• Это условие ограничивает лишь нормальную к поверхности обтекаемого
тела компоненту скорости среды.
• Так, на неподвижной поверхности нормальная компонента скорости среды
в соответствии с условием не накопления должна быть равна нулю, т.е.
n  0 .
(7.1.12)
• На поверхности, движущейся со скоростью u, нормальные компоненты
скорости поверхности и среды должны быть равны
 n  un .
(7.1.13)
• В качестве начальных или краевых условий необходимо задать все
искомые параметры - функции в некоторый момент времени в каждой
точке рассматриваемой области движения или на ее поверхности.
15
7.2. Уравнение Бернулли
7.2.1. Потенциальное движение идеальной
среды
•
Движение среды, при котором во всем пространстве, занятом движущейся
средой,
, называют
rot υ  0потенциальным.
• Рассмотрим в качестве массовой силы силу тяжести. Тогда, если ось z
направлена в противоположную ускорению силы тяжести сторону, то
потенциальная энергия равна  nom  gz .
•
Тогда для стационарного ( υ / t  0 ) и потенциального ( rot υ  0)
движения идеальной несжимаемой среды в поле тяжести из уравнения
(7.1.8) следует
 υ2 P

(7.2.1)
    gz   0 .
 2

ρ


• В любой точке потока последнее равенство может выполняться только
тогда, когда выражение в скобках равно некоторой постоянной во всем поле
течения сплошной среды, не зависящей от координат, т.е.
υ2 P
(7.2.2)
  gz  const .
2
ρ
1
• Уравнение (7.2.2) есть первый интеграл уравнения движения Эйлера (7.1.6),
и его называют уравнением Бернулли для несжимаемой идеальной среды.
16
Уравнение Бернулли для сжимаемой среды
• Уравнение Бернулли по физическому смыслу является уравнением
сохранения полной энергии единицы массы сплошной среды.
• Слагаемые  2 / 2, gz, P/ в уравнении (7.2.1) есть кинетическая энергия,
потенциальная энергия и работа сил давления по сохранению объема V0 =
1/ρ единицы массы, соответственно.
• Из термодинамики известно, что энтальпия определяется суммой
внутренней энергии вн и работы сил давления PV0 , т.е.
(7.2.3)
h   вн  PV0 .
• Для сжимаемой среды при изоэнтропическом движении её плотность ρ
зависит от r, и  вн  const , поэтому согласно (7.1.12) имеем:
h 
P

.
• Используя эту замену в уравнении (7.1.8), получаем в случае
стационарного и потенциального2 движения сплошной среды уравнение:

(7.2.4)
 h  gz  const 2 .
2
• Это уравнение называют уравнением Бернулли для сжимаемой
идеальной среды при изоэнтропическом движении.
17
7.2.2. Линии тока и траектории. Трубка тока
• Линия тока  это линия, касательная к которой дает направление скорости
в точке касания.
• Траектория  это линия или кривая, описываемая индивидуальной
частицей при своём движении.
• При установившемся движении линии тока и траектории совпадают. При
неустановившемся движении это разные линии.
• Касательные к линии тока в различных её точках дают направление
скорости различных индивидуальных частиц. Касательные к траектории в
различных её точках дают направление скорости одной и той же
индивидуальной частицы.
• Если в среде взять некоторый замкнутый контур и через все его точки
провести линии тока, то они составят некоторую трубку, которую называют
трубкой тока.
• По определению линий тока через боковую поверхность трубки тока нет
потока среды. Сплошная среда в трубку тока может поступать только через её
торцы. Элемент длины линии тока dr и скорость частицы  являются
векторами коллинеарными, для которых отношение соответствующих
компонент есть величина постоянная.
dx dy dz
• Уравнение линии тока:
(7.2.5)

 .
x  y z
18
7.2.3. Уравнение Бернулли для линии тока
• Рассмотрим стационарное ( υ / t  0 ), не потенциальное ( rot υ  0 ),
движение несжимаемой среды в поле потенциальных сил ( f   nom ).
• Спроектируем уравнение (7.1.8), описывающее такое движение, на линию
тока, умножив скалярно правую и левую части уравнения на единичный
вектор l, касательный к линии тока:
2 P
l  [υ  rot υ] = l  (    nom ) 
2 
• Векторное произведение в левой части данного уравнения представляет
собой вектор, перпендикулярный вектору υ , а, следовательно, оно равно 0,
поэтому
(7.2.6)
2 P
 2 P
l  (    nom )  (    nom )  0 .
2

l 2 
• Здесь  / l означает производную вдоль направления единичного вектора l.
Таким образом, для данной линии тока справедливо уравнение Бернулли
вида
2 P
   nom  const3 .
(7.2.7)
2 
• В случае не потенциального движения среды в потенциальном поле силы
тяжести константа в правой части уравнения (7.2.2) постоянна во всём поле
течения среды.
19
7.2.4. Уравнение Бернулли для баротропного
движения
• В уравнении (7.2.6) константа в правой части является постоянной для
данной линии тока при не потенциальном движении, когда rot υ  0, в поле
потенциальных сил, и может иметь другое значение для другой линии тока.
• В случае стационарного ( υ / t  0 ) не потенциального ( rot υ  0 )
изоэнтропического ( dS / dt  0) движения идеальной сжимаемой среды в
поле потенциальных сил ( f   nom) получаем с использованием (7.1.12)
аналогичное (7.2.6, 7) уравнение Бернулли для сжимаемой среды вида
2
(7.2.8)
 h   nom  const 4 .
2
В этом уравнении const4 является константой для данной линии тока.
• При изотермическом движении, когда в соответствии с уравнением
состояния ρ = f (P) можно ввести некоторую функцию Ф(Р) в виде
Ф( P)  P /   P / f ( P) .
(7.2.9)
Эту функцию называют баротропным потенциалом, а аналогичное (7.2.2)
уравнение вида
2
 Φ ( P)   пот  const5 ,
(7.2.10)
2
уравнением Бернулли для баротропного движения сжимаемой среды.
20
Выводы
•
•
•
•
•
•
•
Введены основные определения и получены основные
законы
сохранения,
описывающие
изменение
характеристик идеальной среды :
Замкнутая система уравнений для идеальной среды.
Уравнение Эйлера.
Уравнение сохранения внутренней энергии.
Изоэнтропическое движение.
Уравнение Эйлера в форме Громека.
Уравнение стационарного, потенциального,
изоэнтропического движения идеальной среды в поле
силы тяжести.
Уравнения Бернулли для стационарного и
потенциального, изоэнтропического и баротропного
движения сжимаемой и несжимаемой сплошной среды.
2007. Численные методы…Лекция 7
21
Информационное
обеспечение лекции
•
•
•
•
Литература по теме:
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.:
Наука. 2002. 735с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.:
Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.
Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950.
814 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:
Наука. 1970. 736 с.
2007. Численные методы…Лекция 7
22
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: [email protected]
23